基于比時(shí)法的晶振頻率測(cè)量建模與分析

李二鵬，文開章，汪為偉

(西北核技術(shù)研究所陜西 西安710024)

0 引言

石英晶體振蕩器受制造工藝、器件老化以及外部溫度等因素影響，其實(shí)際頻率值與標(biāo)稱頻率值存在偏差。此外，晶體振蕩器內(nèi)部存在著各種噪聲也會(huì)使頻率值產(chǎn)生隨機(jī)起伏，從而導(dǎo)致晶振頻率的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度降低。當(dāng)前，國(guó)內(nèi)外在研究晶體振蕩器的老化和隨機(jī)噪聲、分析晶振頻率誤差特性方面提出了很多方法，比較常見的有時(shí)間對(duì)數(shù)線性模型法、自適應(yīng)濾波法及非線性時(shí)變預(yù)測(cè)法。前兩種方法的缺點(diǎn)是參數(shù)較多，選擇合適的參數(shù)較難，非線性時(shí)變預(yù)測(cè)法的模型描述能力強(qiáng)，但由于沒有函數(shù)參數(shù)的顯式表達(dá)式，不能將模型求解歸結(jié)為參數(shù)求解問題，一般通過學(xué)習(xí)來(lái)逼近該函數(shù)，主要用于頻率變化的預(yù)測(cè)。

在上述方法的基礎(chǔ)上，本文利用CPLD設(shè)計(jì)了一種電路，該電路采用比時(shí)法來(lái)測(cè)量晶振頻率變化，并根據(jù)其頻率隨時(shí)間變化擬合曲線的特點(diǎn)，用線性回歸法分析其頻率誤差特性。該方法模型簡(jiǎn)單，參數(shù)易于估計(jì)，可通過簡(jiǎn)潔的補(bǔ)償方法消除晶振相對(duì)頻偏，具有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。

1 晶振頻率測(cè)量系統(tǒng)組成

測(cè)量系統(tǒng)由GPS接收機(jī)、晶振、時(shí)差測(cè)量模塊、時(shí)鐘產(chǎn)生模塊、計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)采集處理組成。組成原理如圖1所示。



GPS接收機(jī)每秒輸出1路TTL電平的標(biāo)準(zhǔn)秒脈沖(1 PPS)，晶振是時(shí)差測(cè)量和時(shí)鐘產(chǎn)生的頻率源。時(shí)鐘產(chǎn)生電路產(chǎn)生本地秒脈沖。時(shí)差測(cè)量電路測(cè)量GPS秒脈沖與本地秒脈沖的相位差值。

采用比時(shí)法測(cè)量晶振頻率的系統(tǒng)工作原理如下：首先由晶振分頻得到本地的1 Hz頻率源，將GPS秒脈沖與本地晶振秒脈沖送入時(shí)差測(cè)量模塊進(jìn)行相位比較，得到兩者的相位差信號(hào)，設(shè)計(jì)時(shí)間間隔計(jì)數(shù)器對(duì)此相差閘門信號(hào)計(jì)數(shù)，計(jì)數(shù)值即為晶振頻率相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)頻率的偏差，反映了晶振頻率的誤差特征。時(shí)間間隔計(jì)數(shù)器每秒測(cè)量一次兩者的偏差值，需要測(cè)量的頻差數(shù)據(jù)量由計(jì)算機(jī)設(shè)定，測(cè)量結(jié)果傳送到計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，并對(duì)晶振頻率誤差特性進(jìn)行分析。本地時(shí)鐘產(chǎn)生、時(shí)差測(cè)量及數(shù)據(jù)采集電路模塊等都由CPLD設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。

2 模型建立

實(shí)驗(yàn)以GPS秒脈沖作為標(biāo)準(zhǔn)參考信號(hào)，采用比時(shí)法對(duì)晶振的輸出頻率進(jìn)行測(cè)量。按照建立的測(cè)量系統(tǒng)，實(shí)際對(duì)某一晶振采集到30個(gè)計(jì)數(shù)值，如表1所示。



表1中x表示測(cè)量的時(shí)間(單位：s)；y表示晶振脈沖計(jì)數(shù)個(gè)數(shù)。假設(shè)晶振在某秒計(jì)數(shù)值為M，它的計(jì)數(shù)周期為T，則MT為晶振秒脈沖與GPS秒脈沖的時(shí)間差值。例如在第6 s時(shí)測(cè)得計(jì)數(shù)值為470，則表示在第6 s時(shí)晶振與GPS秒脈沖的時(shí)間差為470T。為了研究時(shí)間x與計(jì)數(shù)個(gè)數(shù)y之間的關(guān)系，用ORIGIN工具軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理，得到的x，y，關(guān)系曲線如圖2所示。



從散點(diǎn)圖可以看出，測(cè)量計(jì)數(shù)值和測(cè)量時(shí)間大致呈線性關(guān)系。據(jù)此假設(shè)這兩個(gè)變量之間的內(nèi)在關(guān)系是一條直線，這些點(diǎn)與直線的偏離是由于測(cè)量過程中其他一些隨機(jī)因素的影響而引起的，這樣可以假設(shè)這組測(cè)量數(shù)據(jù)有如下結(jié)構(gòu)形式：



式中：ε1，ε2，…，εN分別表示其他隨機(jī)因素對(duì)變量y1，y2，…，yN影響的總和，一般假設(shè)它們是一組相互獨(dú)立，并服從同一正態(tài)分布N(0，δ)的隨機(jī)變量。變量x在實(shí)驗(yàn)中為自然數(shù)，表示具體的秒脈沖數(shù)值。這樣，變量y表示實(shí)際所測(cè)得的晶振與標(biāo)準(zhǔn)頻率的計(jì)數(shù)差值，它是服從N(β+βx，δ)的隨機(jī)變量。

