小波變換概念

　　小波變換（wavelet transform，WT）是一種新的變換分析方法，它繼承和發展了短時傅立葉變換局部化的思想，同時又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點，能夠提供一個隨頻率改變的“時間-頻率”窗口，是進行信號時頻分析和處理的理想工具。

　　它的主要特點是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，能對時間（空間）頻率的局部化分析，通過伸縮平移運算對信號（函數）逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。

　　多尺度概念

　　1、所謂多尺度是指在RBF網中，采用了不同核函數方差的節點的作用是不同的，擁有大的核函數方差的節點所起的作用要大一些，因而就更傾向于代表訓練集的整體信息。

　　2、多尺度是指GEM在基本架構一致的情況下，根據不同分辨率構成GEM中尺度模式、GEM區域模式及GEM全球模式、GEM低分辨模式。

　　3、當aj0》1時稱為多尺度，從相容性條件得到離散小波函數ψj，k（t）的表達式為ψj，k（t）=a-j20ψt-kaj0b0aj0=a-j20ψ（a-j0t-kb0）（6）而離散化小波變換系數則可表示為Cj。

　　小波變換多尺度是什么意思

　　小波變換有兩個因子：一個是時移因子，另一個就是尺度因子。尺度因子a，a》1表示伸展，a 《1表示收縮。一般去根號a，目的是保證能量守恒。得到的小波信號是細節信號，小波變換被譽為顯微鏡。

　　小波變換多尺度分解

　　一、從小波分析到多尺度幾何分析

　　小波分析取在從多學科領域中取得巨大成功的一個關鍵原因在于它比傅里葉分析能更“稀疏”地表示一維分段光滑或者有界變差函數。遺憾的是，小波分析在一維時所具有的優異特性并不能簡單的推廣到二維或更高維。這是因為一維小波張成的可分離小波（Separable wavelet）只具有有限的方向，不能“最優”表示含線或者面奇異的高維函數，但事實上具有線或面奇異的函數在高維空間中非常普遍，例如，自然物體光滑邊界使得自然圖像的不連續性往往體現為光滑曲線上的奇異性，而并不僅僅是點奇異。換句話說，在高維情況下，小波分析并不能充分利用數據本身特有的幾何特征，并不是最優的或者說“最稀疏”的函數表示方法；而繼小波分析之后發展起來的多尺度幾何分析（Multiscale Geometric Analysis，MGA）發展的目的和動力正是要致力于發展一種新的高維函數的最優表示方法，為了檢測、表示、處理某些高維空間數據，這些空間的主要特點是：其中數據的某些重要特征集中體現于其低維子集中（如曲線、面等）。比如，對于二維圖像，主要特征可以由邊緣所刻畫，而在3-D圖像中，其重要特征又體現為絲狀物（filaments）和管狀物（tubes）。

　　由一維小波張成的二維小波基具有正方形的支撐區間，不同的分辨率下，其支撐區間為不同尺寸大小的正方形。二維小波逼近奇異曲線的過程最終表現為用“點”來逼近線的過程。在尺度j，小波支撐區間的邊長近似為2-j，幅值超過2-j的小波系數的個數至少為O（2j）階，當尺度變細時，非零小波系數的數目以指數形式增長，出現了大量不可忽略的系數，最終表現為不能“稀疏”表示原函數。因此，我們希望某種變換在逼近奇異曲線時，為了能充分利用原函數的幾何正則性，其基的支撐區間應該表現為“長條形”，以達到用最少的系數來逼近奇異曲線。基的“長條形”支撐區間實際上是“方向”性的一種體現，也稱為這種基具有“各向異性（anisotropy）”。我們希望的這種變換就是“多尺度幾何分析”。

　　圖像的多尺度幾何分析方法分為自適應和非自適應兩類，自適應的方法一般先進行邊緣檢測再利用邊緣信息對原函數進行最優表示，實際上是邊緣檢測和圖像表示方法的結合，此類方法以Bandelet和Wdgelet為代表；非自適應的方法并不要先驗地知道圖像本身的幾何特征，而是直接將圖像在一組固定的基或框架上進行分解，這就擺脫了對圖像自身結構的依賴，其代表為Ridgelet、Curvelet和Contourlet變換。

