摘 要：本文研究了一種運用FPGA進行數據處理的方法，包括：提取輸入數據的高log2M個比特位的數據，作為高有效位，根據預先設置的目標函數的計算表格，查找所述高有效位對應的目標函數值y(n)以及高有效位+1對應的目標函數值y(n+1)；提取輸入數據的剩余比特位數據，作為低有效位，并將所述低有效位與y(n)和y(n+1)的差值相乘，得到偏移值off(n)，將該偏移值與所述高有效位對應的目標函數值y(n)相加，將計算結果作為所述輸入數據對應的目標函數值。本方法具有控制簡單、結構規則、單運算周期、計算精度較高的特點，適合于FPGA的數據處理實現。

引言
現場可編程門陣列（FPGA）芯片在許多領域均有廣泛的應用，尤其是在無線通信領域。FPGA具有極強的實時性和并行處理能力，這使其對信號進行實時處理成為可能。FPGA內部一般都包含邏輯單元（查找表/觸發器）、存儲單元（BRAM）、乘加單元（MAC）和一些其他的時鐘、引腳單元等[1-3]。

現代數字信號處理的主要發展趨勢是：算法結構日趨復雜，計算量大，實時性要求高，并且包含大量的三角函數、開方、對數等復雜函數的計算。但FPGA內部的乘加單元并不適合直接進行此類函數的計算，需要把各種復雜函數分解為簡單的移位、加法和乘法結構，進而在FPGA中實現[4]。

當前，在FPGA上實現三角函數、開方、對數等復雜函數的計算，技術領域最常見的是除法，其次為開方和三角函數，很少涉及對數和其他復雜一些的函數。而在FPGA具體的實現上，此類函數一般采用直接查表法或冪級數展開法，對于三角函數和開方的計算，也會采用CORDIC的計算方法，但這三種方法的應用都有一定的局限性[4]。

1 現有的FPGA實現方法
（1）在FPGA上采用直接查表方法，來實現函數的計算，具有：
優點——通用性強、結構簡單；
缺點——隨著輸入位寬的增加，內部存儲量的消耗呈指數性增長。
表1給出了不同輸入輸出位寬所需要的存儲單元（BRAM）。

表1 不同輸入輸出位寬所需要的存儲單元

可以看出，輸入輸出位寬較小時，直接查表法可以滿足實現要求，但在數字信號處理領域，輸入輸出一般都在16bits以上，這時采用直接查表法就很難滿足實現需求。

這里以開方算法為例進行說明。采用直接查表法進行開方計算有2種方式。

方式一：在完全保證精度的條件下，采用直接查表法。若開方為16bits輸入16bits輸出，在完全保證精度的條件下，FPGA就需要存儲216深度的數據，需要64塊18k BRAM的存儲空間。而一片中等FPGA一般包含幾十塊到幾百塊的18k BRAM存儲單元，此時計算就要用掉大部分的存儲單元，顯然不滿足實現的資源需求。

方式二：降低精度，減少輸入位寬，采用直接查表法。

表2 直接查表法開方誤差表

可以看出，隨著實際有效輸入的增加，計算精度變大，很難滿足計算的誤差要求。

（2）在FPGA上采用冪級數展開法計算函數。
優點——計算精度可控，多級展開可以達到較高的計算精度；
缺點——冪級數展開法為了達到較高的精度，需要多級展開，這樣就需要采用較多的資源來實現。
以exp為例（0～π/4范圍內），采用三角函數冪級數展開法：

?

若輸入為16bits，采用冪級數展開法的計算框圖如圖1。
從資源方面考慮，三角函數冪級數展開法在FPGA中的實現需要5級乘法和3級加法，考慮每級乘法位寬需要擴展，實際需要FPGA的12個乘法器
（18bits×18bits）資源。此外從誤差方面考慮，0～π/4范圍內，cosΦ的最大誤差為0.046%， sinΦ的最大誤差為0.35%。

?

