1.FFT變換的基本原理

傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法，可以將一個信號從時域變換到頻域。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。

根據原信號的不同類型，傅里葉變換可以分為四種類別：

(1)非周期性連續信號傅里葉變換

(2)周期性連續信號傅里葉級數

(3)非周期性離散信號離散時域傅里葉變換

(4)周期性離散信號離散傅里葉變換

快速傅里葉變換(FFT)，是利用計算機計算離散傅里葉變換(DFT)的高效、快速計算方法的統稱，但是它是基于復數的，復數DFT寫成如下極坐標形式：

在復數傅里葉變換中，x[n]和X[k]都是復數數組，它包括正頻率和負頻率。K從0到N-1，0~N/2的頻率為正值，N/2~N-1為負值。因為離散信號的頻譜是周期性的，其周期等于抽樣頻率。所以N/2到N-1的頻率和-N/2~0的頻率是相同的。0點和N/2點的頻率值為正負頻率的分界。

我們設變換長度N = 2L，將x(n)按照n的奇偶分為兩組
x₁(r) = x(2r)
x₂(r)= x(2r+1)

其中r=0,1,…,N/2-1，帶入上述復數DFT變換的公式，得到X[k]：

在式子中X1(K)和X2(K)分別是x1(n)和x2(n)的N/2點DFT，因此它只能算出前一半的值，后一半利用

可以得到后半部分X(k)

把x(n)的N點DFT合到一起，就是如下的蝶形運算，也是FFT的基本運算單元。

我們以8點的信號為例，三次按照奇偶分解，它的FFT信號流圖如下：

2.抽樣定理

抽樣定理表明：如果一個連續信號f(t)，其最高截止頻率為fm，如果用時間間隔為T≤1/(2*fm)的開關信號對f(t)進行時域抽樣，則f(t)可以被樣值信號唯一表示。即保證抽樣頻率fs≥2*fm，可以由抽樣信號fs(t),恢復出原始信號f(t)。

通常把最低允許的抽樣頻率f_s=2*f_m稱為“奈奎斯特頻率”，把最大允許的抽樣間隔Ts=1/(2*fm)稱為“奈奎斯特間隔”。

3.FFT頻譜分析

因為FFT是基于復數的，在計算FFT的時候會出現兩種情況，輸入的數據為實數和復數，實際當中輸入信號x(n)一般都為實信號，即虛部為零。

(1)輸入數據是實數

我們用matlab產生一個實正弦信號，如下：

正弦信號sin_data包含兩個頻點信號，f1=50Hz,f2=200Hz,采樣頻率fs=1024Hz，采樣點數NFFT=1024，FFT之后結果為一個N點復數。每一個點對應著一個頻率點，這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。所達到的頻率分辨率為fd=fs/N=1024/1024=1Hz，某一點n所表示的頻率為Fn=(n-1)*fs/N=n-1，每個點的模值是A的N/2倍，其中A為原始信號的峰值。FFT結果如下：

在頻譜圖中，前N/2個點有兩個峰值，后N/2有兩個峰值，是對稱的。在上述中提到，FFT包含周期為2*pi的特性，在做FFT的時候得到的是[0,2*pi]，包含一個完整的區間。正頻率分布在[0,N/2]與[0,2*pi]對應，N/2+1是正負頻率的分界點，表示的頻率為奈奎斯特采樣頻率的半，負頻率分布在[N/2+1,N-1]與[pi,2*pi]相對應，[pi,2*pi]就等同于[-pi,0]，負頻率沒有物理意義，把上述頻譜圖做調整之后如下：

在做實數FFT時，往往將0~N/2點的值作為實際的頻譜，由于正負頻率幅值分量各占一半，幅值需要擴大2倍。

(2)輸入數據是復數

我們用matlab產生一個和上述信號一樣頻率的復數信號，并觀察其FFT之后的頻譜，如下所示：

在做復數FFT的時候，只會有兩個峰值，對應兩個頻率，且每個點的模值是A的N倍，A為原始信號的峰值。其實當我們輸入指數形式的信號時，它包含實部和虛部兩個信號，即x(n)=cos(n)+j*sin(n)。相當于是兩個頻譜的疊加，cos(n)產生一個頻譜，j*sin(n)產生一個頻譜，二者相互疊加，并不是沒有了負頻率，而是負頻率相互抵消，正頻率的幅值擴大了二倍。

(3)在實際中，通過FFT計算得到頻點信息往往和信號的頻點信息不相同，會有誤差，這就取決于頻譜的分辨率，例如：當fs=1000Hz的時候fd=fs/N=1000/1024=0.97Hz，因為f1=50Hz,f2=200Hz不是fd的整數倍，所以FFT的頻譜中不包含這兩個頻點，只有其周圍相接近的整數倍頻點，通過FFT得到的頻譜如下：

4.頻率分辨率

頻率分辨率也叫做兩個相鄰譜峰分開的能力，指分辨兩個不同頻率信號的最小間隔。我們用matlab產生一個余弦波信號(頻率分別為1MHz和1.05MHz)，幅值都為1，采樣頻率fs=100MHz，采樣點數N=1000，對這1000個數據點做FFT得到頻譜如下：

可以發現頻譜點稀疏，在1MHz附近無法將1MHz和1.05 MHz的兩個頻率分開，頻率成分無法被區分，一般由于頻率分辨率不夠造成的。

頻率分辨率大致有兩種類型，一種叫波形分辨率，由原始數據的時間長度決定：

另一種叫視覺分辨率或FFT分辨率，由采樣頻率和參與FFT的數據點數決定：

區分不同頻率成分，是為了在數據點數不是以2為基數的整數次方是對原始數據進行“補零”操作。如果直接對原始數據做FFT，這兩種頻率分辨率是相等的。

(1)補零

現在對原始數據進行“補零”操作，在采樣點1000個原始數據后面補充零達到7000個數據點，再對其做FFT，結果如下圖所示：

可以發現頻譜點密集了很多，但是在1MHz附近仍無法將兩個頻率成分分開，所以，雖然我們補了很多的零，但是波形分辨率仍然為1/T1 = 100kHz,大于1MHz和1.05MHz這兩個頻率成分之間的距離50kHz。時域補零相當于頻域插值，也就是說，補零操作增加了頻域的插值點數，使得頻域曲線看起來更加光滑，增加了FFT頻率分辨率。

(2)增加數據時間長度

在采樣頻率不變的情況下，想要分辨這兩個頻率，必須要改變波形的分辨率，也就是延長原始數據的時間長度，現在我們以同樣的采樣頻率對信號采7000個點作為原始信號，然后對齊做FFT，得到的結果如下:

此時的波形分辨率為1/T2=14kHz，小于50KHz，可以看到有兩個明顯的峰值，但是會發現1MHz對應的幅值為1，與原信號中該頻率成分的幅值一致，但1.05MHz對應的幅值明顯低于1，這就是所謂的頻譜泄露。使得在1MHz處有譜線存在，在1.05MHz處沒有譜線存在，使測量結果偏離實際值，同時在實際頻率點的能量分散到其它頻率點上。

(3)為了解決這個問題，我們可以設法使得譜線同時經過1MHz和1.05MHz這兩個頻點，找到他們的最大公約數50kHz，用FFT分辨率計算得到FFT數據點數2000，但是我們的數據點已經有7000了，我們對點數擴大四倍到8000點，也就是補1000個零。這時FFT分辨率為12.5kHz，所以譜線同時經過1MHz和1.05MHz這兩個頻率點，對其做FFT結果如下：

從上圖中可以看到，兩個頻點的幅值均與原信號一致，這也是補零操作帶來的影響。