為什么離散傅里葉變換中諧波信號數目是有限的？

最近在看《信號與系統》，連續傅里葉級數和離散傅里葉級數中，離散傅里葉級數的諧波信號種類是有限的，而連續時間信號的傅里葉級數的諧波信號就有無數個，這個讓我很不解。

后來經過公式推導，確實是如此，但還是沒有直觀理解，因此用matlab畫了個圖，醍醐灌頂。

----------------------------------------------------我假設你學過信號與系統，或者線性系統分析，否則別往下看------------------------------------------

周期為T的連續時間信號x(t)的傅里葉級數表示：

它說明，任意一個周期函數（其實非周期函數也可以，不然傅里葉變換就沒有意義了）可以用一組簡單的復指數函數線性疊加來表示。

其中：這就是一族頻率不同的復指數函數，k=1,2,3,......???有無數個

好了，同樣的，周期為N的離散時間序列x(n)也可以用傅里葉級數表示：

n只能取0,1,2,3....等一些離散的整數點，因此是離散序列。

同樣，是一族離散的復指數序列。k=1,2,3,4.....看似有無數個

對離散傅里葉級數來說，復指數序列看起來有無數個，其實只有N個，因為第N個和第N+1個是相同的。

證明如下：

從式子上很明顯，第k個復指數序列和第N+k個是相等的。因此，離散周期函數的傅里葉級數只有N個頻率成分（每個復指數函數代表一個頻率分量，信號中有學）。而連續時間信號就沒有這個性質，它的頻率分量有無數個。

那么，為什么呢？雖然式子上是這樣的，但是沒有直觀上明白。于是用matlab做了個仿真，結果如下：

明白了嗎，原因是這樣子的：

????? 連續傅里葉變換的第1個和第1+T個頻率分量的圖是完全不一樣的，因為頻率不一樣。

但是，他們在整數點上的采樣（也就是對應的離散傅里葉變換的頻率分量），是相同的，這也就是為什么離散傅里葉變換第1個和第N+1個頻率成分完全相同的原因了。連續函數的圖像不同，但是在整數點上的采樣，是相同的。