補碼(two's complement)

　　1、在計算機系統中，數值一律用補碼來表示（存儲）。 　　主要原因：使用補碼，可以將符號位和其它位統一處理；同時，減法也可按加法來處理。另外，兩個用補 　　碼表示的數相加時，如果最高位（符號位）有進位，則進位被舍棄。 　　2、補碼與原碼的轉換過程幾乎是相同的。 　　求給定數值的補碼表示分以下兩種情況：

（1）正數的補碼

　　與原碼相同。 　　【例1】+9的補碼是00001001。

（2）負數的補碼

　　符號位為1，其余位為該數絕對值的原碼按位取反；然后整個數加1。 　　【例2】求-7的補碼。 　　因為給定數是負數，則符號位為“1”。 　　后七位：+7的原碼（0000111）→按位取反（1111000）→加1（1111001） 　　所以-7的補碼是11111001。 　　已知一個數的補碼，求原碼的操作分兩種情況： 　　（1）如果補碼的符號位為“0”，表示是一個正數，其原碼就是補碼。 　　（2）如果補碼的符號位為“1”，表示是一個負數，那么求給定的這個補碼的補碼就是要求的原碼。 　　另一種方法求負數的補碼如下： 　　例如：求-15的補碼 　　第一步：+15：00001111 　　第二步：逐位取反（1變成0，0變成1），然后在末尾加1。 　　11110001 　　再舉一個例子驗證下：求-64的補碼 　　+64：01000000 　　11000000 　　【例3】已知一個補碼為11111001，則原碼是10000111（-7）。 　　因為符號位為“1”，表示是一個負數，所以該位不變，仍為“1”。 　　其余七位1111001取反后為0000110； 　　再加1，所以是10000111。 　　在“閑扯原碼、反碼、補碼”文件中，沒有提到一個很重要的概念“模”。我在這里稍微介紹一下“模” 　　的概念： 　　“模”是指一個計量系統的計數范圍。如時鐘等。計算機也可以看成一個計量機器，它也有一個計量范 　　圍，即都存在一個“模”。例如： 　　時鐘的計量范圍是0～11，模=12。 　　表示n位的計算機計量范圍是0～2^(n)-1，模=2^(n)。 　　“模”實質上是計量器產生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的 　　余數。任何有模的計量器，均可化減法為加法運算。 　　例如： 假設當前時針指向10點，而準確時間是6點，調整時間可有以下兩種撥法： 　　一種是倒撥4小時，即：10-4=6 　　另一種是順撥8小時：10+8=12+6=6 　　在以12模的系統中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運算，都可以用加8來代替。 　　對“模”而言，8和4互為補數。實際上以12模的系統中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個特 　　性。共同的特點是兩者相加等于模。 　　對于計算機，其概念和方法完全一樣。n位計算機，設n=8， 所能表示的最大數是11111111，若再 　　加1稱為100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位二進制系統的 　　模為2^8。 在這樣的系統中減法問題也可以化成加法問題，只需把減數用相應的補數表示就可以 　　了。把補數用到計算機對數的處理上，就是補碼。 　　另外兩個概念 　　一的補碼(one's complement) 指的是正數=原碼,負數=反碼 　　而二的補碼(two's complement) 指的就是通常所指的補碼。

(3).補碼的絕對值（稱為真值）

　　【例4】-65的補碼是10111111 　　若直接將10111111轉換成十進制，發現結果并不是-65，而是191。 　　事實上，在計算機內，如果是一個二進制數，其最左邊的位是1，則我們可以判定它為負數，并且是用補碼表示。 　　若要得到一個負二進制數的絕對值（稱為真值），只要各位（包括符號位）取反，再加1，就得到真值。 　　如：二進制值：10111111（-65的補碼） 　　各位取反：01000000 　　加1：01000001（+65的補碼）

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代數加減運算

1、補碼加法

　　[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補 　　【例5】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]補 　　[X]補=00110011 [Y]補=11010111 　　[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補 = 00110011+11010111=00001010 　　注：因為計算機中運算器的位長是固定的，上述運算中產生的最高位進位將丟掉，所以結果不是 　　100001010，而是00001010。

2、補碼減法

　　[X-Y]補 = [X]補 - [Y]補 = [X]補 + [-Y]補 　　其中[-Y]補稱為負補，求負補的方法是：所有位（包括符號位）按位取反；然后整個數加1。 　　【例6】1+（-1） [十進制] 　　1的原碼00000001 轉換成補碼：00000001 　　-1的原碼10000001 轉換成補碼：11111111 　　1+（-1）=0 　　00000001+11111111=00000000 　　00000000轉換成十進制為0 　　0=0所以運算正確。

3、補碼乘法

　　設被乘數【X】補=X0.X1X2……Xn-1，乘數【Y】補=Y0.Y1Y2……Yn-1, 　　【X*Y】補=【X】補×【Y】補，即乘數（被乘數）相乘的補碼等于補碼的相乘。

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補碼的代數解釋

　　任何一個數都可以表示為-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a; 　　這個假設a為正數，那么-a就是負數。而根據二進制轉十進制數的方法，我們可以把a表示為：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2) 　　這里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0，而且這里設a的二進制位數為n位，即其模為2^(n-1),而2^(n-1)其二項展開是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)，而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)兩式，2^(n-1)-a＝(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而這步轉化正是取反再加1的規則的代數原理所在。因為這里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的運算就是二進制下的取反，而為什么要加1，追溯起來就是2^(n-1)的二項展開式最后還有一項1的緣故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，還有-2^(n-1)這項未解釋，這項就是補碼里首位的1，首位1在轉化為十進制時要乘上2^(n-1)，這正是n位二進制的模。 　　不能貼公式，所以看起來很麻煩，如果寫成代數式子看起來是很方便的。 　　注：n位二進制，最高位為符號位，因此表示的數值范圍-2^(n-1) ——2^(n-1) -1,所以模為2^(n-1)。上面提到的8位二進制模為2^8是因為最高位非符號位，表示的數值范圍為0——2^8-1。 　　C語言中，就是用補碼進行存儲和運算的。