什么是Δ-Y變換(Y-Δ變換)

Δ-Y變換(或Y-Δ變換)是一種可以簡(jiǎn)化包括三相電路在內(nèi)的復(fù)雜電阻和阻抗網(wǎng)絡(luò)，并實(shí)現(xiàn)順暢分析的基礎(chǔ)技術(shù)。顧名思義，通過(guò)三角形(德?tīng)査?接法與星形(Y)接法的等效互換，使得Δ-Y變換(或Y-Δ變換)能夠更簡(jiǎn)單地進(jìn)行串并聯(lián)組合及電壓電流計(jì)算。

三相交流電主要廣泛應(yīng)用于工業(yè)設(shè)備和商用設(shè)備領(lǐng)域，根據(jù)負(fù)載側(cè)電路采用Δ接法或Y接法的不同，其電壓和電流的處理方式存在顯著差異。掌握Δ-Y變換(Y-Δ變換)的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于在負(fù)載設(shè)計(jì)和故障排查中“輕松把握端子間的等效電阻”、“梳理不平衡負(fù)載”等需求大有裨益。

Δ-Y變換(Y-Δ變換)基礎(chǔ)

節(jié)點(diǎn)標(biāo)注和典型電路圖

典型標(biāo)注示例

大多情況下，三角形(Δ形電路)的頂點(diǎn)標(biāo)注為A、B、C。這是因?yàn)榘醋帜疙樞蚺帕袝?huì)便于理解且不易混淆。

節(jié)點(diǎn)數(shù)量的差異

Δ形電路由A–B–C共3個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成。

Y形電路除A-B-C外還包括中心節(jié)點(diǎn)O，由4個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成。

有時(shí)也會(huì)采用連接至一個(gè)節(jié)點(diǎn)(如接地等)的繪制方法。

Δ形電路和Y形電路的結(jié)構(gòu)

Δ形電路(Delta電路)

設(shè)三個(gè)端子分別為A、B、C，各邊(R1：A–B、R2：B–C、R3：C–A)上存在電阻或阻抗，構(gòu)成三角形電路。

Y形電路(星形電路)

設(shè)一個(gè)中心點(diǎn)O，從中心點(diǎn)分別向端子A、B、C延伸支路(Ra：O-A、Rb：O-B、Rc：O-C)，形成星形結(jié)構(gòu)。

無(wú)論是哪種結(jié)構(gòu)，都經(jīng)常涉及到三相負(fù)載和電阻網(wǎng)絡(luò)分析。

注意事項(xiàng)

如果將電阻R1定義為A-B之間的元件，那么也需要在電路圖中將R1WE置于A-B之間，以確保文檔與圖紙的一致性。

即使將電路旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)，只要節(jié)點(diǎn)連接未被破壞，仍視為等效電路。

由于節(jié)點(diǎn)會(huì)隨電路方向發(fā)生變化，因此節(jié)點(diǎn)間的最終連接是否正確至關(guān)重要。

Δ→Y變換與Y→Δ變換的基本公式

ΔΔ→Y變換

Y→Δ變換

這些公式可根據(jù)“變換前后端子A-B、B-C、C-A各自的等效電阻保持相同”的條件推導(dǎo)得出。關(guān)鍵在于，即使使用阻抗替代電阻，其形式依然保持不變。

通過(guò)具體實(shí)例了解Δ-Y變換(Y-Δ變換)

Δ→Y變換示例

設(shè)Δ形電路的電阻為

那么

因此，Y形電路中的各電阻值為(Ra、Rb、Rc)=(15Ω、10Ω、30Ω)。

Y→Δ變換示例

設(shè)Y形電路的電阻為

那么

因此，Δ形電路中的各電阻值為(R1 、R2 、R3 )=(17.5Ω、70Ω、35Ω)。

Δ-Y變換(Y-Δ變換)公式推導(dǎo)過(guò)程

Δ-Y變換中串聯(lián)電阻和并聯(lián)電阻的識(shí)別

串聯(lián)電阻(Series Combination)

