在進行各種圖處理、圖計算、圖查詢的時候，內存或是硬盤中如何存儲圖結構是一個影響性能的關鍵因素。本文主要分析了幾種常見的內存圖結構，及其時間、空間復雜度，希望對你有所啟發。 通常來說，對于圖結構的幾種常見的基礎操作：

插入一個點

插入一個邊

刪除一個邊

刪除一個點的全部鄰邊

找到一個點的全部鄰邊

找到一個點的另一個鄰點

全圖掃描

獲取一個點的入度或者出度

這些圖相關的操作，除了要關心時間復雜度之外，需要考慮空間占用的問題。 對于大多數實時讀寫型的系統，增刪改查的性能問題會比較重要，它們比較關注上面 1-6 的操作；對于部分密集計算的系統，對批量讀取的性能會比較重視，側重上面 5-8 的操作。 不過遺憾的是，無論是常規的圖查詢，還是進階的圖計算，根據 RUM 猜想[1]，讀快、寫快、又省空間這樣”既要又要也要”的好事是不存在的。 下面，我們介紹幾個數據結構并給出少量的定量分析。 我們先從三個典型的方案（鄰接矩陣、壓縮稀疏矩陣和鄰接表）說起，再介紹幾種近幾年的研究的變種結構 PCSR、VCSR、CSR++。

鄰接矩陣 Adjacency Matrix ?

用矩陣來表示圖結構是大學里數據結構課程中都學過的知識，也是一種非常直觀的辦法。 點 i 與點 j 之間有一條邊，等價對應于矩陣上 $M_{ij}$ 為 1。當然，這里的點 ID 是需要連續排列無空洞。 用矩陣來表示圖結構有明顯的好處，可以復用大量線性代數的研究成果：比如圖上模式匹配類的問題等價于矩陣的相乘。 下面是一個模式匹配問題，它的大體意思是在全圖上尋找這樣一種圖結構：

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Match?(src)-[friend?*?2..4]->(fof)
WHERE?src.age?>?30
RETURN?fof

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對于這樣一個問題可以直接對應右邊的矩陣操作：

比如，2 跳遍歷等價于矩陣 F 自乘；2 - 4 跳遍歷分別等價于 F2、F3、F^4；取屬性等價于乘以一個過濾矩陣。

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更進一步，由于矩陣操作是天生可以分塊并行加速，這在性能上有極大的優勢。 下面，我們對鄰接矩陣操作進行一個簡單的定量分析

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其中，n=|V|，m=|E|。

優化上，批量操作（CPU Cache/SSD block）可以線性增加性能，例如 O(n) 可以降低到 O(n/B)，但不影響定量分析。

由于絕大多數圖結構是極其稀疏的，因此簡單用鄰接矩陣來表示圖結構，其內存會有夸張的浪費。更為嚴重的是，當有多種邊類型時，每種邊類型各需要一個鄰接矩陣。這使得裸用矩陣在實際情況中只能處理很小數據量的場景。當然，對于現代服務器動輒幾百 G 的內存，如果只有幾億點邊的數據量，像是 twitter2010，這并不會是很嚴重的問題。但大多數情況下，條件允許的話，大家還是希望找到一些更加經濟的結構。

壓縮稀疏矩陣 CSR/CSC ?

壓縮稀疏矩陣是一種非常流行和緊湊的圖結構表示方式，大多數圖計算系統都采用 CSR。

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這里簡單介紹一下 CSR 的結構：

對于點 IDx，取鄰居 ID 就是 F[N[x]] 到 F[N[x+1]-1]。

例如，查找點 ID2 的鄰居，對應為 F[N[2]] 到 F[N[2+1]-1]，對應到上圖也即 1 6 8。查找點 ID7 的鄰居，對應為 F[N[7]] 到 F[N[7+1]-1]，也就是 2 和 4。

另外，CSR 記錄的僅是出邊的信息，如果要考慮入邊就使用 CSC，其原理是類似的。

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CSR 的空間占用是 O(|V|+|E|)，在空間節省和順序查找上是極其高效的。但在大量插入時，壓縮稀疏矩陣和鄰接矩陣一樣，需要重新開辟空間，效率很低。所以，它適合于計算密集場景但不適合增改頻繁的場景。

CSR 還有一個顯著的優點是可以快速獲取每個點的出入度，只要計算 N[x+1]-N[x]，這在判斷一些點是否為超級節點時很方便。如果不是稀疏矩陣的話，通常會用另外一個單獨的結構來記錄出入度。

此外，CSR 不容易實現并發修改，其每次插入都需要對兩個矢量進行位移，這并不高效。

鄰接鏈表 Adjacency List ?

