一、數值實驗的過程和特點

傳統意義上的實驗，即現在所稱的實驗室實驗，是指用物質手段改變研究對象而獲得關于其性質或狀態的信息。這里稱人們有目的地運用電子計算機來了解某類客觀事物的性質或狀態的實踐活動為數值實驗。數值實驗不僅僅是求解問題的數值計算，重要的是觀察模型條件和參數變化時，結果有何種相應變化。關于后者，[1]中生動地描述為“先是創造一個微小的宇宙，然后觀察它的演化，然后再改動這兒，改動那兒，改動一些性質之后，再觀察一遍從頭開始的演化過程。”

數值實驗的過程包括個3基本步驟：

明確數值實驗目的，設計數值實驗方案；

選擇和/或編制數值計算程序，上機運算；

對計算機輸出的數字或圖形進行理論分析。

新的普適常數δ的發現就是上述過程的一個例子。首先，費根鮑姆 (Feigenbaum) 為了找到在區間迭代映射中進入混沌帶的規律，選擇了一些截然不同的單峰非線性函數進行迭代；其次，在與成千上萬個數據接觸中他發現δ=4.6692...這個數值反復出現；最后，他用π、e、c、h、k等已知普適常數做各種組合，以驗證δ確是一個新的普適常數。此外，他還用重整化群方法在理論上進行了論證。需要指出的是，數值實驗的步驟3至關重要，計算機的大量輸出，若無理論分析，難以說明任何問題。

數值實驗具備一些獨特的性質。首先，數值實驗的實驗對象是客觀實在的理論抽象，是經過提煉的數學模型，這種抽象的實驗對象往往能突出客觀實在的特性。例如洛倫茨 (Lorenz) 在研究長期氣象預報的困難所在時，并不直接以大氣現象為實驗對象，而是針對經截斷的流體對流模型進行數值實驗，發現了后來所稱的“蝴蝶效應”，從而揭示了長期氣象預報的不可能性。

其次，數值實驗中的實驗條件可以較精確地加以控制。近現代科學中的實驗都是受控實驗，需要對實驗條件進行控制。實驗室實驗由于外界隨機噪聲背景的干擾和各類測量性誤差的限制，因而很難實現嚴格的控制；在數值實驗中，實驗條件即是所研究數學模型中的各種參數，因而可以達到很高精度的控制，這在非線性問題研究中也是非常必要的。例如在描述外周期力作用下不含擴散項的三分子反應的布魯塞爾 (Brussel) 振子模型中，有4個參數，外加2個初值，只有在數值實驗中才可能分析某個參數對模型混沌性態的影響。

最后，數值實驗的一個特點是實驗所需的人力物力較少，實驗周期短，實驗過程與結果可以存盤長期保存，實驗也易于重復檢驗。這些都是實驗室實驗無法比擬的。

二、數值實驗的作用

在非線性問題中，由于理論不完備，實驗室實驗難度較大，因此數值實驗起著非常重要甚至是不可替代的作用。這些作用主要表現在以下幾個方面。

數值實驗在非線性問題研究中的一個突出作用是發現新現象。截斷對流模型呈現的非周期運動、非可積非遍歷的非線性耦合雙振子系統從周期運動到隨機運動的過渡、無碰撞液體中的孤立子、單自由度非線性振子貌似隨機的混亂定常運動、2維映射中的奇怪吸引子、單峰非線性閉區間迭代由倍周期分叉到混沌的普適常數δ?和α、復平面上迭代映射形成的分形集，以及迭代求根公式中不同根吸引區域的復雜邊界，諸如此類的大量新現象都是由數值實驗發現的，這已成過去20余年來非線性問題研究的重要特色。

數值實驗在非線性問題研究中的另一作用是補充理論結果，數值實驗可以使一些理論結果定量化。例如在采用漸近法或攝動法等近似解析方法研究非線性問題時，其結論往往僅當問題中某個小參數ε充分小時才適用，對于特定問題，只有用數值實驗才能定量地確定出ε的容許范圍。數值實驗還可以揭示理論結果中有關條件不成立時將發生的情況，如著名的KAM定理條件不成立時的混沌圖像便是由埃農 (Hénon) 和福特 (Ford) 等人進行大量數值實驗而得到的。

數值實驗還可以借助具體直觀來提供啟示，激發靈感。這種作用早在電子計算機問世之前就在數論及低維幾何和拓撲等數學分支中顯示，高斯推測素數定理就是一例。現代計算機及其圖形顯示技術使得數值實驗能更有效地發揮這種作用。例如完成曼德爾布羅 (Mandelbrot) 集連通性證明的哈伯德 (Hubbard) 后來回憶，在仔細觀察計算機描繪的圖案數小時后，他認為曼德爾布羅集是連通的，有了正確的結論便大大減少了證明的困難。此外，計算機繪出的各種美麗圖形也能更廣泛地引起研究者的興趣，突出的例子是分形的研究。雖然早在20年代就由朱利亞 (Julia) 開創了復平面迭代的研究，后又有當代數學大師阿爾福斯 (Ahlfors) 的參與，但仍因有關圖形無法用紙和筆繪制出來而不得不偃旗息鼓。直到70年代末曼德爾布羅用計算機繪出先前僅在研究者大腦中有想象的圖形，才使分形研究受到普遍關注。

