小波變換（wavelet transform，WT）是一種新的變換分析方法，它繼承和發(fā)展了短時傅立葉變換局部化的思想，同時又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點，能夠提供一個隨頻率改變的“時間-頻率”窗口，是進(jìn)行信號時頻分析和處理的理想工具。

　　它的主要特點是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，能對時間（空間）頻率的局部化分析，通過伸縮平移運(yùn)算對信號（函數(shù)）逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。

　　小波變換的基本原理

　　傳統(tǒng)的信號理論，是建立在Fourier分析基礎(chǔ)上的，而Fourier變換作為一種全局性的變化，其有一定的局限性。在實際應(yīng)用中人們開始對Fourier變換進(jìn)行各種改進(jìn)，小波分析由此產(chǎn)生了。小波分析是一種新興的數(shù)學(xué)分支，它是泛函數(shù)、Fourier分析、調(diào)和分析、數(shù)值分析的最完美的結(jié)晶;在應(yīng)用領(lǐng)域，特別是在信號處理、圖像處理、語音處理以及眾多非線性科學(xué)領(lǐng)域，它被認(rèn)為是繼Fourier分析之后的又一有效的時頻分析方法。

　　小波變換與Fourier變換相比，是一個時間和頻域的局域變換因而能有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。

　　小波變換的應(yīng)用

　　小波是多分辨率理論的分析基礎(chǔ)。而多分辨率理論與多種分辨率下的信號表示和分析有關(guān)，其優(yōu)勢很明顯--某種分辨率下無法發(fā)現(xiàn)的特性在另一個分辨率下將很容易被發(fā)現(xiàn)。從多分辨率的角度來審視小波變換，雖然解釋小波變換的方式有很多，但這種方式能簡化數(shù)學(xué)和物理的解釋過程。

　　對于小波的應(yīng)用很多，我學(xué)習(xí)的的方向主要是圖像處理，所以這里用圖像的應(yīng)用來舉例。對于圖像，要知道量化級數(shù)決定了圖像的分辨率，量化級數(shù)越高，圖像越是清晰，圖像的分辨率就高。

　　一、小波地位

　　小波曾火熱一時，但小波不是萬能的，在某些應(yīng)用場合特別適用 小波無法求解微分方程純數(shù)字和物理地位不如FT

　　二、信號檢測方面應(yīng)用 發(fā)動機(jī)聲音中的撞擊聲檢測

　　傅里葉分析：時間平均作用模糊了信號局部特性 Gabor變換 ：仍需長窗去包含振蕩波形 小波變換 ： 小波基可任意窄

　　三、降噪應(yīng)用

　　1、適用場合

　　經(jīng)典濾波：要求信號與噪聲頻率足夠窄且不重合

　　高斯類噪聲和脈沖噪聲——寬帶噪聲——小波去噪

　　2、濾波效果

　　①經(jīng)典濾波：丟失波形尖銳處信息

　　②小波降噪：基本保留波形尖銳處信息（與小波基選擇有關(guān)）

　　3、濾波手段

　　①傳統(tǒng)方法：Prony參數(shù)建模法

　　②小波降噪

　　b、可證明其統(tǒng)計最優(yōu)性

　　c、閾值比較（閾值T可基于信號標(biāo)準(zhǔn)差得出）

　　4、小波基選擇：小波基應(yīng)與主體信號量相近相似度越高，主小波系數(shù)越大，噪聲系數(shù)則越小——NI信號處理工具箱