　　二、幾種多尺度幾何分析

　　1、脊波（Ridgelet）變換

　　脊波（Ridgelet）理論由EmmanuelJ Candès于1998年在其博士論文中提出，這是一種非自適應的高維函數表示方法，具有方向選擇和識別能力，可以更有效地表示信號中具有方向性的奇異特征。脊波變換首先對圖像進行Radon變換，即把圖像中的一維奇異性比如圖像中的直線映射成Randon域的一個點，然后用一維小波進行奇異性的檢測，從而有效地解決了小波變換在處理二維圖像時的問題。然而自然圖像中的邊緣線條以曲線居多，對整幅圖像進行Ridgelet分析并不十分有效。為了解決含曲線奇異的多變量函數的稀疏逼近問題，1999年，Candes又提出了單尺度脊波（MonoscaleRidgelet）變換，并給出了其構建方法。另一種方法是對圖像進行分塊，使每個分塊中的線條都近似直線，再對每個分塊進行Ridgelet變換，這就是多尺度Ridgelet。脊波變換對于具有直線奇異的多變量函數有良好的逼近性能，也就是說對于紋理（線奇異性）豐富的圖像，Ridgelet可以獲得比小波更加稀疏的表示；但是對于含曲線奇異的多變量函數，其逼近性能只相當于小波變換，不具有最優的非線性逼近誤差衰減階。

　　2、曲波（Curvelet）變換

　　由于多尺度Ridgelet分析冗余度很大，Candès和Donoho于1999年在Ridgelet變換的基礎上提出了連續曲波（Curvelet）變換，即第一代Curvelet變換中的Curvelet99； 2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet變換中的Curvelet02。第一代Curvelet變換實質上由Ridgelet理論衍生而來，是基于Ridgelet變換理論、多尺度Ridgelet變換理論和帶通濾波器理論的一種變換。單尺度脊波變換的基本尺度是固定的，而Curvelet變換則不然，其在所有可能的尺度上進行分解，實際上Curvelet變換是由一種特殊的濾波過程和多尺度脊波變換（Multiscale Ridgelet Transform）組合而成：首先對圖像進行子帶分解；然后對不同尺度的子帶圖像采用不同大小的分塊；最后對每個分塊進行Ridgelet分析。如同微積分的定義一樣，在足夠小的尺度下，曲線可以被看作為直線，曲線奇異性就可以由直線奇異性來表示，因此可以將Curvelet變換稱為“Ridgelet變換的積分”。

　　第一代Curvelet的數字實現比較復雜，需要子帶分解、平滑分塊、正規化和Ridgelet分析等一系列步驟，而且Curvelet金字塔的分解也帶來了巨大的數據冗余量，因此Candès等人于2002年又提出了實現更簡單、更便于理解的快速Curvelet變換算法，即第二代Curvelet （FastCurvelet transform）。第二代Curvelet與第一代Curvelet在構造上己經完全不同。第一代Curvelet的構造思想是通過足夠小的分塊將曲線近似到每個分塊中的直線來看待，然后利用局部的Ridgelet分析其特性，而二代的Curvelet和Ridgelet理論并沒有關系，實現過程也無需用到Ridgelet，二者之間的相同點僅在于緊支撐、框架等抽象的數學意義。2005年，Candès和Donoho提出了兩種基于第二代Curvelet變換理論的快速離散Curvelet變換實現方法，分別是：非均勻空間抽樣的二維FFT算法（Unequally-Spaced FastFourier Transform，USFFT）和Wrap算法（Wrapping-BasedTransform）。對于Curvelet變換，可在網上下載Matlab程序包Curvlab；Curvlab包里有Curvelet的快速離散算法的Matlab程序和C++程序。

　　3、輪廓波（Contourlet）變換

　　2002年，MN Do和Martin Vetterli提出了一種“真正”的圖像二維表示方法：Contourlet變換，也稱塔型方向濾波器組（Pyramidal Directional Filter Bank， PDFB）。Contourlet變換是利用拉普拉斯塔形分解（LP）和方向濾波器組（DFB）實現的另一種多分辨的、局域的、方向的圖像表示方法。

