在上一篇介紹奈奎斯特-香農(nóng)定理的文章中，我們看到當(dāng)以每個(gè)周期不提供至少兩個(gè)樣本的頻率對(duì)波形進(jìn)行采樣時(shí)，正弦波的頻率特性將無法挽回地丟失。換句話說，如果我們以低于奈奎斯特速率的頻率進(jìn)行采樣，我們就無法完美地重建正弦曲線。

然而，大多數(shù)信號(hào)不是單頻正弦波。例如，調(diào)制的 RF 信號(hào)具有與載波和基帶波形相關(guān)聯(lián)的頻率，代表人類語音的音頻信號(hào)將覆蓋一定范圍的頻率。

我們使用傅立葉變換來可視化信號(hào)的頻率內(nèi)容。時(shí)域圖是傳達(dá)單頻信號(hào)背景下采樣率不足的影響的好方法，但對(duì)于其他類型的信號(hào)，我寧愿使用頻域。

采樣的頻域效應(yīng)

假設(shè)我們想要數(shù)字化一個(gè)音頻信號(hào)，該信號(hào)包括指定范圍內(nèi)的許多不同頻率的混合。范圍的高端定義為 fMAX，我們假設(shè)范圍向下延伸至 DC，即使我們聽不到那么低的頻率。這種信號(hào)的傅里葉變換可能看起來像這樣：

時(shí)域中的數(shù)學(xué)采樣

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，理想采樣等效于將原始時(shí)域波形乘以一系列 delta 函數(shù)，間隔等于 1/fSAMPLE，我們稱之為 TSAMPLE。（對(duì)于本文的其余部分，我們將使用 fS表示 fSAMPLE并使用 TS表示 TSAMPLE。）這種乘法導(dǎo)致采樣信號(hào)在 delta 函數(shù)之間為零，并在每個(gè)點(diǎn)保留原始信號(hào)的值在與 delta 函數(shù)重合的時(shí)間。

以數(shù)學(xué)方式實(shí)現(xiàn)的時(shí)域采樣：我們將模擬信號(hào)乘以以采樣頻率出現(xiàn)的一系列 delta 函數(shù)。

頻域中的數(shù)學(xué)采樣

這種時(shí)域采樣過程如何影響信號(hào)的頻域表示？讓我們來看看。

首先要記住的是，時(shí)域中的乘法變成了頻域中的卷積。因此，我們可以通過將原始信號(hào)的傅里葉變換與delta函數(shù)的傅里葉變換進(jìn)行卷積來求出采樣信號(hào)的傅里葉變換。

事實(shí)證明，delta-function train 的 Fourier 變換是 delta-function train。不同之處在于 delta 函數(shù)由對(duì)應(yīng)于采樣頻率而不是采樣周期的水平距離分隔。

由采樣周期分隔的一系列 delta 函數(shù)的頻譜是由采樣頻率分隔的一系列 delta 函數(shù)。

當(dāng)我們將 delta 函數(shù)的頻譜與原始信號(hào)的頻譜進(jìn)行卷積時(shí)，我們創(chuàng)建了根據(jù) delta 函數(shù)的位置移動(dòng)的原始頻譜的副本。因此，采樣信號(hào)的頻譜由多個(gè)相同的“子頻譜”組成，這些“子頻譜”以±fS、±2fS、±3fS等為中心。

足夠的采樣頻率會(huì)導(dǎo)致子光譜發(fā)生足夠的偏移以保持完全分離。

我們現(xiàn)在擁有通過頻域分析確認(rèn)奈奎斯特-香農(nóng)定理所需的信息。正如我在上一篇文章中表達(dá)的那樣，這個(gè)定理如下：

如果系統(tǒng)以超過信號(hào)最高頻率至少兩倍的速率對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行均勻采樣，則可以從采樣產(chǎn)生的離散值中完美地恢復(fù)原始模擬信號(hào)。

由于傅立葉變換的負(fù)頻率部分，原始信號(hào)的完整數(shù)學(xué)帶寬為 2fMAX。因此，為了確保子光譜不重疊，我們必須將它們至少移動(dòng) 2fMAX。換句話說，采樣頻率必須比信號(hào)的最大頻率至少高兩倍。

如果滿足這個(gè)條件，就可以完美地重建原始信號(hào)。為什么？因?yàn)樵脊庾V沒有改變，我們可以通過低通濾波去除其他子光譜。（下一篇文章將更詳細(xì)地探討這一點(diǎn)。）如果不滿足條件，則子頻譜重疊，原始頻譜被改變，再多的低通濾波也無法恢復(fù)原始信號(hào)。

混疊

當(dāng)我們使用低于奈奎斯特速率的采樣頻率時(shí)，子譜重疊是信息被破壞的原因。子譜的重疊部分通過加法合并；如果我們嘗試使用低通濾波器分離出原始頻譜，重疊頻帶中的頻率成分將不同，因此相應(yīng)的時(shí)域信號(hào)將不同。

這個(gè)的正式名稱是aliasing。

棕色陰影的三角形區(qū)域表示導(dǎo)致光譜改變的混疊。

名詞“別名”的定義之一是“虛假或假定的身份”。我們使用術(shù)語“混疊”是因?yàn)檫@種采樣現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致一個(gè)頻率分量移動(dòng)到頻譜中的一個(gè)新位置，從而將其自身“偽裝”為不同的頻率。

我們在上一篇文章中看到了這一點(diǎn)，其中以 1.1f信號(hào)采樣導(dǎo)致離散時(shí)間波形的頻率似乎遠(yuǎn)低于原始模擬波形的頻率。

結(jié)論

至此，我認(rèn)為我們已經(jīng)涵蓋了抽樣理論的基礎(chǔ)方面。在下一篇文章中，我們將開始在理論和實(shí)踐之間建立一些聯(lián)系。

彩蛋來了

5月30-31號(hào)、6月08-09號(hào)，兩期從基礎(chǔ)到高級(jí)的ADC講座，將涵蓋高速ADC設(shè)計(jì)的原理、傳統(tǒng)架構(gòu)和最先進(jìn)的設(shè)計(jì)。第一部分首先回顧了ADC的基本知識(shí)，包括采樣、開關(guān)電容和量化理論。接下來，介紹了經(jīng)典ADC架構(gòu)的基礎(chǔ)和設(shè)計(jì)實(shí)例，如閃存、SAR和流水線ADC。然后，本教程將對(duì)混合型ADC架構(gòu)進(jìn)行總體概述，這就結(jié)束了第一部分。在第二部分，首先描述了ADC的度量。然后，介紹混合或非混合架構(gòu)的各種先進(jìn)設(shè)計(jì)。該教程最后將以數(shù)字輔助解決技術(shù)結(jié)束。

審核編輯：湯梓紅