從傅里葉級數、傅里葉變換推出拉普拉斯變換。拉普拉斯變換，這是一個非常有用的工具，建立了時域與復頻域之間的聯系，它將時域內的微分與積分的運算轉換為乘法與除法的運算，它將微分方程轉換成代數方程，使求解過程更加方便。

一、傅里葉變換的不足

傅里葉變換是非常有用的。因為它將時域中的激勵用頻域中無窮多個正弦分量來表示，使我們能用系統對正弦激勵的穩態響應之和來討論系統對非正弦激勵的響應，從而使瞬變過程問題的求解得到簡化。

特別是有關信號的分析與處理方面，諸如有關諧波成分、頻率響應、系統帶寬、波形失真等問題上，它都能給出物理意義清楚的結果。

但它也有不足之處。

首先，它只能處理符合狄利赫利條件的信號，而在實際中有許多重要的信號是不符合絕對可積可積條件的，即積分不存在，如常見的階躍信號U（t）；階躍正弦信號sinωtU（t）等等。這樣傅里葉變換法的適用范圍就有一定的限制。

補充：

傅里葉級數分析使用的條件：傅里葉在提出傅里葉級數時堅持認為，任何一個周期信號都可以展開成傅里葉級數，雖然這個結論在當時引起許多爭議，但持異議者卻不能給出有力的不同論據。直到20年后（1829年）狄里赫利才對這個問題作出了令人信服的回答，狄里赫利認為，只有在滿足一定條件時，周期信號才能展開成傅里葉級數。這個條件被稱為狄里赫利條件，其內容為：

⑴ 在一個周期內，周期信號 x（t） 必須絕對可積；

⑵ 在一個周期內，周期信號 x（t） 只能有有限個極大值和極小值；

⑶ 在一個周期內，周期信號 x（t） 只能有有限個不連續點，而且，在這些不連續點上， x（t） 的函數值必須是有限值。

齊次，是在求取時域中的響應時，利用傅里葉反變換要進行對頻域自負無窮大到正無窮大的無限積分，通常這個積分的求解是比較困難的。

二、頻域中的傅里葉變換推廣到復頻域——拉普拉斯變換

將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復頻域來解決這兩個問題。

一個函數f（t）不滿足絕對可積條件往往是由于在t趨于正無窮大或負無窮大的過程中減幅太慢的緣故。

如果用一個被稱為收斂因子的指數函數e-σt去乘f（t），且δ取足夠大的正值，則在時間的正方向上總可以使t→∞時，e-σtf（t）減幅較快。當然，這在時間負方向上反而將起增幅的作用。然而假使原來的函數在時間的負方向上是衰減的，而且其衰減速率較收斂因子引起的增長更快，則仍可以使得當t→-∞，f（t）e-σt也是減幅的。

例如下面的函數，在t的正方向上為一單位階躍函數，在t的負方向上為一指數衰減函數，即

上式不難看出，只要σ《β，則函數f（t）e-σt在時間的正、負方向上將都是減幅的。即函數滿足絕對可積的條件，可以進行傅里葉變換。

式（1）及式（2）組成了一對新的變換式子，稱之為廣義的傅里葉變換式或雙邊拉普拉斯變換式。

其中前者稱為雙邊拉普拉斯正變換式，后者稱為雙邊拉普拉斯反變換式；

F（s）稱為f（t）的象函數，f（t）稱為F（s）的原函數。

雙邊拉普拉斯變換式可用下列符號表示：

在實際應用中所遇到的激勵信號與系統響應大都為有始函數，在有始函數的情況下，式（1）及（2）可以簡化。因為有始函數在t《0范圍內函數值為零，式（1）的積分在-∞到0的區間中為零，因此積分區間變為由0到∞，亦即

應該指出的是，為了適應激勵與響應中在原點出現沖激函數或其各階導數的情況，積分區間應包括零點在內，即式（3）中的積分下限應為0-。為了書寫方便，今后仍寫為0，但其意義表示0-。

至于式（2），則由于F（s）中包含的分量仍為由ω等于-∞到+∞的各個分量，所以其積分區間不變。但因為原函數為有始函數，故由式（2）求得的f（t），在t《0范圍內必然為零。因此對有始函數來說式（2）可寫為：

式（3）及式（4）也是一組變換對。因為現在只是對在時間軸一個方向上的函數進行變換，為區別于雙邊拉普拉斯變換式，故稱之為單邊拉普拉斯變換式，并標記如下：

由以上分析可以看出，無論是雙邊或單邊拉普拉斯變換都是傅里葉變換在復變數域中的推廣。從物理意義上說，傅里葉變換是把函數分解成許多形式為函數ejωt的分量之和。每一對正負ω分量組成了一個等幅的正弦振蕩。于此相類似，雙邊或單邊拉普拉斯變換也是把函數分解成許多形式為函數est的指數分量之和。

通常稱s為復頻率，并可把F（s）看成是信號的復頻譜。但嚴格說來，將s稱為復頻率是不太確切的，因為通常頻率是指函數每秒內通過某定值（例如零值）的次數。而現在象函數包含的分量中存在有這樣的分量

它是單調變化的，無頻率可言。所以較為確切的說法應該是每一分量的頻率由其s值的虛部決定。

責任編輯：lq6