描述

最近在做特征級別的感知結果融合算法。我的工作目的，是要將多種不同傳感器的感知結果，通過一定的機制融合起來，得到融合后的感知結果。

為此看了一些資料，了解到Apollo中使用了匈牙利匹配算法，之前不懂就學習了一下。

創建ROS工作環境

匈牙利算法（Hungarian Algorithm），該算法的核心就是尋找增廣路徑，它是一種用增廣路徑求二分圖最大匹配的算法，是一種能夠在多項式時間內解決分配問題的組合優化算法。

網上有些作者比喻得很貼切，一句話先簡單理解下匈牙利算法吧：有100個男人和100個女人，使用匈牙利算法可以湊出更多的夫妻（一男一女…）。

為了更深的理解算法是如何運行的，我們需要補充一些圖論知識：比如，什么是二分圖，什么又是增廣矩陣，等等。（圖論中非相關知識自行學習）

二、算法所需的圖論知識

二分圖

一個圖中的所有頂點可劃分為兩個不相交的集合 U 和 V ，使得每一條邊都分別連接U、V中的頂點。如果存在這樣的劃分，則此圖為一個二分圖，又稱二部圖。

“這個二分圖可以理解為某個世界，在該世界中人非男即女。那么每個人其實都是這個圖中的一個頂點，男人集合和女人集合彼此割裂，男人就是男人，女人就是女人，男人可以和女人結合，這實際上就是一個二分圖。”

匹配

二分圖中的一個匹配，就是此時二分圖中一些邊的集合，這個邊集合中的任意兩條邊沒有公共的頂點，也構不成一個圈。

“100個男人和100個女人組成的二分圖中，如果可以任意結婚，那么就會有很多種結婚組合。我們把其中的一種結婚組合的可能性，稱為一次匹配。在這次匹配中，任意一對夫妻都是合法夫妻，沒有任何性別的第三者存在哈哈。”

最大匹配

一個圖的所有匹配中，所含匹配邊數最多的匹配，稱為這個圖的最大匹配。最大匹配數，就是最大匹配時邊的數目。

“100個男人和100個女人，在平行時空下肯定有很多種結婚的組合啊，也就是有很多種匹配。

那么，在所有匹配中，結婚對數最多的那次匹配，就是這個二分圖的最大匹配。匈牙利算法是個月老和丘比特，他的目標就是要湊出最多的新人”

完美匹配

如果一個圖的某個匹配中，所有的頂點都是匹配點，那么它就是一個完美匹配。

顯然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一個點都已經匹配，添加一條新的匹配邊一定會與已有的匹配邊沖突）。但并非每個圖都存在完美匹配。

“100個男人和100個女人，每個男人都和一個女人結婚了，而且他們都是沒有重婚罪的合法夫妻，這就是這個圖的完美匹配。顯然，這是一次最大匹配了。

如果100個男人和99個女人構成的二分圖，即使匈牙利算法再厲害，也還是會有個單身狗，并不存在完美匹配。”

三、算法原理

匈牙利算法有兩個重要概念，先介紹一下。

交錯路徑

給定圖G的一個匹配M，如果一條路徑的邊交替出現在M中和不出現在M中，我們稱之為一條M-交錯路徑。

增廣路徑

如果一條M-交錯路徑，它的兩個端點都不與M中的邊關聯，我們稱這條路徑叫做M-增廣路徑。增廣路徑有一個重要特點：非匹配邊比匹配邊多一條。

我畫了一幅圖，我們有一幅8個頂點構成的圖G。其中有一種匹配，是圖中的黑線表示的2和4兩條邊，這兩條邊加上8個頂點，構成了圖G的一種匹配M。

為了方便理解，我將圖中的8個頂點按照二分圖進行劃分，綠色點表示男人，黃色點表示女人。

顯然匹配M的意思就是，8個人中，由邊2和邊4代表的兩對男女結成了夫妻。

按照交錯路徑的概念，1234、2345、12345都是M-交錯路徑（123456都不是，因為5和6均不在匹配M中，01234同理），而在這三個交錯路徑中，只有12345才是M-增廣路徑。那么，找出匹配M的增廣路徑意義合在呢？

我們會發現，在路徑12345中，還存在著另外一種匹配1、3、5，它的匹配數是3，要大于匹配M的匹配數2。

那么我們就得到了新的一個匹配N，它比匹配M更優。按照同樣的方式，我們來尋找N-增廣路徑，會發現0123456是匹配N的增廣路徑，它的匹配數是4。

因此圖G的最大匹配，實際上是由0、2、4、6等四條邊構成的匹配。

因此，研究增廣路徑的意義就是改進匹配模式，只要把增廣路徑中的匹配邊和非匹配邊的身份交換就可以了。身份交換后，圖中的匹配邊數目，將比原來增多 1 條。

匈牙利算法的核心，就是通過不斷尋找原有匹配M的增廣路徑，來增加匹配中的匹配邊和匹配點，從而達到該圖下的最大匹配。

四、算法流程

概念

飽和

設一個圖為G，G中一些不相鄰的邊組成了一個集合M，這個集合M就是G的一個匹配。匹配M中的每條邊都有兩個端點，這兩個端點都稱為是M飽和的。

“有一些男人一些女人婚姻關系未明（一個圖G），一些男女結成了夫妻（一種匹配關系M），結婚的男女都算已婚了（M飽和）”

綜上，就把飽和——理解成已婚，比較好理解我下面的分析。

4.1 匈牙利算法單邊飽和

第0步

10個男人，9個女人，怎么飽和？如果10個男人，有10個及以上的女人，存在飽和的可能性，任選一種匹配M，準備去找一個飽和X匹配。

第1步

如果當前匹配M，已經X飽和了，10個男人都匹配了老婆，算法停止；否則，任取一個沒老婆的男人x（取X中一個M非飽和點x），這個男人放進集合S中，并設一個集合T為空集。

集合S中會存儲已經結婚的男人+這個單身狗，集合T是這些男人的已婚配偶。

第2步

如果集合S中的位于匹配頂點的男人，他們可以匹配的女人（頂點的臨接頂點N(S)），全部是已婚配偶（∈T），那么算法停止，當前的圖就是會有男人找不到老婆。

否則，我們找到了一個沒有在當前路徑的女人y（y∈N(S)-T），當然了這個女人可能有老公（也在匹配M中，只不過是不同路徑），也有可能是硬拆散的（算法首次進入第2步，由于集合T為空，會強拆掉一組夫妻），也有可能壓根就是未婚的。

第3步

如果上一步選擇的女人y，她是有老公z的（y是M飽和的，yz∈M）。我們暫時先把他們拆開，老公z放進集合S中，女人y放進集合T中，然后去執行第2步。

去執行第2步，意味著也許也許也許…拆掉現有的一對夫妻，這對夫妻中的老婆能解決之前狼少肉多問題的同時，老公還能找到新的老婆。

否則，如果上一步選擇的女人y，是沒有老公的。我們找到了新的一種結婚方案（一條增廣路P(x,y)），這個方案里讓單身狗x去娶一個已婚的女人，然后原匹配夫妻中每個已婚男人都去娶別人老婆，剩下的一個已婚男人去娶這個小姑娘y。大家都很happy……hahahaha（增廣路取反）

4.2 二部圖最大匹配的匈牙利算法

這里可以自行按照上面的分析，去理解算法。雖然真正理解算法較為困難，也不再這里贅述。

總結

這篇文章清晰明了的介紹了下匈牙利算法。如何與多傳感器融合特征算法相結合，會在以后的文章中介紹。

審核編輯：劉清