在圖像測量過程以及機器視覺應用中，為確定空間物體表面某點的三維幾何位置與其在圖像中對應點之間的相互關系，必須建立相機成像的幾何模型，這些幾何模型參數就是相機參數。在大多數條件下這些參數（內參、外參、畸變參數）必須通過實驗與計算才能得到，這個求解參數的過程就稱之為相機標定（或攝像機標定）。無論是在圖像測量或者機器視覺應用中，相機參數的標定都是非常關鍵的環節，其標定結果的精度及算法的穩定性直接影響相機工作產生結果的準確性。因此，做好相機標定是做好后續工作的前提，提高標定精度是科研工作的重點所在。

標定的目的主要為解決兩個問題：

a、確定世界坐標系下三維空間點與像素平面像素點間的轉換關系（內外參）；

b、確定相機成像過程中的畸變系，用于圖像矯正。

針孔相機模型

相機將三維世界中的坐標點（單位：米）映射到二維圖像平面（單位：像素）的過程能夠用一個幾何模型來描述，其中最簡單的稱為針孔相機模型 (pinhole camera model)，其框架如下圖所示:

其中，涉及到相機標定涉及到了四大坐標系，分別為：

像素坐標系（u,v）：為了描述物體成像后的像點在數字圖像上（相片）的坐標而引入，是我們真正從相機內讀取到的信息所在的坐標系。單位為個（像素數目）。

成像平面坐標系(x,y)：為了描述成像過程中物體從相機坐標系到圖像坐標系的投影透射關系而引入，方便進一步得到像素坐標系下的坐標。單位為m。

相機坐標系：在相機上建立的坐標系，為了從相機的角度描述物體位置而定義，作為溝通世界坐標系和圖像/像素坐標系的中間一環。單位為m。

世界坐標系：用戶定義的三維世界的坐標系，為了描述目標物在真實世界里的位置而被引入。單位為m。

下面，我們來詳細推導從世界坐標系到像素坐標的過程。

世界坐標系到相機坐標系

從世界坐標系到相機坐標系， 這是一個剛體變換，只需對世界坐標系的三維點作用一個旋轉R和平移t（R，t即為相機的外參），變換過程可以通過一下公式完成：

相機坐標系到成像平面坐標系

這一過程進行了從三維坐標到二維坐標的轉換，也即投影透視過程（用中心投影法將物體投射到投影面上，從而獲得的一種較為接近視覺效果的單面投影圖，也就是使我們人眼看到景物近大遠小的一種成像方式）。

成像過程如下圖所示：針孔面（相機坐標系）在圖像平面（圖像坐標系）和物點平面（棋盤平面）之間，所成圖像為倒立實像。

但是為了在數學上更方便描述，我們將相機坐標系和圖像坐標系位置對調，變成下圖所示的布置方式（沒有實際的物理意義，只是方便計算）：

此時，假設相機坐標系中有一點M，則在理想圖像坐標系下（無畸變）的成像點P的坐標為（可由相似三角形原則得出）：

f為焦距，整理，得：

成像平面坐標系到像素坐標系

如上圖，成平面坐標系和像素坐標系之間存在一個縮放和平移

整理得：

以fx、fy的方式表示為：

其中

α、β的單位為像素/米;

fx、fy為x、y方向的焦距，單位為像素;

(cx,cy)為主點，圖像的中心，單位為像素。

那么，相機坐標系到像素坐標系的最終形式可寫成：

將 Zc移到左邊：

所以，在世界坐標系中的三維點M=[X,Y,Z]T 和像素坐標系中二維點m=[u,v]T的關系為：

即：

其中，s為縮放因子，A為相機的內參矩陣，[R t]為相機的外參矩陣，和分別為m和M對應的齊次坐標。

畸變模型

我們在攝像機坐標系到圖像坐標系變換時談到透視投影。攝像機拍照時通過透鏡把實物投影到像平面上，但是透鏡由于制造精度以及組裝工藝的偏差會引入畸變，導致原始圖像的失真。因此我們需要考慮成像畸變的問題。

