從數(shù)學(xué)的角度，提供一個形象有趣的解釋。理解傅里葉變換的鑰匙是理解基♂，它能讓你重新認(rèn)識世界。

　　1. 什么是基？

　　假設(shè)一個科研所有四個所長（一正三副），四個所長各司其職，把整個科研所的事物管理得井井有條。這四個所長，少一個，單位的工作無法順利展開，多一個礙手礙腳事倍功半，他們四人一道就組成了科研所的一個“基”。

　　一個單位的基可能不是唯一的，四個人換換位置工作也能展開，調(diào)走一個人再換一個人來頂替，單位亦可以正常運轉(zhuǎn)，但是4這個數(shù)是不能變化的（數(shù)學(xué)語言：空間的維數(shù)固定不變）。

　　總結(jié)：一組基，就是足夠能描述、表達(dá)某類事物的最少的一小撮元素們。

　　2. 基只有一種形式嗎？

　　我們把科研所的日常事務(wù)換成感情，把四個所長換成語言字典重新來敘述。

　　假設(shè)你愛上了一個人，需要向她表達(dá)感情。這時就需要一套表達(dá)感情的工具——語言。如果使用漢語，你可以說“我愛你”，如果使用英文，你可以說“I love you”。漢語的所有詞匯構(gòu)成了一個集合，英語的所有詞匯也構(gòu)成了一個集合，它們都可以描述感情、感覺、事物和知識，它們是兩套不同的描述系統(tǒng)，分別有自己的基。

　　總結(jié)：描述事物的基可以有很多套。

　　3. 如何構(gòu)造一組基？

　　漢語的詞匯量很大，有很多重復(fù)意義的詞，比如我愛你就可以重新表述為：“俺愛你”，“我愛儂”，“我想和你困覺”等等。我們把漢語詞匯中所有同意的詞只保留一個（數(shù)學(xué)語言：使線性無關(guān)），留下來的詞匯量較少的詞典就是漢語的一個基，里面的每一個詞被稱作基函數(shù)。它的特點是：所有漢語能描述的思想都可以用從這個較小的詞匯本中挑出的一些詞匯（基函數(shù)）經(jīng)過精心安排（加權(quán)相加）來描述，并且只有一種描述方式（數(shù)學(xué)語言：若基固定，則對應(yīng)系數(shù)/坐標(biāo)確定），因為我們已經(jīng)去掉了所有冗余的、近似的詞匯，因此不存在一個事物在一個基下有兩種不同表示法存在。

　　總結(jié)：一套基中的元素很多，足夠描述事物，只要從中挑出一些你需要的，按某種方式組合在一起即可，一套基中的元素很少，以至于這種描述事物的方法是唯一的。

　　4. 不同基之間有什么聯(lián)系？

　　給定兩個不同的語言，給出兩個不同語言的小字典（兩組基），我們都可以分別用唯一的方式表達(dá)同一思想（函數(shù)、點），這兩種表示法之間可以相互轉(zhuǎn)換（數(shù)學(xué)語言：坐標(biāo)變換）。“I love you”和“我愛你”可以相互轉(zhuǎn)化。

　　總結(jié)：給定一個基，我們就可以用這組基表達(dá)事物，也可以用它來翻譯用其他基描述的事物，不同基下的表示可以相互轉(zhuǎn)換。

　　5. 什么是傅里葉變換？

　　大家還記得三角函數(shù)sin和cos嗎，就是那種波浪形狀的函數(shù)，一個波浪的的寬度可以是不同的，既可以像跳大繩一樣寬，也可以像電爐絲一樣窄（數(shù)學(xué)語言：頻率不同）。把這些三角函數(shù)放到一起組成一個字典，就恰好是連續(xù)函數(shù)的一組基：任何一個連續(xù)函數(shù)，都可以唯一表示成一群三角函數(shù)相疊加。然而每個三角函數(shù)的分量有輕有重，相加的時候有的要拉高點，有的要壓低點，有的干脆不用（數(shù)學(xué)語言：加權(quán)系數(shù)不同）。到底是哪些三角函數(shù)呢，各個三角函數(shù)的分量如何呢？找到它們的過程，被稱為傅里葉變換。

　　舉幾個例子：

　　下面兩個圖，左上角是某個函數(shù)（信號）的樣子，它等于1000個震蕩的三角函數(shù)相加，中間一列從下往上是這1000個三角函數(shù)中第0、1、2、3個，以及中間6、30、160、800個相加的樣子，注意好幾個三角函數(shù)加在一起就不再像是三角函數(shù)了。右邊一列從下往上是把這些三角函數(shù)疊加在一起，1000個加在一起和原函數(shù)完全一樣，但是前40個三角函數(shù)函數(shù)加在一起和原函數(shù)已經(jīng)很相似了。

　　從這幾個例子可以看出，把一系列震蕩的三角函數(shù)按照傅里葉系數(shù)（權(quán)值）進(jìn)行縮放再加起來，大概40個三角函數(shù)加到一起，就和原來的函數(shù)長得差不多了，無論原來的那個函數(shù)長的有多么奇特。因此我們說：螞蟻也能撼大樹，三角函數(shù)多了加到一起，多奇怪的連續(xù)函數(shù)我長的都能和你是一個樣。

　　總結(jié)：給你一個函數(shù)，找到它的傅里葉變換，就是找到一堆系數(shù)，每一個系數(shù)對應(yīng)一個不同頻率的三角函數(shù)，這些三角函數(shù)分別按各自的系數(shù)改變振幅（數(shù)學(xué)語言：確定坐標(biāo)），然后疊加在一起，恰好就與原來那個函數(shù)相等。

　　因此，四個處長是一組基，能維持一個單位的運轉(zhuǎn)，處理各種問題；

　　一套簡化的漢語詞典是一組基，什么樣的情感它都能找到唯一的表達(dá)語句；

　　一堆三角函數(shù)是一組基，什么樣的連續(xù)函數(shù)都可以用一大堆三角函數(shù)疊加獲得，找到這種表示的過程叫做傅里葉變換。