圖1　二維雷達目標幾何圖

　　由于觀測角Δθ很小，取近似sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1，則式(2)可近似寫成:

　(3)

式中
　　式(3)指數項中的第三項是時頻耦合項，它是線頻調信號(其模糊函數為斜橢圓)所特有的，如果采用窄脈沖發射，則該項不存在.將該項忽略，則式(3)成為常用的回波二維正弦信號模型.
　　實際上，式(3)的第三項系“距離移動”項，它與散射點的橫坐標xk成正比，目標區域大時必須考慮，而且這還遠遠不夠，散射點的多普勒移動也必須考慮.為此，令sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1-(nδθ)2/2，則式(2)較精確的近似式可寫成：

　(4)

式(4)與式(3)相比較，指數中增加了兩項，其中前一項是“多普勒移動”項，縱坐標yk越大，影響也越大，這可以補充式(3)之不足；而后項是時頻耦合的多普勒移動項，由于Mγ/Fs<

　(5)

　　需要指出，每個散射點的參數之間存在下述關系：ωk/μk=2γ/Fsfcδθ2和k/vk=fcFs/γδθ.由于雷達參數(fc,γ,Fs)和運動參數(δθ)均已知，所以待估計的五個參數中只有三個是獨立的.本文假設五個參數是獨立的，而在成像計算中已考慮參數之間的關系.
　　設{ξk}Kk=1≡{αk,ωk,k,μk,vk}Kk=1，現在我們要從y(m,n)中估計參量{ξk}Kk=1.

三、二維推廣的RELAX算法
　　對于(5)式所示的信號模型，令：

Y=［y(m,n)］M×N

則　(6)
式中

　　設ξk估計值為，則ξk的估計問題可通過優化下述代價函數解決：

　(7)

式中‖.‖F表示矩陣的Frobenius范數，⊙表示矩陣的Hadamard積.
　　上式中C1的最優化是一個多維空間的尋優問題，十分復雜.本文將RELAX［3］算法推廣以求解.為此，首先做以下準備工作，令：

　(8)

　　即假定{i}i=1,2,…,K,i≠k已經求出，則式(7)C1的極小化等效于下式的極小化：

C2(ξk)=‖Yk-αk(aM(ωk)bTN(k)Pk)⊙Dk(vk)‖2F　(9)

令：　　Zk=YkP-1k⊙Dk(-vk)　(10)
　　由于Pk為酉矩陣，矩陣Dk的每個元素的模|Dk(m,n)|=1,顯然矩陣Yk與Zk的F范數相同，故C2的極小化等效于下式的極小化：

C3=‖Zk-αkaM(ωk)bTN(k)‖2F　(11)

　　對上式關于αk求極小值就獲得αk的估計值k：

k=aHM(ωk)Zkb*N(k)/(MN)　(12)

　　從式(12)可以看出：是Zk歸一化的二維離散傅里葉變換在{ωk,k}處的值，所以只要得到估計值{k,k,k,k}，即可通過2D-FFT獲得k.
　　將估計值k代入式(11)后，估計值{k,k,k,k}可由下式尋優得到：

　(13)

　　由上式可見，對于固定的{μk,vk}取值,估計值{k,k}為歸一化的周期圖|aHM(ωk)Zkb*N(k)|2/(MN)主峰處的二維頻率值.這樣，式(13)的優化問題歸結為：在(μk,vk)平面上可能的取值范圍內尋找一點{k,k}，在該點處周期圖|aHM(ωk)Zkb*N(k)|2/(MN)的主峰值比其余各點處的主峰值都大.所以，我們通過上述二維尋優獲得{μk,vk}的估計值{k,k}，再由式(13)得到{ωk,k}的估計值{k,k}.
　　實際中，為了加快運算速度，二維(μk,vk)平面的尋優可以用Matlab中的函數Fmin()實現.
　　在做了以上的準備工作以后，基于推廣的RELAX算法的參量估計步驟如下：
　　第一步：假設信號數K=1,分別利用式(13)和式(12)計算1.
　　第二步(2)：假設信號數K=2，首先將第一步計算所得到的1代入式(8)求出Y2，再利用式(13)和式(12)計算2；將計算的2代入式(8)求出Y1，然后利用式(13)和式(12)重新計算1，這個過程反復疊代，直至收斂.
　　第三步:假設信號數K=3,首先將第二步計算所得到的1和2代入式(8)求出Y3，再利用式(13)和式(12)計算3；將計算的3和2代入式(8)求出Y1，然后利用式(13)和式(12)重新計算1；將計算的1和3代入式(8)求出Y2，然后利用式(13)和式(12)重新計算2，這個過程反復疊代，直至收斂.
　　剩余步驟：令K=K+1,上述步驟持續進行，直到K等于待估計信號數.
　　上述過程中的收斂判據與RELAX算法的收斂判據相同，即比較代價函數C1在兩次疊代過程中的變化值，如果這個變換值小于某個值，如ε=10-3，則認為過程收斂.