像實驗室實驗一樣，數值實驗還有檢驗理論結果的作用。有人甚至認為“數值計算一般可以是理論分析的最終檢驗”。早在混沌等非線性問題研究熱潮興起之前，費米 (Fermi) 等人就曾用數值實驗針對非線性振子耦合鏈的動力學行為檢驗了波爾茨曼 (Boltzmann) 遍歷性假設，結果該系統并沒有出現假設所預言的情形，從而知道遍歷性并非是不可積動力系統的普遍性質。大量非線性問題，如同一偏微分方程的兩個孤立波相撞后是否保持其形狀不變從而具有孤立子的特征、陣發混沌與倍周期分叉的關系、倍周期分叉序列或MSS普適序列在微分方程所控制系統中的實現等，均可用數值實驗進行檢驗。數值實驗甚至還有可能證明定理，曾將費根鮑姆的有關結論在計算機輔助下予以證明的蘭福德 (Lanford) 正在努力使數值實驗成為嚴格證明的方法。

三、理論在數值實驗中的作用

現代科學哲學已提供大量的論證和實例表明實驗是不能脫離理論的，數值實驗作為一種特殊的實驗，理論在其中起著更重要的作用。

數值實驗的全部過程都是在理論的指導和配合下實現的。數值實驗的對象（數學模型）本身便是理論研究的產物，數值實驗的目的（發現什么、驗證什么等）都直接或間接地與理論的發展有關。編制和實施計算程序要用到計算數學理論，分析處理計算機輸出更需要有較高的理論素養。

理論在數值實驗中的作用還表現在，數值實驗的結果要得到充分重視必須有理論研究的背景，回顧一些重要的數值實驗被忽視的史實便可以清楚地看出這一點。仍以費米等人的耦合非線性振子數值研究為例，這是最早的一個重要數值實驗，現已公認它的結果是對當時物理學基本觀念的挑戰。它一方面否證了遍歷性假設，另一方面也是現已滲透到數學物理每個分支的孤立子理論的開端。但由于當時的理論研究背景，費米等人也僅將它當作反常的個別現象未予以深入研究，有關論文也沒有正式發表，10年后才收入費米的全集，近20年后在孤立子研究熱潮中重新發表。[1]中記敘的有關混沌的一些數值實驗亦有類似命運。

理論研究與數值實驗又是互相補充的。例如在研究連續流動攪拌槽反應器數學模型分叉問題中，厄帕爾 (Uppal) 等人在進行大量數值實驗的基礎上給出了系統的5種局部分叉圖，戈盧比茨基 (Golubitsky) 等人應用奇異理論予以證實并發現2種新的分又圖，他們還指出這些局部結果有可能推廣到全局，巴拉科泰亞 (Balakotaiah) 等用數值實驗驗證了上述理論結果可以推廣到全局。這種從數值實驗到理論分析再到新的數值實驗的研究模式，在非線性問題研究中有著廣泛的應用。

綜上可知，與實驗室實驗相比，數值實驗與理論的關系更為密切。就數值實驗的性質而言，誠如埃農所說：“數值實驗是名副其實的實驗，要用實驗物理學家而不是數學家的心態描述和評價。”但就其實施過程而言，則更接近于理論研究。可以認為數值實驗的出現在一定程度上淡化了實驗研究與理論研究的差別。

四、數值實驗的局限性

任何方法都不是萬能的，數值實驗也不例外，它也有自身的局限性。

數值實驗的局限性首先表現在它完全依賴于問題的數學模型。若尚無令人滿意的數學模型，如地震過程，數值實驗便無能為力。若數學模型非常復雜，如湍流，數值實驗所能起的作用也是很有限的，特別是在大雷諾數的情況下，計算量之大使得即使是大尺度精確模擬也不可能，只能借助于大渦模擬等一些特定模式。

必然存在的誤差也反映了數值實驗的局限性。即使不考慮建立模型本身時的誤差，數值實驗也不可避免地存在著截斷誤差和舍入誤差。數值運算如積分、求導、級數求和等極限過程，都是強制性近似的，無限多位的實數是通過有限位的截尾數來近似的。已有的相同數學模型采用不同算法或在不同機器上運行得到定性相異結果的報道表明，數值實驗結果同計算方法和工具有關。斯帕羅 (Sparrow) 在對洛倫茨方程的系統研究中，謹慎地將大多數數值實驗在不同的計算機上用不同的算法進行，這對于克服誤差產生的局限無疑是必要的，但仍不是充分的。

數值實驗的局限性還表現在對計算工具有相應的技術要求，如運算速度、存儲容量、機器字長、繪圖設備等，因而一些令人感興趣的數值實驗，如奇怪吸引子隨參數或初值變化的動態顯示，實施時仍有相當困難。

數值實驗的有限性也是一種局限。除上述精度的有限性外，其實驗范圍也是有限的。當數學模型中變量取值范圍為無限時，數值實驗便缺乏穩固的基礎。例如數值實驗出現了混沌的時間歷程時，并無充分的理由排除這種非周期的時間歷程可能僅是某周期很長的周期時間歷程的一部分。數值實驗往往不得不假設在一定條件下，有限的部分能夠表明無限的整體的特征。

最后，數值實驗歸根結底是個案研究，它的結果實質上是一種特定方程針對其特定參數和初、邊值條件的解。即使沒有上述諸局限，它也僅能證明一般性的理論結果，而不能證實。相當多的數學家對蘭福德等人發展的計算機輔助證明持保留態度并非全無道理。由此也可知，在數值實驗蓬勃發展的近20多年中，動態系統和奇異性等拓撲和幾何的定性理論也有重大進展并廣泛應用于各類具體問題，絕不僅是時間上的巧合，這恰是對數值實驗局限性的一種補救。

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