小波變換以其多分辨率分析的特性，在時頻域內良好的表征信號的能力以及大小固定形狀可變的窗口等特點，廣泛應用于圖像去噪中，并得到了很好的去噪效果。而小波閾值去噪法是小波分析法在圖像去噪眾多應用中最常用的一種方法，利用閾值處理后的小波系數進行小波反變換重構出去噪后的結果圖像。在小波閾值去噪法中的兩個重要的因素—閾值選取方式和閾值函數，直接決定圖像去噪的效果，所以要針對噪聲和圖像選取合適的閾值函數和最佳閾值，才能最大程度去除圖像噪聲。

本文提出了新的閾值函數，這一函數既滿足函數的連續性，又解決了閾值函數恒定偏差問題。

1、小波閾值去噪原理

小波閾值去噪方法中噪聲通常處于高頻，利用這一特點，通過對高頻部分進行相應閾值化處理，然后進行重構，這樣就達到了去除噪聲的目的。

假設一幅圖像被高斯噪聲污染的表示形式如下：

為含噪聲圖像;nj，k為高斯白噪聲，服從正態分布N（0，δ^2）正態分布。

小波閾值方法通過以下3步驟進行實現：

1）對fj，k作小波變換，得到小波系數wj，k;

2）通過對wj，k進行閾值化處理，得出小波估計系數w^j，k;

3）利用w^j，k進行小波系數重新構造得到去噪后的圖像f^j，k。

常用的閾值求法有：斯坦無偏似然估計準則、固定閾值準則、啟發式閾值準則和極大極小原理準則。本文采用固定閾值準則固定閾值定義如下：

其中：M×N為圖像的大小。

2、小波閾值函數

2．1、常見的小波閾值函數

小波閾值去噪法的另一種稱呼是閾值函數，也就是利用閾值函數來獲得閾值，閾值函數應用最多的就是Donoho等提出的閾值的方法，而且Donoho等也證明了利用小波閾值去噪比其他經典的去噪方法優越。隨后人們在此基礎上提出了改進的閾值函數，如硬軟折中閾值函數等。硬、軟閾值函數分別如式（3）（4）。

硬閾值函數定義為：

2．2、改進的小波閾值函數

硬、軟閾值方法在去噪方面取得了較好的效果，但它們存在缺點。式（3）雖然解決了|w^j，k－wj，k|的誤差問題，但存在間斷點±λ，在圖像重建時會產生一些附加震蕩，而且比較容易出現Pseudo-Gibbs現象等視覺失真。同樣，式（4）在±λ處連續性好，但|w^j，k－wj，k|存在恒定的誤差，這樣會使圖像的高頻信息產生丟失等失真的現象，且式（4）存在高階求導的困難，不利于進一步用數學工具對它處理。硬軟折中閾值函數對式（3）（4）進行了改進，但依然存在恒定偏差問題。

為了更好地解決以上方法所帶來的問題，文獻分別提出了如下的改進的閾值函數：

式（5）很好地解決了含噪圖像的小波系數與估計小波系數恒等的誤差問題，但它沒有調節因子，顯然不夠靈活，而且連續性差;式（6）雖然解決了連續性問題，但含噪圖像的小波系數與估計小波系數的恒定偏差還是沒有得到很好的解決。為了能夠有效解決上述問題，本文提出了新的函數：

圖1的橫坐標為對fj，k經過小波變換得到的原始的小波系數;縱坐標為對小波系數進行閾值處理后的得到的估計的小波系數。λ為門限值;根據式（7）的函數進行繪圖。圖1中，λ=5，原始小波系數取值范圍為－20～20。

圖1 ? α=1，n=3時改進閾值函數