當(dāng)兩個(gè)電阻共享僅一個(gè)節(jié)點(diǎn)，而另一端分別與不同節(jié)點(diǎn)連接時(shí)，可視為串聯(lián)關(guān)系。

串聯(lián)關(guān)系下的合成電阻Rseries=Ra+Rb

例如，在Δ形電路中觀察A–B之間，呈現(xiàn)R2與R3串聯(lián)、R1與它們并聯(lián)的關(guān)系

并聯(lián)電阻(Parallel Combination)

若兩個(gè)電阻共享兩端，則為并聯(lián)關(guān)系。

合成電阻為1/Rparallel=1/Ra+1/Rb

關(guān)于前面提到的A-B之間，則是R2+R3串聯(lián)→R1與其并聯(lián)的連接關(guān)系，這是兩者的基本的區(qū)分。

3. 重溫歐姆定律(Ohm’s Law)

V=I×R是電阻電路的基本公式。

利用串聯(lián)電路中電流處處相等、并聯(lián)電路中電壓處處相等的特性，即可求出Δ-Y變換的基礎(chǔ)——等效電阻。

由單一電阻(single resistor)替代

通過(guò)反復(fù)進(jìn)行串聯(lián)和并聯(lián)計(jì)算，最終可將“端子間的電阻”整合為一個(gè)阻值。

Δ-Y變換可以說(shuō)是一種在三相電路中系統(tǒng)化實(shí)現(xiàn)這種等效電阻轉(zhuǎn)換的技術(shù)。

從Δ到Y(jié)的變換公式推導(dǎo)

實(shí)際推導(dǎo)過(guò)程需建立“使Δ形電路側(cè)、Y形電路側(cè)的A-B間等效電阻一致“、“B-C間、C-A間同理”這三個(gè)方程。

下面將更詳細(xì)地推導(dǎo)將三角形接法的電阻(R1、R2、R3)轉(zhuǎn)換為星形接法(Ra、Rb、Rc)的轉(zhuǎn)換公式。設(shè)三角形電路的頂點(diǎn)為A、B、C，各邊的電阻分別為R1(A–B)、R2(B–C)、R3(C–A)。另外，在轉(zhuǎn)換目標(biāo)星形電路中，設(shè)從中心點(diǎn)O到A的電阻為Ra，從O到B的電阻為R?b，從O到C的電阻為Rc。轉(zhuǎn)換的基本方針是施加“端子A-B、B-C、C-A之間所見(jiàn)的等效電阻在Δ形電路和Y形電路中均相同”這一條件。

Δ形電路中A–B間等效電阻

設(shè)端子A-B間所見(jiàn)的等效電阻為RAB。由于R2和R3為串聯(lián)連接，故將該電阻記為R23。RAB是R1和R23的并聯(lián)連接。

Y形電路中A-B間等效電阻

設(shè)端子A-B間所見(jiàn)的等效電阻為RAB。由于Ra和Rb為串聯(lián)連接，所以得到如下公式：

RAB=Ra+Rb

通過(guò)運(yùn)用基爾霍夫定律(KVL、KCL)建立聯(lián)立方程求解A-B間的等效電阻，最終會(huì)得到一個(gè)條件方程：“(端子A-B間的等效電阻)=(Δ形電路側(cè)的A-B間等效電阻)”。

端子B–C間、C–A間亦同法操作

端子B–C間、C–A間也按照同樣的步驟，通過(guò)建立并求解三個(gè)聯(lián)立方程，使Δ形電路與Y形電路各端子間的等效電阻一致。

Ra、Rb、Rc的求解

將A-B間、B-C間、C-A間的等效電阻分別相加：

要求得Ra，可推導(dǎo)出如下基本公式。同樣可以計(jì)算出Rb和Rc。

從Y到Δ的變換公式推導(dǎo)

