Widrow和Hoff等人于1960年提出最小均方誤差(LMS)算法，由于其結構簡單，計算量小，穩定性好，易于實現等優點而得到廣泛的應用。LMS算法的缺點是收斂速度慢，它克服不了收斂速度和穩態誤差這一對固有矛盾：在收斂的前提下，如果步長取較大值，雖然收斂速度能得到提高，但穩態誤差會隨之增大，反之穩態誤差雖然降低但收斂速度就會變慢。為解決這一矛盾，人們提出了許多改進型自適應算法。其中很大一類是變步長LMS算法。文獻[4]提出Sigmoid函數變步長LMS算法(SVSLMS)。該算法在初始階段或未知系統的系數參數發生變化時，其步長較大，從而使該算法有較快的收斂速度；而在算法收斂后，不管主輸入端干擾信號e(n)有多大，都保持很小的調整步長，從而獲得較小的穩態失調噪聲。但Sigmoid函數過于復雜，且在誤差e(n)接近零處變化太大，不具有緩慢變化的特性，使得SVSLMS算法在自適應穩態階段仍有較大的步長變化；文獻[5]提出的算法引入了多個調整參數，因而步長因子不易設計和控制；文獻[6-8]提出了3種與誤差信號成非線性關系的步長設計方法，該類算法具有較好的收斂性能，但3種算法在計算步長因子時，都存在指數運算。在數字信號處理中，進行一次指數運算需要的計算量，相當于進行多次乘法運算的計算量。

因此這類算法在實現時，增大了計算復雜度。為克服上述變步長LMS自適應濾波器存在的不足，在此提出了一種新的變步長LMS自適應濾波算法，該算法具有良好的收斂性能，較快的收斂速度，較小的穩態誤差．良好的魯棒性，并且在求變步長因子時計算量較小。

1 新的變步長LMS算法分析

基本的固定步長LMS算法的迭代公式可以表述為：



式中：X(n)表示時刻n的輸入信號矢量；W(n)表示時刻n自適應濾波器的權系數；d(n)是期望輸出值；e(n)是誤差；μ是控制穩定性和收斂速度的參量(步長因子)。本文基于文獻[6，7]建立一個步長μ(n)和誤差e(n)的函數關系：反正切函數是一個關于自變量的增函數，且在零附近變化平緩，而且是一個有界函數，函數值不會發散。根據W(k+1)=W(k)=w*=最佳Wiener解，即2μ(n)e(n)X(n)=0并且0<μ(n)<1／λmax，即∣e(n)X(n)∣=0，求得e(n)最小值。
根據上述討論，可將新算法的變步長μ(n)取為：

μ(n)=βαtan(α∣e(n)X(n)∣)

初始時刻∣e(n)X(n)∣很大，由于反正切是一個自變量的增函數，所以μ(n)較大；隨著算法不斷地向穩態趨近，∣e(n)X(n)∣不斷減小，μ(n)也隨之不斷減小；當達到穩態時，∣e(n)X(n)∣很小，μ(n)也很小，此時的穩態失調誤差也很小。

由圖1可看出α越大，相同誤差水平時的步長也越大，但在誤差接近為零時步長變化越劇烈。圖2是β取不同值時的步長變化曲線，可以看出隨著β的減小步長也在減小。

2 仿真及結果分析

下面通過計算機仿真來驗證算法的收斂性能。仿真條件為：自適應濾波器的階數為L=2；未知系統的FIR系數為W=[0，0]^T；參考輸入信號x(n)是零均值，方差為1的高斯白噪聲；v(n)為與x(n)不相關的高斯白噪聲。分別做200次獨立的仿真，采樣點數為1 000，然后求其統計平均，得出學習曲線。

圖3是α固定，不同β值對應的收斂曲線。隨著β值的增大，算法的收斂速度逐漸加快。圖4是β保持不變，不同α值對應的收斂曲線，隨著α逐漸減小，算法的誤差也隨之減小，但達到穩態的時間逐漸增加。

文獻[7]提出了一種改進的變步長LMS算法，其步長變化為e(n)X(n)的函數：

μ(n)=β[1-exp(-α∣e(n)x(n)∣²)]

該算法取α=15，β=0.3。圖5是在第500個采樣點時刻未知系統發生時變，系數矢量變為W=[0.2，0.5]^T時本文算法與文獻[7]算法的比較，分別做500次獨立的仿真，然后求其統計平均，得出學習曲線。可以看出本文所述算法具有更快的收斂速度，更快地回到穩態，說明此算法具有更好的魯棒性，并且計算量更小。

3 在DSP上的具體實現

本文使用TI公司的TMS320C5402芯片，該芯片采用哈佛體系結構，具有高度并行性，同時擁有高度集成的指令系統，簡化編成過程，模塊化結構程序設計增強了程序的可移植性。

程序在CCS環境下編譯，鏈接生成公共目標代碼文件，再load到DSP中運行。本文采用C語言編程。圖6為被噪聲污染的輸入信號，圖7為濾波后的信號。比較兩圖可以看出，混合信號經過本文算法處理后噪聲得到了很好的抑制，而原始信號得到了明顯的加強和改善。

4 結語

本文提出了一種新的變步長LMS算法。該算法通過對最佳Wiener解的分析，并用反正切函數建立了步長因子μ(n)與誤差e(n)的非線性函數關系。本算法具有初始階段和未知系統時變階段步長自動增大而穩態時步長很小的特點，且具有良好的魯棒性和較小的計算量。通過在DSP上的實現，說明此算法具有可實行，并且實現方法簡單，濾波效果好。