有限元法（FEM）作為一種分析和設(shè)計(jì)工具，已廣泛應(yīng)用于天線、微波和信號(hào)完整性等眾多電子工程領(lǐng)域。FEM求解器與其它矩量法（MoM）和時(shí)域有限差分法（FDTD）等數(shù)值方法相比擁有多項(xiàng)顯著的優(yōu)勢(shì)。這些優(yōu)勢(shì)包括：能夠處理復(fù)雜的非均勻和各向異性材料、能夠借助四面體單元準(zhǔn)確地描繪復(fù)雜幾何形狀、能夠使用高階基函數(shù)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確性、具有多種端口和入射波等激勵(lì)方式。利用這些功能優(yōu)勢(shì)，F(xiàn)EM就能夠以極高的準(zhǔn)確性對(duì)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。

　　但是，對(duì)于開放空間問(wèn)題（例如天線向開放空間輻射的時(shí)候），F(xiàn)EM求解器需要通過(guò)在人工截?cái)嗟倪吔绫砻嫔显O(shè)定輻射邊界條件（RBC），以便將無(wú)限域截?cái)酁橛邢抻颉煞N廣泛使用的RBC包括一階吸收邊界條件（ABC）和理想匹配層（PML），后者通常情況下都能夠提供最佳的準(zhǔn)確性。兩種方法都保留了FEM系統(tǒng)矩陣的稀疏性，但僅適用于凸起的輻射表面。兩種都屬于近似方法，都存在準(zhǔn)確性問(wèn)題，比如會(huì)產(chǎn)生來(lái)自輻射表面的非物理偽反射。這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)增大RBC與輻射結(jié)構(gòu)的間距，讓反射降至可忽視的水平，來(lái)予以解決。

　　另一方面，積分方程（IE）法，比如MoM,則非常適合對(duì)位于勻質(zhì)邊界或無(wú)限大介質(zhì)中的結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。其分析內(nèi)核采用格林函數(shù)，可以在無(wú)窮遠(yuǎn)處采用Sommerfeld輻射條件。因此，不管是從內(nèi)存占用，還是從CPU時(shí)間占用來(lái)說(shuō)，對(duì)多個(gè)在空間上分離，互不相連的同質(zhì)結(jié)構(gòu)，IE求解器都毋庸置疑地成為更好的選擇，因?yàn)樗恍枰獙?duì)目標(biāo)之間的空間進(jìn)行詳細(xì)的建模。

　　早在1990年，Yuan就已經(jīng)成功實(shí)現(xiàn)了FEM求解器和IE求解器的混合算法，這個(gè)方法現(xiàn)普遍稱為混合有限元邊界積分方法（FEBI）。這種方法把邊界積分：Sommerfeld輻射條件的MoM解，用作FEM解的截?cái)噙吔纾虼丝梢栽诶碚撋蠝?zhǔn)確地處理遠(yuǎn)場(chǎng)輻射條件。這樣就引出一系列有意思的特性，比如可用作任意形狀的距離輻射體很近的全共形的輻射表面。

　　本文將介紹ANSYS公司在HFSS中提供的一款全新的FEBI求解器。該求解器得力于近期區(qū)域分解方法的進(jìn)步。在現(xiàn)有的FEBI方法中，無(wú)限未知域被分割為兩個(gè)互不重疊的域：一個(gè)有界FEM域和一個(gè)無(wú)界同質(zhì)外部域。兩個(gè)域間的耦合通過(guò)其交界面上的合適的邊界條件加以考慮。

　　基于域分解的FEBI求解器

　　FEBI求解器首先將原始的目標(biāo)域Ω分割為兩個(gè)互不重疊的子域Ω1和Ω2,如圖1所示。

圖1:將目標(biāo)域分解為FEM域和IE域。

　　Ω1和Ω2之間的公共界面在FEM域中表達(dá)為δΩ1,在IE域中表達(dá)為δΩ2.這種區(qū)分是必要的，因?yàn)楝F(xiàn)有的公式允許兩個(gè)域間的非共形耦合。也就是說(shuō)，可以分開處理各個(gè)域的網(wǎng)格剖分、基函數(shù)和基函數(shù)階數(shù)、矩陣建立和求解過(guò)程。對(duì)于一個(gè)穩(wěn)健的FEBI求解器來(lái)說(shuō)，能夠以模塊化的方式處理每個(gè)域的不同基函數(shù)階數(shù)是非常重要的，因?yàn)楦唠A的IE求解器還在開發(fā)的過(guò)程中。

　　根據(jù)上述的域分解情況，可以寫出如下最終的系統(tǒng)矩陣：

　　這里，AFE和ABI分別代表FEM域和BI域的系統(tǒng)矩陣。C是兩個(gè)域之間的耦合矩陣。由于是通過(guò)界面上的電流和磁流來(lái)實(shí)現(xiàn)耦合的，因此這種耦合非常稀疏。等式2的解可以通過(guò)把下式拆分后迭代求得

　　然后用迭代法求得：

　　域分解法的優(yōu)勢(shì)可以從4式中清楚地看出。FEM域和BI域被去耦合了，因此并行化就很容易了。上文已經(jīng)介紹過(guò)，BI可以在FEM中用作準(zhǔn)確的截?cái)噙吔?。由于這種實(shí)現(xiàn)方式的模塊化特征，可以輕松地實(shí)現(xiàn)先進(jìn)的FEM求解器和IE求解器的混合求解。

　　應(yīng)用

　　在本節(jié)中，將重點(diǎn)介紹使用這種混合方法的兩個(gè)例子來(lái)突顯FEBI的優(yōu)勢(shì)。如前文所述，一階ABC可以用于足夠大的有界共形空間，但這個(gè)空間不能有凹陷。另一方面，PML可以拉近與模型的間距，但最適合于長(zhǎng)方體有界區(qū)域。對(duì)混合FEBI技術(shù)來(lái)說(shuō)，由于可以精確計(jì)算邊界上電流和磁流的耦合，不用考慮這些外形和大小的約束問(wèn)題。從這種新邊界的測(cè)試顯示可以看出，當(dāng)間距為λ0/10的時(shí)候，能夠?qū)崿F(xiàn)速度和求解規(guī)模的最佳平衡5.這里λ0是開放空間中的波長(zhǎng)。另外，F(xiàn)EBI邊界可以做到完全共形，包括凹區(qū)域。另外，還可以把模型的各個(gè)部分獨(dú)立閉合為單獨(dú)的域，每個(gè)域都有一個(gè)BI邊界。通過(guò)使用高度共形和分離空間的區(qū)域，可以大幅度縮小有限元求解域的范圍，從而實(shí)現(xiàn)高效率的仿真。為證明這一點(diǎn)，下面將介紹兩個(gè)例子，一個(gè)使用獨(dú)立空間，一個(gè)使用高度共形邊界表面。