傅立葉變換：將時域上的波形分解成正弦波的過程就是傅立葉變換，傅立葉正變換可以將波形分解，投影到頻域上，傅立葉逆變換可以將頻域上波形疊加，映射到時域上。變換過程如下圖所示：

　　為何要進行傅立葉變換？

　　很多在時域看似不可能做到的數學操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。離散傅里葉變換（DFT）是傅里葉變換在離散系統中的表示形式。但是DFT的計算量非常大， FFT就是DFT的一種快速算法。

　　時域分析與頻域分析是對模擬信號的兩個觀察面，根據傅立葉分析，所有的波形都可以分解為正弦波，可以由不同頻率的正弦波疊加而成，一種頻率的正弦波在頻域上對應一個點，就行時域上的時間點一樣。例如下圖波形，從時域上看是類似方波，二如果從頻域上看就是一個個線段。

　　傅里葉變換的特點：

　　對于數據信號的去噪，傅立葉變換是將信號完全的放在頻率域中分析，但無法給出信號在每一個時間點的變化情況，無論信號在時間軸上任何一點產生突變，都將會影響到整個頻域的信號。因此，傅立葉變換不能有效的區分出信號中出現的尖峰是由突變部分還是不平穩白噪聲引起的。

　　小波變換

　　那么你可能會想到，讓窗口大小變起來，多做幾次STFT不就可以了嗎？！沒錯，小波變換就有著這樣的思路。

　　但事實上小波并不是這么做的（關于這一點，方沁園同學的表述“小波變換就是根據算法，加不等長的窗，對每一小部分進行傅里葉變換”就不準確了。小波變換并沒有采用窗的思想，更沒有做傅里葉變換。）

　　至于為什么不采用可變窗的STFT呢，我認為是因為這樣做冗余會太嚴重，STFT做不到正交化，這也是它的一大缺陷。

　　于是小波變換的出發點和STFT還是不同的。STFT是給信號加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時間了

　　小波做的改變就在于，將無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基。這就是為什么它叫“小波”，因為是很小的一個波嘛

　　從公式可以看出，不同于傅里葉變換，變量只有頻率ω，小波變換有兩個變量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函數的伸縮，平移量 τ控制小波函數的平移。尺度就對應于頻率（反比），平移量 τ就對應于時間。

　　當伸縮、平移到這么一種重合情況時，也會相乘得到一個大的值。這時候和傅里葉變換不同的是，這不僅可以知道信號有這樣頻率的成分，而且知道它在時域上存在的具體位置。

　　而當我們在每個尺度下都平移著和信號乘過一遍后，我們就知道信號在每個位置都包含哪些頻率成分。

　　看到了嗎？有了小波，我們從此再也不害怕非穩定信號啦！從此可以做時頻分析啦！

　　小波變換的特點

　　小波變換是以某些特定的函數為基，將數據信號展開成級數系列，它是空間（時間）和頻率的局部變換，因此，小波變換可同時在時域和頻域中對數據信號進行多尺度聯合分析，從而能有效地從信號中提取信息。對于數據信號的去噪，由于小波分析可以同時在時域和頻域中對信號進行聯合分析，并且它具有多尺度細化分析的功能。因此，我們可以在不同的分解層上和不同的小波基函數下對信號的突變部分和噪聲進行有效的區分，從而實現信號的消噪。