圖 1 冪級數展開法實現exp計算

此外冪級數展開法的應用范圍也比較有限，開方、倒數、對數、三角函數的計算可以采用冪級數展開法，但對于等較復雜的函數計算就不再適合用此方法進行計算。

（3）在FPGA上采用CORDIC法來實現函數的計算。
優點：將復雜的運算分解為簡單移位、加迭代
運算，結構規則，運算周期可以預測，比較適合于FPGA實現；
缺點：一般使用多周期方式，單周期方式資源消耗較高，并且計算僅限于向量旋轉、開方等有限的范圍。
采用CORCIC計算三角函數，16bits輸入，在多周期條件下需要500個左右的LUT/FFs，在單周期條件下，需要1000個左右的LUT/FFs。

2 本文提出的方法
本文在FPGA上采用兩級方法進行函數計算：第一級，直接利用輸入數據的高有效位確定計算結果的有效范圍；第二級，直接利用輸入數據的低有效位進行計算結果的誤差調整。本研究方法充分利用FPGA內部的各種邏輯資源、乘加器（或乘法器）資源和BRAM資源：可以根據FPGA內部BRAM資源的大小采用相應深度的數據表存儲第一級數據的有效范圍；采用FPGA內部的乘加器（或乘法器）資源進行乘加操作。此方法具有控制簡單，結構規則，單運算周期，計算精度較高的特點，適合于FPGA的算法實現。

此外，采用本研究方法的兩級計算的方法，不同函數的計算實現方法一致，只要修改第一級計算高有效位數據表格中的數據，就可以復用設計，有利于資源共享和模塊化實現。

圖2 FPGA兩級法進行函數的計算

同現有方案的比較分析：
（1）同直接查表法比較
以開方為例進行，資源和誤差的列表如表3。可以看出，在資源和誤差方面，本研究方法在FPGA上實現函數計算優勢明顯。此外，FPGA可以通過增加存儲單元和擴展輸出位寬來進一步提高計算精度。

表3 兩級計算法開方同直接查表法誤差比較表

（2）同冪級數展開法的比較
首先，本問題出的新方法比冪級數展開法的應用范圍更廣泛。其次，在同樣的函數下，以exp的計算為例，本文提出的新方法資源更好，誤差更小。在資源方面，FPGA上采用的兩級計算方法， 同時計算只需要2個乘法器即可，遠遠少于冪級數展開法的資源消耗；在誤差方面，0～π/4范圍內，16bits輸入，cosΦ和sinΦ的最大誤差都小于10-5，因此此方法誤差比冪級數展開法誤差要小。

（3）同CORDIC方法比較
首先，本文提出的新方法比冪級數展開法的應用范圍更廣泛。其次，在同樣的函數下，以exp的計算為例，新方法資源消耗相對較少，cosΦ和sinΦ同時計算只需要300個左右的LUT/FFs即可。而且，新方法采用的是單運算周期模式，運算速度更高。

3 實現流程
如圖3所示，本論文采取的實現方法如下：
步驟一：根據一維函數的計算，預先生成一定深度的計算表格；
步驟二：移位（可選），把數據的高有效位移位成1，增加較小數據的計算精度；
步驟三：提取數據的高bits，作為第一級數據表的地址，得到數據值y(n)；
步驟四：提取數據的高bits，加1后作為第一級數據表的地址，得到下一個數據值y(n＋1)；
步驟五：計算差值diff(n)=y(n+1)-y(n)；
步驟六：提取數據的低bits，作為有效的偏移數據，同計算的差值相乘，得到偏移off(n)=data_lsb(n)*diff(n)；
步驟七：高位查表數據值y(n)同偏移相加得到計算值out=y(n)+off(n)；
步驟八：根據步驟一的移位逆操作（可選），得到實際輸出值。

?

圖3 FPGA兩級法求解函數的流程框圖

如圖4所示，對本研究方法進行進一步的詳細說明。

對于任意一個一維函數，若采樣點足夠密集，那么任何2個采樣點之間可以看作是線性關系，可以通過插值的方法來計算。

?

?

?

圖4 FPGA兩級法求解函數的詳細說明

?

?

?

?

由圖6可得出，兩極法的誤差范圍更小。

4 結論
在現代數字信號處理方面，FPGA具有極強的實時性和并行處理能力[5]。在FPGA的實現上，本文介紹了現有的直接查表法、冪級數展開法、CORDIC計算方法的優缺點。在此基礎上，本文研究了基于FPGA的兩極計算法，并把它和以上三種方法進行比較，得出兩極算法具有控制簡單、結構規則、單運算周期、計算精度較高的特點。此外，本文詳細介紹了兩極算法的實現流程，并舉例來進行說明，使讀者能夠更好地掌握兩極算法。

參考文獻
Xilinx-Virtex7 Data Sheets. 2014.11.
Xilinx-Virtex7 User Guides. 2014.11.
Altera-Stratix V Device Datasheet. 2015.7.
貝耶爾.數字信號處理的FPGA實現（第3版）[M].2011.
John G.Proakis，Dimitris G.Manolakis.數字信號處理――原理、算法與應用（第四版）[M].