和基于矩陣的方式不同，鄰接鏈表 AL 空間上有優勢，但對于邊的讀寫上會略微慢一點（指針在內存中不能連續移動）。AL 的做法是把鄰邊（出邊）用 list 或者有序 list 的方式串連起來。由此延伸的一個變種是鄰邊從 list 改為 array。

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AL 相比 CSR 通常不能直接獲得點的出入度，可以通過可以單獨維護一個字段實現該功能。

此外，鄰接表并不需要 ID 連續排布，對于頻繁增刪點的場景特別友好。AL 對于并發修改的支持也更友好，天然在點級別有并行度。當然，對于超級節點，直接用 list 的方式，還是會有些性能的問題要考慮；優化上可能會進一步改造成 Blocked list 的方式，可以帶來更好的數據局部性和細顆粒度。

由于 ID 不用嚴格連續排布，AL 的一個常見變種就是 Tree。

Tree ?

在這種結構中，一個點和其所有的鄰邊被建模成了 key-value，key 是點 ID，value 是所有鄰邊的編碼。Key 通過 Tree 的方式組織在一起。這里的樹可以是 B-Tree 等各變種 Tree。雖然本文沒有討論圖屬性，但 value 中也是可以存放 value。

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為了控制訪問顆粒度，每個葉子通常會被限定為固定的大小（頁）。這就是在數據庫類系統里面最常見的辦法 B-tree。為了增改方便，也可以把每頁的 in-place update 改成 Copy-On-Write 的方式；一個典型的代表就是 LLAMA[2]，但這種多版本的讀取通常會需要更多的空間，并且當有大量累積修改時，需要定期的多版本合并以降低跨快照讀。某種程度上，它和 LSM-Tree 的思路有些接近。

基于 CSR 的變種 PCSR 和 VCSR ?

由于 CSR 在空間和讀性能上有很大的優勢，但在插入時的耗時和空間上都很弱，因此本節幾個變種的主要目的都是為了改善其弱項，大體思路都是分塊和 buffer。

在 CSR 的邊矢量進行增刪時可以注意到，主要耗時是在對于矢量的元素位移上。因此，一個直觀的思路是預留一些插入空白位，在刪除時也不立刻回收這些空白。

而分塊思想，是指將一些局部數據放在同一個分塊內，例如 Tree 中每個 page 就是一種分塊的方式。與此對應的是，buffer 空白之間的連續區域。

PCSR

PCSR [3]的基本思想是：對于點矢量，其元素從一個值改為對應邊矢量中對應鄰邊位置的?<起點,終點>。而對于邊矢量，在這些分塊所對應邊界放置哨兵 sentinel，上圖中的 S，上圖的 “-”?對應預留插入位置留空。

事實上，原文中，對于邊矢量，其本質是實現為一個 B-Tree，本文先簡化成一個 Array。?

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可以看到，PCSR 的預留位置多少都是需要重平衡，不能過多也不能不足。特別是大批量增刪時，對預留位置的處理會是一個較重的操作。

此外，如果把 PMA 的 B-Tree 以及需要 rebalance 的本質考慮進去，其和前述 Tree 方式的區別并不是很大。

? ? ? VCSR

VCSR[4]主要是對 PCSR 的一個改進，其樸素思想是 PCSR 的留空是均勻的，而大多數圖結構的出入度，是存在 20-80 這樣的冪率特征，而 PCSR 的一個主要痛點是頻繁的 rebalance。VCSR 的做法是為每個分塊預留空間正比于其分塊內的點的數量，即：邊矢量中，一個分塊內，如果點的數量多，就多預留一些空位。在直覺上，點數量多時，其分塊對應的邊插入會更多一些，這樣可以減少 rebalance 的頻率。

此外，VCSR 還有些版本號之類的優化。 ? ? ? CSR++

事實上，CSR++[5]在設計上其實更接近一種 AL/Tree 的變種，而不是 CSR。它主要有三個方面的優化：

第一，對于 Vertex Array 再分段，將一個大的 Array 拆成多段，這樣可以有更細的讀寫顆粒度。通過?段 ID + 點 ID?來定位每個點和其鄰邊。第二，Vertex Array 中每個元素，除了記錄點 ID 之外，對于鄰邊數量很少的點，直接把鄰居 ID 也對齊地塞 inline 進去。

對于大多數的點，其鄰邊就不需要單獨的 Edge Array 來存儲了。

可以看到這種方式在圖比較稀疏的時候，對于 CPU Cache 掃描是很友好的。

第三，對于每個點的鄰邊，采用copy-on-write、標記刪除等常見的優化辦法，構建成類似?std::vector?結構。

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小結 ?

最后，由于在圖查詢、圖存儲和圖計算不同場景下，對于圖結構的讀寫掃描和生命周期都有些不同的要求，不同的數據結構也有不同的優劣。

當然，本文只是討論了圖結構可以放在內存中的情況。當不得不把部分數據放在硬盤上時，問題就完全不同了。當然本文也沒有討論不同 CPU 對于不同距離內存的性能差異 NUMA，或者跨進程通信帶來的影響。

延伸閱讀 ?