　　Contourlet變換繼承了Curvelet變換的各向異性尺度關系，因此，在一定意義上，可以認為是Curvelet變換的另一種快速有效的數字實現方式。Contourlet基的支撐區間是具有隨尺度變化長寬比的“長條形”結構，具有方向性和各向異性，Contourlet系數中，表示圖像邊緣的系數能量更加集中，或者說Contourlet變換對于曲線有更“稀疏”的表達。Contourlet變換將多尺度分析和方向分析分拆進行，首先由LP（Laplacian pyramid）變換對圖像進行多尺度分解以“捕獲”點奇異，接著由方向濾波器組（Directional Filter Bank， DFB）將分布在同方向上的奇異點合成為一個系數。Contourlet變換的最終結果是用類似于輪廓段（Contour segment）的基結構來逼近原圖像，這也是所以稱之為Contourlet變換的原因。而二維小波是由一維小波張量積構建得到，它的基缺乏方向性，不具有各向異性。只能限于用正方形支撐區間描述輪廓，不同大小的正方形對應小波的多分辨率結構。當分辨率變得足夠精細，小波就變成用點來捕獲輪廓。

　　4、條帶波（Bandelet）變換

　　2000年，ELe Pennec和Stephane Mallat在文獻《EL Pennec， S Mallat. Image compression with geometrical wavelets［A］.In Proc. OfICIP’ 2000［C］。 Vancouver， Canada， September，2000.661-664》中提出了Bandelet變換。Bandelet變換是一種基于邊緣的圖像表示方法，能自適應地跟蹤圖像的幾何正則方向。Pennec和Mallat認為：在圖像處理任務中，若是能夠預先知道圖像的幾何正則性并充分予以利用，無疑會提高圖像變換方法的逼近性能。Pennec和Mallat首先定義了一種能表征圖像局部正則方向的幾何矢量線；再對圖像的支撐區間S進行二進剖分S=∪iΩi，當剖分足夠細時，每一個剖分區間Ωi中最多只包含圖像的一條輪廓線（邊緣）。

　　在所有不包含輪廓線的局部區域Ωi，圖像灰度值的變化是一致正則的，因此，在這些區域內不定義幾何矢量線的方向。而對于包含輪廓線的局部區域，幾何正則的方向就是輪廓的切線方向。根據局部幾何正則方向，在全局最優的約束下，計算區域Ωi上矢量場τ（x1，x2）的矢量線，再沿矢量線將定義在Ωi的區間小波進行Bandelet化（bandeletization）以生成Bandelet基，以能夠充分利用圖像本身的局部幾何正則性。Bandelet化的過程實際上是沿矢量線進行小波變換的過程，此即所謂的彎曲小波變換（Warped wavelet transform）。于是，所有剖分區域Ωi上的Bandelet的集合構成了一組L2（S）上的標準正交基。

　　Bandelet變換根據圖像邊緣效應自適應地構造了一種局部彎曲小波變換，將局部區域中的曲線奇異改造成垂直或者水平方向上的直線奇異，再用普通的二維張量小波處理，而二維張量小波基恰恰能有效的處理水平、垂直方向上的奇異。于是，問題的關鍵歸結為對圖像本身的分析，即如何提取圖像本身的先驗信息，怎樣剖分圖像，局部區域中如何“跟蹤”奇異方向等等。然而，在自然圖像中，灰度值的突變不總是對應著物體的邊緣，一方面，衍射效應使得圖像中物體的邊緣可能并不明顯地表現出灰度的突變；另一方面，許多時候圖像的灰度值劇烈變化，并不是由物體的邊緣而是由于紋理的變化而產生的。

　　所有基于邊緣的自適應方法需要解決的一個共同的問題是如何確定圖像中灰度值劇烈變化的區域對應的是物體邊緣還是紋理的變化，實際上這是一個非常困難的問題。大部分基于邊緣的自適應算法在實際應用中，當圖像出現較復雜的幾何特征時，如Lena圖像，在逼近誤差的意義下，性能并不能超過可分離的正交小波分析。在圖像的低比特率編碼中，用來表示非零系數所在位置的開銷遠遠大于用來表示非零系數值的開銷。Bandelet同小波相比有兩個優勢：（1）充分利用幾何正則性，高頻子帶能量更集中，在相同的量化步驟下，非零系數相對減少；（2）得益于四叉樹結構和幾何流信息，Bandelet系數可以重新排列，編碼時系數掃描方式更靈活。說明Bandelet變換在圖像壓縮中的潛在優勢。