從Y到Δ的轉(zhuǎn)換與從Δ到Y(jié)的轉(zhuǎn)換遵循相同的原則。將Y形電路的Ra、Rb、Rc轉(zhuǎn)換為Δ形電路的R1、R2、R3時(shí)，需建立使端子A-B間、B-C間、C-A間的等效電阻相等的條件。

基于基爾霍夫定律建立聯(lián)立方程，求解端子A-B間、B-C間及C-A間的電阻。

Δ-Y變換(Y-Δ變換)的應(yīng)用

在實(shí)際的電路分析中，Δ-Y(或Y-Δ)變換在電阻網(wǎng)絡(luò)無(wú)法通過(guò)串聯(lián)或并聯(lián)組合簡(jiǎn)化時(shí)尤為實(shí)用。這種情況常見(jiàn)于橋接網(wǎng)絡(luò)、不平衡三相負(fù)載，或兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間無(wú)直接連接電阻的復(fù)雜黑箱部分。通過(guò)在合適的點(diǎn)應(yīng)用Δ-Y變換，工程師能夠?qū)?fù)雜的拓?fù)浜?jiǎn)化為更簡(jiǎn)單的形式，從而便于運(yùn)用歐姆定律和基爾霍夫定律等傳統(tǒng)方法計(jì)算電流、電壓或功率。即使是在可以使用仿真工具的情況下，這種變換方法仍是設(shè)計(jì)評(píng)審和故障分析時(shí)解讀電路行為、進(jìn)行電路簡(jiǎn)化的重要手段。

對(duì)平衡負(fù)載和不平衡負(fù)載應(yīng)用Δ-Y變換(Y-Δ變換)

當(dāng)三相電路中的負(fù)載電阻(或阻抗)像R1=R2=R3一樣完全相等時(shí)，稱(chēng)為“平衡負(fù)載”。此時(shí)，無(wú)論是Δ連接還是Y連接，分析都相對(duì)簡(jiǎn)單，但在實(shí)際的系統(tǒng)中，往往會(huì)出現(xiàn)一定程度的不平衡。

不平衡負(fù)載狀態(tài)下，各相的電阻或電抗不同，可能導(dǎo)致線電流和相電壓出現(xiàn)不平衡現(xiàn)象。

通過(guò)Δ-Y變換適當(dāng)整合這種電路，便于量化不平衡程度，有利于在故障排查中發(fā)現(xiàn)電路設(shè)計(jì)缺陷和電流偏移等問(wèn)題。

阻抗(復(fù)數(shù))的Δ-Y變換(Y-Δ變換)

Δ-Y變換同樣適用于將電阻R替換為包含電感和電容的阻抗Z=R+jX。

三相交流電路中實(shí)際上往往包含電感和電容的電抗，采用復(fù)數(shù)表示方式可分析相位差乃至無(wú)功功率。

Δ-Y變換(Y-Δ變換)在三相交流電路中的應(yīng)用

線電壓和相電壓的關(guān)系梳理

在三相交流電路中，連接方式不同使得相電壓和線電壓之間的關(guān)系也不同。

由于Δ形接法和Y形接法的電壓、電流大小關(guān)系不同，因此即使負(fù)載相同，接法不同也會(huì)使電源側(cè)的電流值發(fā)生變化。通過(guò)深入了解相關(guān)的三相交流基礎(chǔ)知識(shí)，將會(huì)使Δ-Y變換的意義更加明晰。

與星-三角啟動(dòng)和三相變壓器的關(guān)聯(lián)

星-三角啟動(dòng)

多數(shù)三相電機(jī)采用“僅啟動(dòng)時(shí)采用Y形連接，穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)切換為Δ形連接”的方案。其設(shè)計(jì)目的在于通過(guò)降低啟動(dòng)時(shí)的相電壓來(lái)抑制大電流，當(dāng)電機(jī)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)后切換至全電壓驅(qū)動(dòng)(Δ連接)，從而實(shí)現(xiàn)高效率運(yùn)轉(zhuǎn)。

