有限元法（FEM）作為一種分析和設計工具，已廣泛應用于天線、微波和信號完整性等眾多電子工程領域。FEM求解器與其它矩量法（MoM）和時域有限差分法（FDTD）等數值方法相比擁有多項顯著的優勢。這些優勢包括：能夠處理復雜的非均勻和各向異性材料、能夠借助四面體單元準確地描繪復雜幾何形狀、能夠使用高階基函數實現準確性、具有多種端口和入射波等激勵方式。利用這些功能優勢，FEM就能夠以極高的準確性對波導結構進行建模。

　　但是，對于開放空間問題（例如天線向開放空間輻射的時候），FEM求解器需要通過在人工截斷的邊界表面上設定輻射邊界條件（RBC），以便將無限域截斷為有限域。兩種廣泛使用的RBC包括一階吸收邊界條件（ABC）和理想匹配層（PML），后者通常情況下都能夠提供最佳的準確性。兩種方法都保留了FEM系統矩陣的稀疏性，但僅適用于凸起的輻射表面。兩種都屬于近似方法，都存在準確性問題，比如會產生來自輻射表面的非物理偽反射。這個問題可以通過增大RBC與輻射結構的間距，讓反射降至可忽視的水平，來予以解決。

　　另一方面，積分方程（IE）法，比如MoM,則非常適合對位于勻質邊界或無限大介質中的結構進行建模。其分析內核采用格林函數，可以在無窮遠處采用Sommerfeld輻射條件。因此，不管是從內存占用，還是從CPU時間占用來說，對多個在空間上分離，互不相連的同質結構，IE求解器都毋庸置疑地成為更好的選擇，因為它不需要對目標之間的空間進行詳細的建模。

　　早在1990年，Yuan就已經成功實現了FEM求解器和IE求解器的混合算法，這個方法現普遍稱為混合有限元邊界積分方法（FEBI）。這種方法把邊界積分：Sommerfeld輻射條件的MoM解，用作FEM解的截斷邊界，因此可以在理論上準確地處理遠場輻射條件。這樣就引出一系列有意思的特性，比如可用作任意形狀的距離輻射體很近的全共形的輻射表面。

　　本文將介紹ANSYS公司在HFSS中提供的一款全新的FEBI求解器。該求解器得力于近期區域分解方法的進步。在現有的FEBI方法中，無限未知域被分割為兩個互不重疊的域：一個有界FEM域和一個無界同質外部域。兩個域間的耦合通過其交界面上的合適的邊界條件加以考慮。

　　基于域分解的FEBI求解器

　　FEBI求解器首先將原始的目標域Ω分割為兩個互不重疊的子域Ω1和Ω2,如圖1所示。

圖1:將目標域分解為FEM域和IE域。

　　Ω1和Ω2之間的公共界面在FEM域中表達為δΩ1,在IE域中表達為δΩ2.這種區分是必要的，因為現有的公式允許兩個域間的非共形耦合。也就是說，可以分開處理各個域的網格剖分、基函數和基函數階數、矩陣建立和求解過程。對于一個穩健的FEBI求解器來說，能夠以模塊化的方式處理每個域的不同基函數階數是非常重要的，因為更高階的IE求解器還在開發的過程中。

　　根據上述的域分解情況，可以寫出如下最終的系統矩陣：

　　這里，AFE和ABI分別代表FEM域和BI域的系統矩陣。C是兩個域之間的耦合矩陣。由于是通過界面上的電流和磁流來實現耦合的，因此這種耦合非常稀疏。等式2的解可以通過把下式拆分后迭代求得

　　然后用迭代法求得：

　　域分解法的優勢可以從4式中清楚地看出。FEM域和BI域被去耦合了，因此并行化就很容易了。上文已經介紹過，BI可以在FEM中用作準確的截斷邊界。由于這種實現方式的模塊化特征，可以輕松地實現先進的FEM求解器和IE求解器的混合求解。

　　應用

　　在本節中，將重點介紹使用這種混合方法的兩個例子來突顯FEBI的優勢。如前文所述，一階ABC可以用于足夠大的有界共形空間，但這個空間不能有凹陷。另一方面，PML可以拉近與模型的間距，但最適合于長方體有界區域。對混合FEBI技術來說，由于可以精確計算邊界上電流和磁流的耦合，不用考慮這些外形和大小的約束問題。從這種新邊界的測試顯示可以看出，當間距為λ0/10的時候，能夠實現速度和求解規模的最佳平衡5.這里λ0是開放空間中的波長。另外，FEBI邊界可以做到完全共形，包括凹區域。另外，還可以把模型的各個部分獨立閉合為單獨的域，每個域都有一個BI邊界。通過使用高度共形和分離空間的區域，可以大幅度縮小有限元求解域的范圍，從而實現高效率的仿真。為證明這一點，下面將介紹兩個例子，一個使用獨立空間，一個使用高度共形邊界表面。

　　第一個例子使用的是完全符合教科書的介質透鏡6.透鏡及其饋源喇叭如圖2所示。透鏡將來自于源天線的電磁場聚焦于正前方。仿真的透鏡采用長方體波導管作為饋源，其εr=2.56,正面直徑為4.4λ0.然后使用混合FEBI法對系統進行分離域的建模，饋源喇叭及周圍的長方體空間作為一個域，透鏡周圍的圓錐形區域作為另一個域，每個分離空間的截斷面采用BI邊界。