在我的學術生涯中，我注意到系統理論是最難教和最難學的課程之一。這些極點和零點概念在課堂上都感覺很有意思，但是一旦學生想將它們與實驗室中的物理電路聯系起來，理論和實踐之間就會出現鴻溝。在這篇文章中，我將嘗試找出關于極點和零點的物理感覺，使用運算放大器來控制它們在復平面中的位置，并利用電路的自然響應來說明極點/零點位置的影響。

單端口電路的自然響應

我們來看圖1中的無源線性單端口電路，它包括電阻、電容和電感。

如果我們施加一個測試電流I(s)，單端口電路將產生電壓V(s)，使得V(s)=Z(s)/(s)，其中I(s)和V(s)是所施加電流和所產生電壓的拉普拉斯變換，s是以sec-1為單位的復數頻率。阻抗Z(s)是s的有理函數形式，即分子多項式N(s)與分母多項式D(s)的比值：

公式N(s)=0的根被稱為Z(s)的零點，表示為z1，z2，……；而公式D(s)=0的根被稱為Z(s)的極點，表示為p1、p2、……。極點和零點統稱為根，也稱為臨界頻率。例如，阻抗：

當s=0時，其值為零；當s=-3±j4時，它具有復共軛極點對。可以用根來表達它，即：

如果我們繪制|Z(s)|相對于s的幅度曲線，則可以直觀理解零點和極點的含義。所得到的曲線就好像在s平面上豎起的帳篷，在零點處接觸s平面，而在極點處其高度變為無限。

圖2：Z(s)=(10Ω)s/(s2+6s+25)的幅度圖。（通過在虛軸上計算|Z|獲得的分布曲線圖顯示出單端口電路的交流響應。）

為了找到極點的物理感覺，我們在s接近極點pk時施加電流I(s)，就可以用相當小的I(s)獲得給定的電壓V(s)。s越接近極點pk，獲得給定電壓V(s)所需的電流I(s)越小。在s→pk的極限狀態下，即使電流為零，即開路，單端口電路也會獲得一個非零的供電電壓（見圖1b）！這個電壓稱為自然響應或無源響應，因為單端口電路可利用儲存在其電容和電感內部的能量來產生電壓。這些能量在電阻中消耗盡了，在無源單端口的情況下，它們將隨時間呈指數級衰減。實際上，系統理論預測到自然響應符合以下表達式：

其中a1，a2，......，是取決于存儲能量的合適系數（以V為單位），Z(s)的極點是指數中時間常數的倒數。

那么Z(s)的零點呢？我們來看圖3，它表示圖1的兩種情況。現在施加的信號是電壓V(s)，而響應是電流I(s)=[1/Z(s)]V(s)，這表明Z(s)的零點現在成為1/Z(s)的極點。通過雙重推理，在s→zk的極限狀態下，即使施加零電壓（短路），單端口電路也將提供非零電流（參見圖3b）！該電流稱為自然響應或無源響應，因為單端口電路利用儲存在其電容和電感內部的能量來產生電流。系統理論預測自然短路電流響應符合以下表達式：

其中b1，b2，......，是取決于存儲能量的合適系數（以安培為單位），Z(s)的零點是指數中時間常數的倒數。

總而言之，單端口電路的自然響應由其阻抗Z(s)的根控制：極點控制開路電壓響應vn(t)，而零點控制短路電流響應in(t)。在某種程度上，根就像是單端口電路的DNA。例如，我們來看圖4的單端口電路。在t=0時，電容兩端的電壓為9V，頂部為正，t>0時它的自然響應是什么？可以看出單端口電路呈現的阻抗是：

顯然，z1=–1/(R1C)=-1/(10ms)，p1=-1/[(R1+R2)C]=-1/(30ms)。此外，a1=[20/(10+20)]9=6V且b1=9/10=0.9mA。所以：