透鏡的畸變主要分為徑向畸變和切向畸變，還有薄透鏡畸變等等，但都沒有徑向和切向畸變影響顯著，所以我們在這里只考慮徑向和切向畸變。

徑向畸變

顧名思義，徑向畸變就是沿著透鏡半徑方向分布的畸變，產生原因是光線在原理透鏡中心的地方比靠近中心的地方更加彎曲，這種畸變在普通廉價的鏡頭中表現更加明顯，徑向畸變主要包括桶形畸變和枕形畸變兩種。以下分別是枕形和桶形畸變示意圖：

實際情況中我們常用r=0處的泰勒級數展開的前幾項來近似描述徑向畸變，矯正徑向畸變前后的坐標關系為：

切向畸變

切向畸變是由于透鏡本身與相機傳感器平面（像平面）或圖像平面不平行而產生的，這種情況多是由于透鏡被粘貼到鏡頭模組上的安裝偏差導致。畸變模型可以用兩個額外的參數p1和p2來描述：

其中，

所以，我們一共需要5個畸變參數(k1,k2,k3,p1,p2)來描述透鏡畸變。

綜上所述，相機標定實際上就是確定相機的內外參數、畸變參數的過程。

以上是對于單個相機進行標定，那么對于多目相機系統或者RGBD 相機的標定呢？

立體標定

對于多目相機系統或者RGBD 相機除了要對別對每個相機進行以上標定以外，還需要求傳感器之間的變換T，以使同一時刻獲取的數據能夠“對齊”，以雙目為例，左右兩個相機的坐標系如下圖：

計算出兩個攝像機之間的旋轉矩陣R和平移向量t，方法是分別計算出兩個攝像機的R和T，再由以下公式計算：

立體匹配

由于單相機獲取的圖像只能計算出二維坐標，因為我們使用了2套相機，且2套相機之間的關系也是已知的，那么如果我們能把三維空間中某點在左右相機成像的二維坐標都計算出來，且能知道這是同一個點，這樣就可以計算出三維坐標。這里面確認同名點的技術就是立體匹配。立體匹配有很多種算法，其中局部匹配法是最常用的，但是就目前已有算法來說，沒有一種算法可以實現100%匹配。一般來說待匹配點越多，匹配準確率越低。

現有標定方法介紹

相機標定方法有：傳統相機標定法、主動視覺相機標定法、相機自標定法。

Tsai兩步法是先線性求得相機參數，之后考慮畸變因素，得到初始的參數值，通過非線性優化得到最終的相機參數。Tsai兩步法速度較快，但僅考慮徑向畸變，當相機畸變嚴重時，該方法不適用。

張氏標定法使用二維方格組成的標定板進行標定，采集標定板不同位姿圖片，提取圖片中角點像素坐標，通過單應矩陣計算出相機的內外參數初始值，利用非線性最小二乘法估計畸變系數，最后使用極大似然估計法優化參數。該方法操作簡單，而且精度較高，可以滿足大部分場合。

基于主動視覺的相機標定法是通過主動系統控制相機做特定運動，利用控制平臺控制相機發生特定的移動拍攝多組圖像，依據圖像信息和已知位移變化來求解相機內外參數。這種標定方法需要配備精準的控制平臺，因此成本較高。

分層逐步標定法是先對圖像的序列做射影重建，在重建的基礎上進行放射標定和歐式標定，通過非線性優化算法求得相機內外參數。由于初始參數是模糊值，優化算法收斂性不確定。

基于Kruppa的自標定法是通過二次曲線建立關于相機內參矩陣的約束方程，至少使用3對圖像來標定相機。圖像序列長度會影響標定算法的穩定性，無法保證射影空間中的無窮遠平面。

以上為單個相機標定的方法，而對于相機-相機、相機-距離傳感器之間進行標定，OpenCV、Matlab都有自帶的工具箱或函數庫可以用來標定，但[1]提出了一個帶有Web界面的工具箱，用于全自動相機到相機和相機到范圍的校準。該系統可在一分鐘內恢復內外參數以及攝像機和距離傳感器之間的轉換。而且，該方法所提出的基于生長的棋盤格角點檢測方法明顯優于OpenCV需要指定棋盤格角點大小的角點檢測方法。

審核編輯：郭婷