四、數值模擬
　　1.算法參數估計性能模擬
　　模擬數據由式（5）產生，M=10,N=10，信號數K=2.信號參數和實驗條件如表1所示,為復高斯白噪聲.注意兩信號的頻率差小于FFT的分辨率Δf=Δω/(2π)=0.1.表1給出了信號參數估計均方根誤差的統計結果及相應情形時的C-R界，可見，估計均方根誤差與CR界十分接近.另外表中還給出了估計均值，與真實值也非常接近.

表1　二維信號的參數估計、CRB及與均方根差的比較

圖2　距離走動誤差下的RELAX成像結果

圖3　距離走動誤差下的

圖4　RELAX方法估計的信號強度推廣RELAX成像結果

圖5　推廣RELAX方法估計的信號強度

附 錄：參數估計的C-R界
　　下面我們給出式(5)所示的二維信號參量估計的C-R界表達式.同時假設式(5)中加性噪聲為零均值高斯色噪聲，其協方差矩陣未知.令：

y=vec(Y)　(A.1)
e=vec(E)　(A.2)
dk=vec(Dk)　(A.3)

式中vec(X)=(xT1,xT2，…，xTN)T，向量xn(n=1,2,…,N)為矩陣X的列向量.我們將式(5)改寫為如下向量形式：

　(A.4)

式中表示Kronecker積,Ω=［{［P1bN(1)］aM(ω1)}⊙d1…{［PkbN(K)］aM(ωK)}⊙dK］,α=(α1，α2，…，αK)T.
　　令Q=E(eeH)為e的協方差矩陣，則對于由式(A.4)所示的二維信號模型，其Fisher信息陣(FIM)的第ij個元素推廣的Slepian-Bangs公式為［5,6］:
(FIM)ij=tr(Q-1Q′iQ-1Q′j)+2Re［(αHΩH)′iQ-1(Ωα)′j］　(A.5)
式中X′i表示矩陣X對第i個參數求導，tr(X)為矩陣的跡，Re(X)為矩陣的實部.由于Q與Ωα中的參量無關，而Ωα亦與Q的元素無關，顯然FIM為一塊對角陣.所以待估計參量的C-R界矩陣由(A.5)式的第二項得到.

令：η=(［Re(α)］T［Im(α)］TωTTμTvT)T　(A.6)

式中ω=(ω1，ω2，…，ωK)T,μ=(μ1,μ2,…,μK)T,=(1，2，…，K)T,v=(v1,v2,…,vK)T.
令：F=［Ω　jΩ　DωΘ　DΘ　DμΘ　DvΘ］　(A.7)
式中矩陣Dω、D、Dμ、Dv的第k列分別為：［{［PkbN(k)］aM(ωk)}⊙dk］/ωk、［{［PkbN(k)］aM(ωk)}⊙dk］/k、［{［PkbN(k)］aM(ωk)}⊙dk］/μk、［{［PkbN(k)］aM(ωk)}⊙dk］/vk，Θ=diag{α1　α2　…　αK}.則關于參量向量η的CRB矩陣為

CRB(η)=［2Re(FHQ-1F)］-1　(A.8)