最后，我們來了解下在圖計算/圖算法上的圖操作。

圖算法中的圖操作 在圖計算中，存在多種圖結構算法，可能會涉及多種基礎操作。 中心性 Centrality Algorithms，一種衡量一個節點在整個網絡圖中所在中心程度的算法，包括：度中心性、接近中心性、介數中心性等，會涉及“找到一個點的全部鄰邊”、“找到一個點的另一個鄰點”、“全圖掃描”的操作組合。

度中心性通過節點的度數，即關聯的邊數來刻畫節點的受歡迎程度，這將會要求找到一個點的所有鄰邊。

接近中心性，通過計算每個節點到全圖其他所有節點的路徑和來刻畫節點與其他所有節點的關系密切程度，這將會要求進行全圖掃描，查找點和圖中所有點的路徑信息。

介數中心性，則用于衡量一個頂點出現在其他任意兩個頂點對之間最短路徑上的次數，從而來刻畫節點的重要性，這將會要求進行全圖掃描，找到一個點和它的鄰點及路徑信息

PageRank，又稱網頁排名、谷歌左側排名，是一種由搜索引擎根據網頁之間相互的超鏈接計算的技術作為網頁排名的要素之一的排名方法。它以 Google 公司創辦人拉里·佩奇 Larry Page 之姓來命名。Google 用它來體現網頁的相關性和重要性，在搜索引擎優化操作中是經常被用來評估網頁優化的成效因素之一。一般來說，PageRank 的值越高，表示其被很多其他網頁鏈接到，說明它的重要性很高；而如果一個 PageRank 很高的網頁鏈接到其他網頁，被鏈接的網頁的 PageRank值也會隨之提高。PageRank 的計算過程如下： 假設由 4 個網頁組成的集合：A、B、C、D，每個頁面的初始 PageRank 值相同，為了滿足概率值為 0-1 之間，假設這個值為 0.25。 如果所有頁面都只鏈接至 A，如下圖，則 A 點的值將是 B、C、D 的 PageRank 值的和。

倘若是下圖這種圖結構：

B 鏈接到 C，D 鏈接到 B 和 C，A 點的值計算的方式如下：

這里的 2、1、3，分別是 B 點對外鏈接的 2 條邊，C 點對外鏈接的 1 條邊，D 點對外鏈接的 3 條邊。

換句話說，算法將根據每個頁面連出總數平分該頁面的 PR 值，并將其加到其所指向的頁面：

最后，所有這些 PR 值被換算成百分比形式再乘上一個修正系數。

由于“沒有向外鏈接的網頁”傳遞出去的 PR 值會是0，這時候如果遞歸的話，會導致指向它的頁面的 PR 值的計算結果同樣為零，所以 PageRank 會賦給每個頁面一個最小值。

因此，一個頁面的 PR 值直接取決于指向它的的頁面。如果在最初給每個網頁一個隨機且非零的 PR 值，經過重復計算，這些頁面的 PR 值會趨向于某個定值，也就是處于收斂的狀態，即最終結果。

簡單來說，大多數迭代圖計算模型都是基于“找到一個點的全部鄰邊”、“找到一個點的另一個鄰點”操作。

AIGC 小課堂 ?

在 AIGC 小課堂部分，我們會用 NebulaGraph 接入的 aibot 來講解下文中的部分概念。你如果對 chatgpt 或者是 aibot 有興趣，可以來?https://discuss.nebula-graph.com.cn/?向 aibot 提出你的要求。

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? ? ? ? 參考文獻 ?

Athanassoulis, M., Kester, M. S., Maas, L. M., et al. (2016). Designing Access Methods: The RUM Conjecture. In EDBT (pp. 461-466).

Macko, P., Marathe, V. J., Margo, D. W., et al. (2015). Llama: Efficient Graph Analytics Using Large Multiversioned Arrays. In 2015 IEEE 31st International Conference on Data Engineering (pp. 363-374). IEEE.

Wheatman, B., & Xu, H. (2018). Packed Compressed Sparse Row: A Dynamic Graph Representation. In 2018 IEEE High Performance Extreme Computing Conference (HPEC) (pp. 1-7). IEEE.

Islam, A. A. R., Dai, D., & Cheng, D. (2022). VCSR: Mutable CSR Graph Format Using Vertex-Centric Packed Memory Array. In 2022 22nd IEEE International Symposium on Cluster, Cloud and Internet Computing (CCGrid) (pp. 71-80). IEEE.

Firmli, S., Trigonakis, V., Lozi, J. P., et al. (2020). CSR++: A Fast, Scalable, Update-Friendly Graph Data Structure. In 24th International Conference on Principles of Distributed Systems (OPODIS'20).

編輯：黃飛

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