　　構造Bandelet變換的中心思想是定義圖像中的幾何特征為矢量場，而不是看成普通的邊緣集合。矢量場表示了圖像空間結構的灰度值變化的局部正則方向。Bandelet基并不是預先確定的，而是以優化最終的應用結果來自適應地選擇具體的基的組成。Pennec和Mallat給出了Bandelet變換的最優基快速尋找算法，初步實驗結果表明，與普通的小波變換相比，Bandelet在去噪和壓縮方面體現出了一定的優勢和潛力。

　　5、楔波（Wedgelet）變換

　　在多尺度幾何分析工具中，Wedgelet變換具有良好的“線”和“面”的特性。

　　Wedgelet是DavidL.Donoho教授在研究從含噪數據中恢復原圖像的問題時提出的一種方向信息檢測模型。Wedgelet變換是一種簡明的圖像輪廓表示方法。使用多尺度Wedgelet對圖像進行分段線性表示，能夠根據圖像內容自動確定分塊大小，較好地捕捉圖像中的線和面的特征。克服了滑動窗口方法存在的不足。

　　多尺度Wedgelet變換由兩部分組成：多尺度Wedgelet分解和多尺度Wedgelet表示。多尺度Wedgelet分解將圖像劃分成不同尺度的圖像塊，并將每個圖像塊投影成各個允許方位的Wedgelet；多尺度Wedgelet表示則根據分解結果，選擇圖像的最佳劃分，并為每個圖像塊選擇出最優的Wedgelet表示，從而完成圖像的區域分割。

　　什么是Wedgelet？說白了，就是在一個圖像子塊（dyadic square）畫條線段，把它分成兩個楔塊，每一個楔塊用唯一的灰度值表示。線的位置，兩個灰度值，就近似刻畫了這個子塊的性質。

　　6、小線（Beamlet）變換

　　小線變換（BeamletsTransform）是斯坦福大學的David L.Donoho教授1999年首次提出的，已經得到了初步的應用。由小線變換引入的小線分析（Beamlets Analysis）也是一種多尺度分析，但又不同于小波分析的多尺度概念，可以理解為小波分析多尺度概念的延伸，小線分析以各種方向、尺度和位置的小線段為基本單元來建立小線庫，圖像與庫中的小線段積分產生小線變換系數，以小線金字塔方式組織變換系數，再通過圖的形式從金字塔中提取小線變換系數，從而實現多尺度分析。這是一種能較好進行二維或更高維奇異性分析的工具。

　　根據小線理論及其研究結果來看，它對于處理強噪背景的圖像有無可比擬的優勢。但是小線變換的前期準備工作，如小線字典、小線金字塔掃描這些部分的工作量太過于龐大，不利于研究。如果能將這部分簡化，或者做成固定的模塊引用的話，相信小線分析能夠很快的擴展其應用領域。總的來說小線分析的研究還處于初步階段，相關的研究成果也不多，應用研究領域有待于進一步拓展。

　　在Beamlet分析中，線段類似于點在小波分析中的地位。Beamlet 能夠提供基于二進組織的線段的局部尺度、位置和方向表示，線的精確定位易實現，且算法實現不復雜，所以基于Beamlet 的線特征提取值得研究。

　　Beamlet基是一個具有二進特征的多尺度的有方向的線段集合，二進特征體現在線段的始終點坐標是二進的，尺度也是二進的。

　　Donoho 提出了連續Beamlet變換及其在多尺度分析中的應用，為減少計算量及更適于計算機處理，Xiaoming Huo 提出了離散Beamlet變換。

　　從Beamlet基的框架得知，每條Beamlet把每個二進方塊分為兩個部分，每個部分都稱為Wedgelet，這兩部分為互補的Wedgelet，從而每個Beamlet對應兩個互補的Wedgelet，使Beamlet基與Wedgelet對應起來Wedgelet變換具有多尺度的特性；還可以看出Wedgelet基是片狀基，與Beamlet的線狀基不同。