尺度函數族

眾所周知,小波變換的雙正交基就來自與小波函數和尺度函數,而他們通過scale和平移來得到的小波函數族和尺度函數族表示了不同小波(尺度)函數的分辨率,下面來用公式回顧一下:

小波函數定義

尺度函數分辨率沿拓

事實上,尺度函數族中的尺度 j 決定著不同的時間分辨率

而實際上(證明請看參考資料),高時間分辨率的尺度函數必然可以代表低時間分辨率的尺度函數,如上圖的三角尺度函數可以表示為:

多分辨分析(MRA)方程

尺度函數的MRA方程

有了上面的鋪墊,這里就比較簡單了,因為我們知道,低分辨率信號可以由高分辨率信號線性表達,所以我們可以看出,高分辨率信號所張成的空間必然包含低分辨率張成的空間:

小波函數的MRA方程

講小波函數的MRA方程之前,我們不妨來回顧一下IDWT的定義:

自然而然,我們可以知道小波函數的MRA方程的遞歸意義是更為重要的,所以有:

所以多級的大家也會求了吧...

可以簡單地看出,信號經過小波函數系數(尺度函數系數)之后還需要經過一個抽取的過程,這個的話自己看看小波函數和尺度函數的定義式就可以了

離散小波變換的重構算法

這里是相似的,而且由于懶的原因我沒有做重構,所以也直接放圖:

可以簡單地看出,信號經過小波函數系數(尺度函數系數)之后還需要經過一個內插的過程,這個的話自己看看小波函數和尺度函數的定義式就可以了.

需要注意的是,可以先抽取再濾波,但是不能先濾波后內插,見上圖,(常識)

小波變換(DWT)的FPGA實現

眾所周知,這次我們要實現的算法框圖是這個:

多相結構模型

本來我是直接按照算法流程實現了DWT,然后講抽取和濾波對調了位置(為了提高系統的性能)

后來從網上僅有的資料中查看到別人做了多相分解,后面我想了想,如果不用多相結構的話,相當于原信號的先經過了一次抽取,也是極大地浪費了信號. 又有:

所以我們將信號和濾波器系數都進行奇偶分解,分別進行濾波,得到整體FPGA框圖:

接下來我們簡單地理一下過程

3. 以db4小波為示例,其他小波只需要改改濾波器和matalb就可以了
4. 僅實現一級分解,多級分解只要自己認真看博客就知道怎么做了

信號奇偶分解:

這個模塊比較簡單,但是想設計好需要一點小心思,思路就是做一個二分頻時鐘,上升沿將數據寫入偶數部分,下降沿將數據寫入奇數部分,這里不給出代碼

matlab獲取濾波器系數

代碼很簡單,先生成,再量化:

wn='db4';
[Ld,Hd,Lr,Hr] = wfilters(wn);
k=0:length(Ld)-1;
 subplot(221);stem(k,Ld);
 title('低通分解濾波器Ld');
 subplot(222);stem(k,Lr);
 title('低通重建濾波器Lr');
 subplot(223);stem(k,Hd);
 title('高通分解濾波器Hd');
 subplot(224);stem(k,Hd);
 title('高通重建濾波器Hr');

qua_ld = round(Ld*2^8);
qua_hd = round(Hd*2^8);
qua_lr = round(Lr*2^8);
qua_hr = round(Hr*2^8);
disp(qua_ld);
disp(qua_hd);
disp(qua_lr);
disp(qua_hr);

FPGA設計濾波器

這里的流程跟我上一篇博客,FPGA/Verilog 設計FIR濾波器 ^[2]^ 是相似的,這里不多說,給出一個濾波器的源碼:

module filter_hd_e(
 //clock and reset
 input CLK_50M,RST_N,
 //filter in out
 input  signed [15:0] data_in_hd_e,
 output signed [19:0] hd_out_e
);
localparam COEFF1,COEFF3,COEFF5,COEFF7;  //過長省略
wire signed [19:0] add_result;
reg signed [15:0] data_shift[3:0];
wire signed [23:0]  mul_data[3:0]; 

 add_final add_inst(
 .clock       (CLK_50M),
 .data0x      (mul_data[0][23:8]),
 .data1x      (mul_data[1][23:8]),
 .data2x      (mul_data[2][23:8]),
 .data3x      (mul_data[3][23:8]),
 .result      (add_result)
);
always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)
begin
    if(!RST_N)begin
        data_shift[0]  <= 0;
        data_shift[1]  <= 0;
        data_shift[2]  <= 0;
        data_shift[3]  <= 0;
    end
    else begin 
        data_shift[3]  <= data_shift[2];
        data_shift[2]  <= data_shift[1];
        data_shift[1]  <= data_shift[0]; 
        data_shift[0]  <= data_in_hd_e;
    end                  
end
mult mult_inst_1 ( data_shift[0] *COEFF1 //下同
mult mult_inst_2 (
mult mult_inst_3 (
mult mult_inst_4 ( //過長省略
assign hd_out_e = add_result;

endmodule

大家對應這框圖可能會說我怎么沒有把濾波器系數給翻轉,這個問題的話,大家可以看看那個獲取系數的函數描述,他本來就幫我們翻轉了.

加法器就算了,過于簡單

matlab產生激勵

這個在上一篇博客中也有提及,但是這次我們不是直接產生mif文件,而是選擇在仿真的時候讀入數據,所以代碼就是:

depth = 1024;
width = 16;
x = 0 : 2*pi/(depth-1) :2*pi;
y = sin(x)+sin(8*x);
y = (y/2) * 32768;%將信號放大32768倍
y(360:400) = 32767;    //為了小波變換的戲劇性效果設置
b = signed2unsigned(y,width);
fid = fopen('sinx.txt','wt'); %將信號寫入一個.txt文件中
for num=0 : (depth-1) 
fprintf(fid,'%x\\n',round(b(num+1)));
end
fclose(fid);

仿真結果

用tb讀入數據:

integer i;   //數組坐標
reg signed [15:0] stimulus[1:data_num];  //數組形式存儲讀出的數據
initial 
begin
    RST_N = 1'b1;
 #60 RST_N = 1'b0;
 #60 RST_N = 1'b1; 
    $readmemh("sinx.txt", stimulus);  //將txt文件中的數據存儲在數組中
    i = 0;
    repeat(data_num) begin   //重復讀取數組中的數據
        i = i + 1;
        data_in = stimulus[i]; 
        #PERIOD;         //每個時鐘讀取一次
    end
  $stop;
end

那么又到了緊張刺激的,看波形環節: matlab計算:

fpga計算: