一種具有較大圍長的正則LDPC碼構造方法

1962年Gallager提出低密度校驗(Low DensityParity Check，LDPC)碼，后來Tanner對它進行了很有價值的補充，直到1995年又被Mackey重新提出。如果采用和積迭代譯碼算法，LDPC碼具有非常接近香農限的性能。如果在LDPC碼的Tanner圖中存在環(huán)，在迭代譯碼的過程中錯誤信息將會膨脹，對于LDPC的譯碼性能相當有害，尤其是較短環(huán)的存在，所產生的危害尤為嚴重。所以，在構造LDPC的過程當中，要盡量避免短環(huán)的出現(xiàn)。為了盡量減小Tanner圖中環(huán)的存在對相應LDPC碼在和積譯碼算法下所得性能的影響，一些研究學者基于代數(shù)方法和啟發(fā)式搜索方法，提出了一些具有較大圍長的LDPC碼構造方法。研究表明，通過增大LDPC碼的圍長，在一定程度上可以改善碼的糾錯性能。本文構造了正則LDPC碼，在構造過程中討論了設計圍長的參數(shù)選舉，使得滿足一定的條件就可以避免校驗矩陣的小圍長出現(xiàn)，使得所構造的矩陣具有較大圍長。

1．LDPC碼的構造理論

考慮長為16的(2，4)正則LDPC碼對應的Tanner，如圖1所示。


從圖1中很顯然可以看出，該Tanner中環(huán)的最小長度為8，因此對應LDPC碼的圍長也為8。

按圖1將其中的變量結點和校驗結點依次編號，可以得到對應LDPC碼的校驗矩陣，如圖2所示。


圖2矩陣很有規(guī)律，可以看作是由兩個行重為2、維數(shù)為8×8的循環(huán)方陣拼接而成。因此可以猜想，采用某些有規(guī)律的矩陣合并成校驗矩陣，這樣生成的LDPC碼很可能會具有較大的圍長。或者說，將LDPC碼的校驗矩陣分裂為若干個子矩陣，然后每個子矩陣再按照某種規(guī)律構造，就有可能避免小環(huán)的出現(xiàn)。

這里采用矩陣分裂的思想。設要構造一個長為72(n=ρUU∈N)的(λ，ρ)正則LDPC碼，將該碼的校驗矩陣分裂為(λ，ρ)個U×U的子矩陣。



式中：每個子矩陣Hi,j=I(ai,j)(0≤i<λ，0≤j<ρ)均為一個單位陣或者單位陣的循環(huán)移位ai,j表示該單位陣的各行循環(huán)右移的位數(shù)。顯然，這樣構造的校驗矩陣也不可能為滿秩，至多為λρ-λ-1。
為便于描述，用A=(ai,j)表示由各個子方陣的循環(huán)移位參數(shù)組成的矩陣，用(I，J，i，j)表示校驗矩陣中的元素，其中(I，J)為該元素所屬的子矩陣的坐標，(i，j)為該元素在它所屬的子矩陣中的坐標。稱Tanner圖中每個變量結點參與的所有環(huán)的最小長度為該變量結點的環(huán)長，則顯然相應LDPC碼的圍長就等于各個變量結點環(huán)長的最小值。將n個變量結點分為P組，每一組變量結點對應一列子矩陣，則考慮到各個子矩陣的循環(huán)特性，有如下定理成立。

定理1? 屬于同組的變量結點具有相同的環(huán)長。

證明：設任意兩個同組的變量結點x和y，分別對應一列子矩陣的第x列和第y列，且y-x=dmodU，其環(huán)長分別為C(x)和C(y)，并設變量結點x的最小環(huán)路徑如圖3所示。



根據(jù)各個子矩陣的循環(huán)特性，可以找到另一個環(huán)的路徑如圖4所示。



顯然該環(huán)路長度為C(x)且經過變量節(jié)點y，故有：

C(x)≥C(y)??? (2)
同理可得：
C(x)≤C(y)??? (3)

綜合上面兩式，有C(x)=C(y)即對任意兩個同組的變量節(jié)點，它們的環(huán)長均相等，證畢。

由定理1可知，按照上述方法構造的校驗矩陣所對應的LDPC碼，所有變量節(jié)點的環(huán)長至多有ρ種情況，因此對這樣構造的矩陣只需要分別從各組中抽取一個變量節(jié)點，然后只對這ρ個變量節(jié)點進行檢測，即可確定整個碼的圍長。

2校驗矩陣中循環(huán)移位參數(shù)的選取

下面討論4環(huán)的情況。如果一個LDPC碼含有4環(huán)，則它所對應的校驗矩陣中必然有4個“1”處于某個矩形的四個頂點，該環(huán)路路徑可表示為：


