1、小波閾值去噪的改進

傳統的小波閾值圖像去噪方法可以去除圖像的部分噪聲，有較好的效果，但是由于閾值函數和閾值選取方式自身存在的問題，設置的閾值并不能完全去除圖像噪聲，還會由于閾值函數的問題而使去噪后的圖像視覺效果不佳，這就需要對目前的閾值函數和閾值選取方式進行改進，得到可以更好地去除圖像噪聲的小波閾值去噪方法。

1.1、閾值函數的改進

前面提到的兩種閾值函數，軟閾值函數和硬閾值函數雖然能夠去除圖像的得到了較廣泛的應用，但是由于自身存在缺點，還是會影響圖像去噪的效果。硬閾值函數的缺點是在閾值點不連續;軟閾值函數的缺點是原系數和小波分解系數存著恒定的偏差。這兩種閾值函數不能完全地展示出分解后小波系數的能量分布，這就限制了它的進一步應用。所以，需要尋求一種新的閾值函數使它能夠在繼承軟閾值，硬閾值的優點的同時克服它們的缺點。這就需要閾值函數在其閾值點處連續，同時還具有高階可導的性質，這樣既能實現閾值函數閾值選取的功能又能完好的體現出分解后系數的能量分布。根據以上對軟閾值和硬閾值的分析和指數函數高階可導的特點，現在提出一種新的閾值函數，如下所示：

式中，λ為閾值。兩個參數p，q在閾值函數中發揮著各自的作用，共同決定著閾值處理過程與結果，其中p∈［0，1］，q≥0。該閾值函數保留了軟閾值函數在小波域內具有連續性的優點，而且在|x|≥λ時具有高階導函數。隨著p，q在各自固定的取值區間內的波動，該閾值函數發揮著不同的作用。當p=0時，無論q取什么值，此閾值函數就成為了硬閾值函數;當p∈（0，1］且q=0時，此閾值函數就成為了軟閾值函數;當p∈（0，1］且q→∞時，此閾值函數變成了一種類似軟閾值的閾值函數，在該函數中，參數p可以調節閾值函數對小波系數的壓縮程度，彌補了傳統軟閾值函數在這方面的不足。

由此可見，通過改變p，q的取值可以決定此閾值函數對小波系數的作用。其中，q值的改變主要確定閾值函數的趨向，是成為軟閾值還是硬閾值，而p值的變化主要決定閾值函數對小波系數的作用程度。通過p，q這兩個參數的共同作用，此閾值函數就變成了軟閾值，硬閾值的一種推廣函數，在保存了兩種閾值函數優點的同時，也克服了它們在處理小波系數時的一些缺點。

新提出的閾值函數不僅在小波域內具有連續性，而且在|x|≥λ時具有高階可導的性質，這樣該閾值函數不僅繼承了軟閾值函數具有連續性的優點，而且還克服了軟閾值在處理過程中小波系數與原系數之間存在固有偏差的缺點，同時也解決了對大于閾值的系數進行定值壓縮與噪聲隨著小波系數增大而減少的事實不符合的問題，并通過兩個參數的調節使它同時具備了硬閾值函數的性能，也就是說此閾值函數同時具備了軟閾值和硬閾值的優點，使用起來更加方便、靈活，去噪效果更好。

1.2、新的閾值選取方式

小波閾值去噪法另一個重要的因素就是閾值的選取，閾值主要由噪聲方差和子帶系數的能量共同決定，一般情況下，噪聲方差需要從觀測數據中得出。若閾值過小，則噪聲去除不完全，去噪后的圖像仍有噪聲殘留;若閾值選取過大，會有部分信號被當作噪聲被濾除，造成信號丟失，引起偏差。噪聲的小波系數隨著尺度的增大而減小，所以對信號進行去噪時，不同分解層閾值的選取也應該不同，并且閾值應該隨著分解尺度的增加而減少。傳統的閾值選取方式，包括全局閾值和局部適應閾值并沒有隨著分解尺度的變化而有所改變，所以針對以上要求和傳統閾值選取方式在這方面的不足之處，現在提出一種新的，易實現的閾值選取方式：

式中，α為高斯白噪聲的標準差，N為圖像尺度，j為分解尺度。此閾值選取方式是在統一閾值基礎上進行改進的，在保留了傳統統一閾值中標準差α和圖像尺度N在閾值上所做的貢獻的同時在分母上添加了分解尺度j，使閾值隨著分解尺度而改變，分解尺度越大閾值就會相應的減少，這樣就比較符合經過小波分解后不同分解層的系數在對信號和噪聲的比例分布上有所不同的事實。新設定的閾值在保留了原來統一閾值在閾值處理中發揮的功能的基礎上，通過新增加的分解尺度可以針對小波分解中不同的分解層對各分解層的小波系數做相應不同的處理，這樣可以增加閾值的實用性，減少小波系數閾值誤斷引起的偏差。

斯白噪聲的標準差α的選取也有多種方式：可以利用魯棒中值估計法來估計，

α=（median（|fi|）/0．6745）^（0.5）

其中，fi是最低分解尺度的頻帶;也可以利用小波分解系數中對角細節系數的標準差作為噪聲標準差α的估計值。本文采取第二種方法，用對角系數的標準差αD作為α的估計值。這樣一來，最后的閾值公式為：

公式中，αD作為α的估計值，可以很容易地在小波分解圖像信號之后由分解出的對角系數計算出來。

接下來我們從小波閾值函數方面來分析小波閾值去噪的改進方法。

2、小波閾值函數的改進

硬、軟閾值方法在去噪方面取得了較好的效果，但它們存在缺點。式（3）雖然解決了|w^j，k－wj，k|的誤差問題，但存在間斷點±λ，在圖像重建時會產生一些附加震蕩，而且比較容易出現Pseudo-Gibbs現象等視覺失真。同樣，式（4）在±λ處連續性好，但|w^j，k－wj，k|存在恒定的誤差，這樣會使圖像的高頻信息產生丟失等失真的現象，且式（4）存在高階求導的困難，不利于進一步用數學工具對它處理。硬軟折中閾值函數對式（3）（4）進行了改進，但依然存在恒定偏差問題。