為什么要讀書？

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時域、頻域、s域、z域

大學《信號與系統》講了四種域：時域、頻域、s域、z域。

本質上，頻域、s域、z域，都是從時域變換到頻域。

時域：

連續信號：x(t）

離散信號：x[n]

頻域：

連續信號：X(jw)

離散信號：X(e^jw)

轉換關系

時域與頻域：傅里葉變換

時域與s域：拉普拉斯變化

時域與z域：z變換

頻域與s域：jw = s

頻域與z域：e^jw = z

為何傅里葉變換？

為什么時域要變化到頻域？

當信號從時域變換到頻域后。可以觀察到很多時域看不到的現象。特別是很多在時域看似不可能的數學操作，在頻域反而so easy！

比如，紙上動筆畫一個sin(x)函數波形，很簡單！

那讓你畫一個sin(3x)+sin(5x)波形呢？無從動筆？

那給你一個sin(3x)+sin(5x)波形，讓你畫一個sin(5x)波形呢？

在頻域，sin(3x)+sin(5x)就兩條豎線！剔除sin(5x)是不是很簡單。

從一條曲線中，去除一些特性頻率成分，就是信號處理中的濾波。

頻譜只代表每一個正弦波的振幅，沒有相位信息。相位如何表示？

鑒于正弦波是周期的，我們用下圖紅色點來標記離頻率軸最近的波峰：

為了看清楚，我們將紅色點往下平面投影成粉色點，粉色點與頻率軸的距離，這個距離占正弦波的周期的百分比，乘以360°就是相位。

為何要拉普拉斯變換？

為何要拉普拉斯變換？

傅里葉變化只能對能量有限的信號進行變換(也就是可以收斂的信號)，無法對能量無限的信號進行變換(無法收斂)，因此，拉普拉斯應運而生，在原先的傅里葉變換公式中乘以一個衰減因子，使得無限能量的信號也能進行時頻變換。

換而言之，傅里葉變換不能分析系統的穩定性，而拉普拉斯變換轉成s域就能分析系統的穩定性。

很多曲線，都可以用這些不同頻率，連續旋轉的圓，通過線性疊加得到，而傅里葉定律，就是對這個結論的數學描述，傅里葉定律說：只要一個函數滿足如狄利赫里條件，都能分解為復指數函數之和，哪怕是如拉格朗日提到的帶有棱角的方波函數。狄利赫里條件為：

傅里葉變換有一個很大局限性，那就是信號必須滿足狄利赫里條件才行，特別是那個絕對可積的條件，一下子就攔截掉了一大批函數。比如函數f(t)=t^2就無法進行傅里葉變換。這點難度當然拿不到聰明的數學家們，他們想到了一個絕佳的主意：把不滿足絕對的可積的函數乘以一個快速衰減的函數，這樣在趨于正無窮時原函數也衰減到零了，從而滿足絕對可積。

數學描述是：

先上圖，我們下文講零極點穩定性問題。

零點、極點分析

1、零點

零點：使系統傳遞函數G(s)為0的s的值，其中s為復數。比如：

s=-1是零點。

2、極點

極點：使系統傳遞函數G(s)分母為0的s的值，其中s為復數。比如：

s=-2、s=-3是極點。

為何Z變換？

我們知道，傅里葉變換公示如下：

在函數收斂情況下，才可傅里葉變換，不收斂則乘以一個衰減函數形成拉普拉斯變換。

同樣的，離散周期信號的傅里葉級數為：

進一步化簡：

令：

則DFT的表達式變為：這就是Z變換!!!

精采絕倫嗎？繼續high

由連續函數*衰減函數的傅里葉變換，即拉普拉斯變換，我們假定了：

由離散函數*衰減函數的傅里葉變換，即Z變換，我們假定了：

也就是說，z域和s域有如下關系：

我們知道在s域上，虛軸上不同的點對應不同的頻率，而z域上單位圓與s域虛軸對應，可見，z域單位圓上不同的點，代表了不同的頻率。

對于z域的傳遞函數的零極點，也有和s域零極點類似的結論：

規律1：如果在單位圓上有零點，則在零點所對應的頻率上幅值響應為零；

規律2：對于不在單位圓上的零點，在單位圓上離零點最近的點對應的頻率上幅值響應最小。

規律3：對于在單位圓內部的極點，在單位圓上離極點最近的點對應的頻率上幅值響應最大。

規律4：如果極點和零點重合，對系統的頻率響應沒有影響。

零、極點影響頻率響應

例子1：

對于這個系統，在z=0有一個極點，在z=1時有一個零點。零、極點分布如下：

其中o表示零點，x表示極點。從z=1也就是單位圓上角度為零(也是頻率為零)的點開始，此處z=1有一個零點，根據規律1，顯然在頻率為零時系統響應為零。

順著單位圓沿逆時針方向旋轉，我們離零點越來越遠，零點的影響也越來越小，因此幅值響應會逐漸增大。當我們到達z=-1 ,也就是頻率為1/2fs時，此時離零點最遠，因此響應會達到一個最大值，當頻率繼續增大時，由于離零點又開始接近了，幅值響應又開始變小。

極點正好位于圓心位置，也就是說所有頻率段離極點的距離都一樣，因此可以認為都沒影響。

用freqz函數將系統的頻響畫出來，如下圖，這個系統本質上是一個高通濾波器。

這個系統轉換到時域：

是不是很驚喜，這本質就是一個差分，低頻信號被過濾，高頻信號通過。

這一個差分，對應連續系統的微分。我們知道微分對應的是傳遞函數是s，穩態時為s=jw，這顯然是一個高通濾波器。

審核編輯 ：李倩