定理2? 按照式(1)所示矩陣分裂方法構造的矩陣所對應的LDPC碼不含長為4的環(huán)的充要條件有式(6)成立：


該定理的正確性從前面的描述中即可得知，這里不再贅述。

由定理2很容易得到下面推論：

推論1：按照式(1)所示矩陣分裂構造方法構造的矩陣所對應的LDPC碼不含長為2l的環(huán)的充要條件為：


在編碼設計時，可以首先確定所構造LDPC碼設計圍長，然后根據(jù)上面的定理和推論列出相應的不等約束，進而尋找滿足這些不等約束的參數(shù)即可。

在進行參數(shù)選擇時，可以根據(jù)上面分析和設計的圍長列出各參數(shù)所對應滿足的約束方程，然后尋找滿足這些約束方程的參數(shù)取值。然而，由于這些約束方程均為不等約束，因而無法采用一般的方程組求解法；如果采用窮舉的方法去遍歷各個參數(shù)的所有可能組合，繼而從中找出滿足約束的一組，搜索的范圍將有己U(λ-1)(ρ-1)，這樣即使U的取值范圍很小(如102)，總的搜索范圍也將很大，因而無法實現(xiàn)。

為了實現(xiàn)參數(shù)的快速選取可以采用下述逐參試探算法：???

(1)令ai,0=0(i=0，1，…，λ-1)及a0,j=0(j=1，2，…，ρ-1)；

(2)隨機在{0，1，…，U-1)中選取a1,1取值，然后判斷a1,1是否滿足給定的不等約束，若滿足則確定取值，否則重新執(zhí)行(2)

(3)按照(2)的方法一次確定剩余子矩陣的循環(huán)移位參數(shù)。

按照上面算法，每個參數(shù)至多需要U次試探，這樣總共的試探次數(shù)至多為(λ-1)(ρ-1)U，遠遠小于整個搜索空間U(λ-1)(ρ-1)。

由于該算法采用逐個確定參數(shù)的方法，顯然最后確定的參數(shù)受到的約束是最多的，定義N(l)為考慮消除Tanner圖中長度為2l的環(huán)時最后一個參數(shù)受到的約束方程個數(shù)，則有：



由于各個約束方程均為不等約束，每個約束只能限制參數(shù)不能取某個特定的值，因此所有不等約束限制參數(shù)所不能取的值的個數(shù)至多為約束方程數(shù)目的兩倍。考慮到所要構造的LDPC碼的碼長，U的取值一般在100左右，因此消除六環(huán)一般都可行。

3仿真及性能分析

取U=168，按照上面的方法構造長度為1 008的(3，6)正則LDPC碼，通過計算機搜索檢測發(fā)現(xiàn)，得到子方陣的循環(huán)參數(shù)為：

檢測發(fā)現(xiàn)LDPC碼的圍長為10，為了保證所構造碼的碼率嚴格等于0.5，可以從生成的檢驗矩陣中刪去2個“1”。該碼在AWGN信道下的糾錯性能如圖5所示，圖中的另外兩條曲線分別為相同長度、隨即構造、不消除4環(huán)的(3，6)正則LDPC碼的性能曲線。其中，girth表示圍長；ave表示所有變量節(jié)點的平均環(huán)長。

文獻[8，9]采用PEG算法所構造的長度為1 008的(3，6)正則LDPC碼的圍長為8，平均環(huán)長為9.66，稍劣于上面構造的LDPC碼，因此該方法用于正則LDPC碼的構造時要優(yōu)于其他的構造方法。

通過分析發(fā)現(xiàn)，采用該方法構造的正則LDPC碼與文獻[10]所述方法一樣，其圍長存在一個上限，下面進行詳細介紹。考慮一個維素為2U×3U的矩陣，將其分裂成6個維素為U×U的子方陣，每個方陣均為單位陣或單位陣的行循環(huán)移位，則可以得到一個行重為3、列重為2的矩陣。不失一般性，令第一行子方陣均為單位陣，其余兩個方陣的行右循環(huán)移位參數(shù)分別為a1,1和a1,2，則不論a1,1和a1,3如何取值，該矩陣始終存在如圖6所示的12環(huán)。


將圖6環(huán)上各個的非零元素依次編號，并令編號為1的元素坐標為(0，0，x，x)，則環(huán)上各節(jié)點的坐標如圖7所示。



因此，若采用上面的方法構造(λ，ρ)正則LDPC碼，只要λ≥2，ρ≥2且λ+ρ≥5，相應的校驗矩陣中也就必然包含圖所示的字矩陣或其轉置矩陣，于是得到的LDPC碼的圍長也就必然不可能超過12。

4結? 語

給出了一種高圍長的正則LDPC碼的構造方法，具體分析了去環(huán)方法和循環(huán)移位參數(shù)的選取。用這種方法構造的LDPC碼的H矩陣具有很好的結構。仿真表明，用該方法構造的碼在AWGN信道下性能要優(yōu)于隨機構造的碼。