奈奎斯特定理和采樣

在著眼于軟件無線電及其各種嵌入式的應用之前，我們先來回顧一個基本的定理，它應用于像軟件無線電那樣的數據采樣系統。

請注意我們強調是帶寬而不是頻率。下面我們將展示這個定理的應用，以及采樣頻率也叫采樣率的正確理解。

一個將采樣形象化的小技巧

為了形象化的展示采樣時發生了什么，假想你有一個透明的折疊式打印紙，紙的水平邊作為頻率軸，將紙的折疊處對應二分之一采樣率的整數倍，這樣每一片紙就代表了一個“奈奎斯特區”，如圖1所示。

采樣基礎知識

使用折疊紙的縱軸表示信號能量，畫出待采樣信號的頻譜，如圖2所示，將透明折疊紙合起來看一下采樣帶來的效果。

我們透過合起來的紙看過去，就會看到采樣所導致的頻譜，每一片紙上也就是每一個奈奎斯特區上的信號都合到了一起，不能再被區分開來，這個現象也稱作“混疊”。 一旦采樣時發生了混疊，采樣結果將是損壞的不能恢復。“混疊”這個詞很恰當，高奈奎斯特區的信號采樣后出現在一個不同的頻率。

基帶采樣

一個基帶信號的頻譜起始于零頻，終止于其最高頻率。為了防止采樣基帶信號時損壞數據，需要確保所有的信號頻譜只落在第一個奈奎斯特區，如圖4所示，有兩種方式來實現：一是使用低通濾波器來濾除高于fs/2的信號，二是提高采樣率使得所有信號頻譜落入fs/2以內。注意fs/2也稱作“折疊頻率”。

帶通信號采樣

讓我們考慮一個帶通信號，比如一個通信接收機的中頻信號，它的中心頻率為70MHz，帶寬為10MHz，那么這個信號的頻譜在65～75MHz。如果我們按照基帶采樣的規則，必須在信號最高頻率的兩倍以上進行采樣，也就是采樣率至少為150MHz。但是，利用一種“欠采樣”的技術，我們就可以使用更低的采樣率。

欠采樣

欠采樣允許我們利用混疊，假設我們遵循奈奎斯特定理的嚴格要求。對于上述中頻信號，設想我們嘗試40MHz的采樣率，那么折疊紙的圖像就是圖5所示，可以看到60～80MHz的第4奈奎斯特區，恰好包含了整個65～75MHz的中頻信號。

現在將紙折疊起來的結果如圖6所示，可見采樣后中頻信號保持了下來，因為在其他奈奎斯特區沒有信號頻譜。

注意在奇數區的頻譜折疊后低頻在左端（正常頻譜），在偶數區的頻譜折疊后低頻在右端（頻譜反轉），在本例中，第4奈奎斯特區的信號頻譜被反轉了，不過在軟件無線電系統的后續階段很容易對其進行調整。

實現成功欠采樣的主要的規則是確保信號頻譜完全在一個奈奎斯特區，有兩種方法來實現：一是使用帶通濾波器濾除奈奎斯特區以外的信號，二是提高采樣率使得所有信號頻譜落入一個奈奎斯特區內。

總結

基帶采樣要求采樣率至少為信號帶寬的兩倍，也就是說信號頻譜都在第一奈奎斯特區。實際應用中的經驗是：帶寬=0.8*fs/2=0.4*fs。欠采樣允許更低的采樣率，即使信號頻率比較高，前提是信號頻譜都在一個奈奎斯特區內。

最后再重復一下奈奎斯特定理：采樣率至少為信號帶寬的兩倍——而不是信號頻率的兩倍。