學習數字信號處理的訣竅：時域和頻域的靈活切換

四種傅里葉分析

學好數字信號處理的訣竅之三——時域和頻域的靈活切換

下面首先闡述四種傅里葉分析的特點及意義，引入離散傅里葉變換的概念，然后闡述學好數字信號處理的第三個訣竅，即時域和頻域的靈活切換。

一、四種傅里葉分析及離散傅里葉變換DFT的引入傅里葉分析是聯系時域和頻域的橋梁，在信號處理中具有非常重要的地位。傅里葉分析包含四種不同的形式，即連續時間傅里葉級數（CTFS， Continuous TimeFourier Series）、連續時間傅里葉變換（CTFT， ContinuousTime Fourier Transform）、離散時間傅里葉級數（DTFS， Discrete Time Fourier Series）和離散時間傅里葉變換（DTFT， Discrete Time FourierTransform）。這四種傅里葉分析的對象和得到的結果有一個特點：要么在時域是連續的（CFS），要么在頻域是連續的（DTFT），或者在時域和頻域都是連續的（CTFT）。DFS雖然在時域和頻域都是離散的，但是在時域卻是無限的。計算機不能直接處理連續的信號，只能處理采樣之后的離散數據；計算機也不能處理無限長的信號，實際的信號長度都是有限長的。

傅里葉分析的上述四種形式只有理論意義，都不適合采用計算機處理。但是，將DTFS和DTFT結合起來，把有限長序列延拓為周期性離散信號，從而引入了離散傅里葉變換（DFT， Discrete Fourier Transform）的概念，本質上，DFT不包含新的理論，只是為了用計算機處理的方便而引入的一種工具，利用它計算離散采樣信號的頻率。將有限長序列進行周期延拓后，就能夠計算其離散傅里葉級數，其系數即為未延拓序列的離散傅里葉變換（連續周期函數）在頻率軸上的等間隔采樣，這保證了其物理意義，并且是用計算機可以實現的。當序列的長度比較大時，直接計算DFT的系數是很復雜的，如果計算時間太長，對實時通信就沒有意義，因而有必要引入快速算法，即快速傅里葉變換（FFT， Fast Fourier Transform）。將DFT運用于連續信號的頻譜分析，將產生一系列問題，如頻譜泄露、柵欄效應、分辨率等，這些概念在利用DFT進行頻譜分析時需要特別注意。

二、學好數字信號處理的訣竅之三——時域和頻域的靈活切換

前面闡述了學好數字信號處理的兩個訣竅，即MATLAB的運用和復數與向量的運用，下面講第三個訣竅，即信號在時域與頻域的靈活切換。

信號有兩個方面的性質，即時域和頻域，這兩個方面對于信號來說，正如一個硬幣的正反兩面，是須臾不能分離的。要學好數字信號處理，必須要在信號的時域和頻域之間進行靈活的切換，這種切換的數學工具就是傅里葉分析（包括四種形式）。數學上有一個專門的分支，叫做傅里葉分析，數學家對傅里葉分析進行深入的研究，為工程師們指明了工程開發的方向，開拓了新的領域。

人是生活在時間和空間中的，但是人的很多感覺卻是和頻率相關的，比如人耳能欣賞美妙的音樂，能欣賞美妙的歌喉，因為好的音樂在頻域上更完美，好的“天籟之音”在頻域上更“純凈”。各種不同的樂器在頻域上的區分是很明顯的，因而有經驗的音樂人只要一聽某種音樂，就知道是什么樂器演奏的，人耳是億萬年進化的高度發達的“頻譜分析儀”，能夠對音樂進行精密地分析，再加上后天長期的訓練，因而能分辨精微的頻率變化。人能欣賞五彩繽紛的世界，能欣賞各種美術作品，因為眼睛也是億萬年進化的高度發達的“頻譜分析儀”，能感受各種不同頻率的光線。一個三歲小孩能很容易分辨父母的聲音，這是因為小孩的聽覺系統經歷了幾年聽力“訓練”的結果，而要讓計算機分辨某兩個特定的人，則要經歷同樣復雜的訓練，要尋找各種時域和頻域的特征參數，還要反復進行效果驗證。人通過感知器官，可以迅速地地獲得信號在頻域的幾乎所有信息，而用計算機對信號進行同樣的處理，就要復雜得多，必須設計各種“算法”對信號進行分析。

信號在時域和頻域需要經常來回轉換，轉換的橋梁是傅里葉分析，信號處理需要充分挖掘和利用信號在頻域的物理性質，因而才成為一門獨立的學科。信號處理需要先在時域觀察信號的特征，再轉換到頻域觀察其特征，在頻域進行處理之后再轉換到時域觀察其特征，或者在時域和頻域同時觀察信號的特征。有時在時域雜亂無章的信號，在頻域卻隱藏了很多信息，反之亦然。有的在時域根本無法處理，必須轉換到頻域進行處理，之后再回到時域來感覺一下處理的結果。學習數字信號處理，需要充分理解信號和系統在頻域的物理意義，并且根據需要在時域和頻域來回切換，這是學習信號處理的基本思維，而不要將信號在時域和頻域孤立起來。 下面舉一個簡單的例子，說明在一個域中是雜亂的信號，經過適當的處理后在另一個域中就會發現其中的規律性。比如，下面圖中的信號是時域的，看起來雜亂無章，沒有任何規律。

但是，對信號進行功率譜分析 （功率譜指平穩的功率信號的功率在頻率域的分布情況，功率信號指功率有限的信號），可以明顯看出有兩個譜峰，一個在大約30赫茲處，一個在大約70赫茲處，說明這個信號里面含有兩個周期信號，只是這兩個周期信號隱藏在類似噪聲的信號中，在時域是看不到這兩個周期信號的。

上面所說的平穩的功率信號，“平穩”一詞在信號分析中有很嚴格的定義，平穩包括嚴平穩和寬平穩，有興趣的同學可以繼續學習我主講的《隨機信號分析》，它是《數字信號處理》的后續課，后者分析確定信號，前者分析具有隨機性的信號。隨機信號的分析要引進很多新的概念，如期望、方差、自相關函數、寬平穩、功率譜、各態歷經等。

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責任編輯：haq