這部分內(nèi)容雖然與Δ-Y變換公式本身不同，但要想正確了解“Y連接時(shí)和Δ連接時(shí)，端子間的電壓和電流如何變化”，Δ-Y關(guān)系作為基礎(chǔ)知識(shí)非常重要。

三相變壓器

通過(guò)對(duì)繞組進(jìn)行Δ-Δ、Y-Y或Δ-Y等不同方式的連接，可調(diào)整線電壓與相電壓的變換比值。在變壓器接線中，Δ-Y變換的思路具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，有助于了解“Δ形和Y形的區(qū)別”。

(參考)多電源電路與疊加定理

應(yīng)用疊加定理對(duì)含多個(gè)獨(dú)立電源的電路進(jìn)行分析時(shí)，通過(guò)將電路簡(jiǎn)化為“僅保留一個(gè)電源，其余電源短路或開(kāi)路“的形式，最終再將各簡(jiǎn)化電路的分析結(jié)果進(jìn)行疊加。

與Δ-Y變換聯(lián)用：

當(dāng)電源較多使得電路很復(fù)雜時(shí)，可先禁用部分電源將電路簡(jiǎn)化，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行Δ-Y變換，將更易于進(jìn)行電阻/阻抗的合成。

通過(guò)將“各電源單獨(dú)作用時(shí)的電流、電壓”結(jié)果相加，最終可掌握多電源同時(shí)作用時(shí)的情況。

實(shí)際應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)：

在直流電源和交流電源共存的電路中，相位和平均值等參數(shù)的處理有時(shí)會(huì)比較復(fù)雜。在三相交流電路中存在相位差(120°)或諧波分量時(shí)，需要結(jié)合復(fù)數(shù)和傅里葉分析方法進(jìn)行處理。

關(guān)于疊加定理的詳細(xì)介紹，請(qǐng)參閱“什么是疊加定理”一文。

總結(jié)

Δ-Y變換(Y-Δ變換)是三相電路及電阻網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)技術(shù)

通過(guò)將三角形連接(Δ)的三個(gè)電阻(阻抗)轉(zhuǎn)換為星形連接(Y)，或相反的轉(zhuǎn)換，可在保持端子間等效電阻的同時(shí)簡(jiǎn)化電路。

其公式無(wú)論對(duì)電阻(R)還是阻抗(Z)均可通過(guò)相同的形式適用

在三相交流電路中，由于經(jīng)常出現(xiàn)電抗，通常采用復(fù)數(shù)表示方式。可將公式中的R直接改為Z。

無(wú)論對(duì)平衡負(fù)載還是不平衡負(fù)載，皆可輕松應(yīng)用

在三相交流電路中，區(qū)分使用線電壓VL和相電壓V?，對(duì)于負(fù)載不平衡時(shí)的故障分析至關(guān)重要。

在實(shí)際應(yīng)用中，與電機(jī)的星-三角啟動(dòng)和三相變壓器接線方式的關(guān)聯(lián)很重要

啟動(dòng)時(shí)Y形連接、穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)切換為Δ形連接的三相電機(jī)，正是巧妙運(yùn)用Δ-Y電路的電壓電流差異的典型范例。

與其他電路分析方法(如疊加定理)結(jié)合適用，其作用更大

通過(guò)梳理多電源的影響，并運(yùn)用Δ-Y變換簡(jiǎn)化部分電路，可使復(fù)雜的系統(tǒng)分析變得更加順暢。

當(dāng)企業(yè)的技術(shù)人員在進(jìn)行電源設(shè)計(jì)或設(shè)備維修等涉及三相交流電的作業(yè)時(shí)，若已經(jīng)掌握Δ-Y變換的基礎(chǔ)知識(shí)，分析效率將會(huì)顯著提高。無(wú)論是平衡負(fù)載還是不平衡負(fù)載，均可準(zhǔn)確捕捉電路端子間的等效變換關(guān)系。