在多視角幾何中，特別是在一些恢復(fù)相機運動軌跡的模型中，我們需要將相機的旋轉(zhuǎn)和平移表示出來。通常情況下，我們都是在歐幾里得空間中用R和t來進行相應(yīng)的運算得到相機軌跡。然而，在很多論文中，作者們卻喜歡用Lie algebra se(3)、so(3) 以及 Lie group SE(3)、SO(3) 之類的表示。緊接著，出現(xiàn)了很多術(shù)語，比如twist, tangent space，也出現(xiàn)了一些運算，比如exp(),log()之類的，看得我是云里霧里。

自然要問為啥通過指數(shù)運算能夠把角速度映射到旋轉(zhuǎn)矩陣，它的背后又有什么樣的物理意義，這中間是否有一些盡量直觀的解釋。

本篇博客將從最基礎(chǔ)的內(nèi)容出發(fā)，用直觀的容易理解的方式對旋轉(zhuǎn)矩陣和李代數(shù)之間的關(guān)系進行推導(dǎo)，如有錯誤，請指出，希望共同進步。

預(yù)備知識：

在進入正題之前，我們先需要復(fù)習(xí)下向量叉積（cross product），以及反對稱矩陣(skew symmetric matrix)，在計算機視覺中最初遇到這些概念應(yīng)該是在求解本征矩陣時，然而，他們在溝通剛體變換矩陣和李代數(shù)之間扮演著十分重要的作用。

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至于什么是剛體變換，什么是旋轉(zhuǎn)矩陣，旋轉(zhuǎn)矩陣有哪些性質(zhì)這些更基礎(chǔ)的知識在這里不再一一補充。

下面的內(nèi)容中，都是基于3維空間，所以沒有特別說明時，所說的旋轉(zhuǎn)矩陣都是3*3的，平移向量也是3維的。并且所有向量上帶一個帽子的表示的是它的反對稱矩陣形式。

旋轉(zhuǎn)矩陣與 so(3)：

我們知道對于旋轉(zhuǎn)矩陣，旋轉(zhuǎn)矩陣本身乘以它的轉(zhuǎn)置等于單位矩陣：

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上式中的約束表示R是旋轉(zhuǎn)矩陣。由前面的推導(dǎo)公式三知道如果R是單位矩陣，那它的導(dǎo)數(shù)就是一個反對稱矩陣，所以只有反對稱矩陣組成的空間，即 so(3)，我們稱之為在在單位矩陣處的正切空間tangent space.為什么稱為正切呢？回憶二維曲線在某處的導(dǎo)數(shù)是一條切線。對于這個三維球面，那么它的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是個切面。如下圖所示，圖片來源于tangent space 的 wiki：

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可是對于那些不是單位矩陣的旋轉(zhuǎn)矩陣R該怎么找在他們位置處的正切空間呢？由公式3我們知道，在反對稱矩陣的右邊乘以R就能夠得到R的導(dǎo)數(shù)，所以在非單位矩陣的R處的正切空間就是反對稱矩陣乘以R就行了。
指數(shù)映射：

回到公式(3)，把旋轉(zhuǎn)矩陣R用x替換掉，如下：

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剛體變換和SE(3)：

前面還只說了旋轉(zhuǎn)，實際上剛體變換還有平移。所以，和只有旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成的李群SO(3) 一樣，我們也可以有由剛體變換得到的李群SE(3) :

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到這里基本理清了SE,SO之類的與剛體變換之間的關(guān)系，看視覺SLAM類的論文以及相應(yīng)代碼中有關(guān)lie部分應(yīng)該沒啥壓力了。

各種論文里涉及到的求解位姿矩陣時的非線性最小二乘優(yōu)化（牛頓法，LM法），其中增量都是在單位矩陣處的tangent space se(3)上計算，獲得的增量(即相鄰位姿變換關(guān)系)通過指數(shù)映射映射回多面體SE(3)上。

通過這種方式，能夠避免奇異點，保證很小的變換矩陣也能夠表示出來。這一段引用自論文《Scale Drift-Aware Large Scale Monocular SLAM》。

這篇博文可以說是我看慕尼黑工大(TUM)多視角幾何教學(xué)視頻的筆記，YouTube鏈接點擊這里，這位牛的飛老師的英語吐字清晰，大家應(yīng)該能夠聽懂。當然，老師也是參看的別人的文檔，這里我也把講lie 和計算機視覺的兩個文檔傳到了csdn上，供大家下載。