用最小二乘法們來(lái)估計(jì)參數(shù)β0，β。設(shè)b0，b分別是參數(shù)β0，β的最小二乘估計(jì)，于是得到一元線性回歸的回歸方程：



式中：b0，b是回歸方程的回歸系數(shù)，分別表示晶振相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)頻率的初始誤差和累積誤差。應(yīng)用最小二乘法可求得回歸系數(shù)b，b0為：


3 數(shù)據(jù)分析與處理

3.1 回歸系數(shù)估計(jì)

為了定量分析數(shù)據(jù)，從而確定晶振頻率誤差的組成，首先對(duì)上述測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。實(shí)際測(cè)量中得到的是晶振脈沖的計(jì)數(shù)個(gè)數(shù)，設(shè)測(cè)量系統(tǒng)所用晶振頻率為10 MHz，可將計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為晶振相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每秒的時(shí)間之差。例如在x=30 s時(shí)，y=2 349，表示在第30 s時(shí)，晶振頻率相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)頻率的計(jì)數(shù)值為2 349，若晶振頻率f=10 MHz，則可得到在第30 s時(shí)晶振相對(duì)于GPS時(shí)間的誤差為t=y／f=234.9μs。

用Matlab對(duì)歸一化數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，依照最小二乘原理，得到計(jì)數(shù)時(shí)間x與時(shí)間差值y的均值，以及x的自相關(guān)、x和y的互相關(guān)、y的自相關(guān)及回歸方程如表2所示。




以上求得了回歸方程，但是該方程是否基本上符合y與x之間的客觀規(guī)律，是否符合晶振頻率誤差變化的實(shí)際特點(diǎn)，還需要對(duì)回歸方程做進(jìn)一步的分析。在回歸分析法中，通常采用方差分析法們對(duì)回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，其實(shí)質(zhì)是將N個(gè)測(cè)量值的影響從數(shù)量上區(qū)分開，然后用F檢驗(yàn)法對(duì)所求回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。

3.2 晶振頻率誤差數(shù)據(jù)方差分析及顯著性檢驗(yàn)

測(cè)量值y1，y2，…，yN之間的差異(稱為變差)是由兩方面的原因引起的。一是自變量取值的不同，二是其他因素(包括試驗(yàn)誤差、隨機(jī)誤差等)的影響。為了對(duì)回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn)，把兩者所引起的變差從y的總變差中分解出來(lái)。根據(jù)上述數(shù)據(jù)可得：



式中：U稱為回歸平方和，它反映了在y的總變差中由于x和y的線性關(guān)系而引起的y變化的部分；Q稱為殘余平方和，即所有測(cè)量點(diǎn)距回歸直線的殘余誤差平方和。

若總的平方和由N項(xiàng)組成，其自由度就為N-1，總的離差平方和的自由度可分為回歸平方和的自由度υU和殘余平方和的自由度υQ之和，即：



在一元線性回歸中，υ_U=1，υ_S=N-1，則Q的自由度υ_Q=N-2。由回歸平方和與殘余平方和的意義可知，一個(gè)回歸方程是否顯著，也就是y與x的線性關(guān)系是否密切，取決于U及Q的大小，U愈大Q愈小，說(shuō)明y與x的線性關(guān)系愈密切。通常可以采用F檢驗(yàn)法來(lái)對(duì)方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。對(duì)于一元線性回歸，將U及Q的值代入上式得到統(tǒng)計(jì)量F：



由F分布表可以查出，F(xiàn)≥F_0.01(1，28)=7.64。可認(rèn)為回歸是高度顯著的。

殘余平方和Q除以它的自由度υ_Q所得商：


稱為殘余方差，它可以看作排除了x對(duì)y的線性影響后，衡量y隨機(jī)波動(dòng)大小的一個(gè)估計(jì)量。殘余方差的平方根：

稱為殘余標(biāo)準(zhǔn)差，它可用來(lái)衡量所有隨機(jī)因素對(duì)y一次性測(cè)量平均變差的大小，σ愈小，則回歸直線的精度愈高。

把平方和及自由度進(jìn)行分解的方差分析數(shù)據(jù)結(jié)果歸納在一個(gè)表格中，如表3所示。



從表3可以看出，在30 s時(shí)間內(nèi)，晶振實(shí)際頻率與其標(biāo)稱頻率的相對(duì)偏差引起的誤差平方和為1.377 18×10⁵μs²，其他各種隨機(jī)因素引起的誤差的平方和為1.996μs²。晶振相對(duì)頻偏引起的誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他因素引起的誤差，表明了晶振頻率誤差貢獻(xiàn)主要來(lái)源于實(shí)際頻率與標(biāo)稱頻率之間的頻偏。通過頻率修正即可得到一種高穩(wěn)定度的頻標(biāo)源。

4 結(jié)語(yǔ)

以上分析結(jié)果表明，該晶振頻率誤差主要來(lái)源于實(shí)際頻率與標(biāo)稱頻率的相對(duì)偏差，隨機(jī)誤差對(duì)晶振整體誤差的貢獻(xiàn)很小。通過對(duì)晶振標(biāo)稱頻率值進(jìn)行在線補(bǔ)償可以消除其相對(duì)頻偏，從而獲得一種具有較高穩(wěn)定度的頻率源，可為需要時(shí)間顯示的場(chǎng)所提供高精度的時(shí)間服務(wù)。

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