單周控制DC/DC變換器的交流小信號模型與設計??

摘要：以單周控制理論為基礎，介紹了基本拓撲DC/DC變換器——Buck、Boost、 Buck?Boost在單周控制方式下的工作原理；建立了統一的控制方程；建立了這三種變換器在單周控制下的交流小信號模型，并給出了規范化的統一模型；以統一模型為基礎，設計了一個Buck變換器。

關鍵詞：單周控制；變換器；模型；設計

AC Small Signal Model and Design of One-cycle Controlled DC/DC Converters

DU Xiong,XIE Pin-fang,SU Xiang-feng

Abstract:Based on the one-cycle control theory the operation principle of one-cycle controlled basic toplolgy DC/DC converters——Buck、Boost、Buck-Boost is introduced, and the canonical control equations are proposed, too. The AC small signal models of the three converters are constructed, and the canonical model is also presented. A Buck converter is designed based on the canonical model.

Keywords:One-cycle control;Converter;Model;Design

1? 引言

??? DC/DC變換器是一種非線性的動態系統。傳統PWM變換器[1]控制系統是通過對占空比的線性化調節來減小輸出誤差。這種控制方式對輸入電源電壓的擾動，特別是其大幅值的升降變化，往往不能瞬時跟蹤調節占空比來抑制輸出誤差。因此，瞬態過沖總是存在于這種傳統控制方式中，其持續時間由回路增益和帶寬決定，通常要經過幾個開關周期才能重新達到穩態。在電流控制模式[1]中，通過加入人工斜坡來消除占空比大于等于0.5時產生的振蕩。從理論上講，如果人工斜坡的斜率選擇得恰好和電感電流的下降斜率相等，可以在一個開關周期內消除電源電壓擾動產生的影響。實際上，通常電感電流的下降斜率是幾個狀態變量的函數，人工斜坡的斜率不可能在任何時刻與電感電流下降斜率相等。因此，電流控制模式也不可能在一個開關周期內消除電源電壓擾動產生的影響。滑模控制[1]與模擬信號離散時間區間變換器（ASDTIC）[1]在固定頻率下的一個開關周期中也不能消除電源電壓擾動產生的影響。而一種新的控制方式——單周控制[1,2]通過保持受控量的平均值恰好等于或正比于控制參考信號，能在一個開關周期內，有效地抑制電源側的擾動。單周控制為恒頻控制。該控制方式可廣泛運用于非線性系統。本文介紹了單周控制的工作原理及單周控制DC/DC變換器的工作原理，建立了單周控制DC/DC變換器的交流小信號模型。

2? 單周控制DC/DC變換器的工作原理?

2.1? 單周控制的工作原理

???? 單周控制的基本思想是在每一個開關周期內使受控量的平均值恰好等于或正比于控制參考信號。其原理圖如圖1所示。

圖1? 單 周 控 制 原 理 圖

??? 在每一個開關周期中，假定Uref恒定。t=0時開關S1閉合，S2斷開，對受控量進行積分；當t=DTs(Ts為時鐘周期)時，比較器輸出發生變化，使S1斷開，S2閉合，積分器復位。開關函數為：

這樣就使得在每個時鐘周期中，參考量與輸入量滿足以下關系:

Uref=x(t)dt

由開關函數可以知道參考量與輸出量的關系：

Uref=y(t)dt

??? 圖2給出了輸入量x(t)、輸出量y(t)、積分器輸出量uint、參考量Uref的示意圖。輸出量uint和參考量Uref在圖2的最下面，Uref為一直線。從圖2中可以看出，輸入信號x(t)被開關斬波形成輸出信號y(t)。輸出信號y(t)的頻率和脈寬是與開關函數一致的；而輸出信號y(t)的包絡線與輸入信號x(t)一致。占空比D為模擬控制參考信號Uref所調制。從而，達到了對控制變量平均值進行控制的目的。

圖2? 單 周 控 制 波 形

2.2? 單周控制DC/DC變換器的工作原理

??? 以單周控制理論為基礎，將其應用到DC/DC變換器中。下面將對三種基本拓撲變換器——Buck、Boost、 Buck?Boost變換器在單周控制連續模式下的工作原理進行分析。

??? 三種變換器的輸入－輸出關系分別為：

??? Buck型：U=D·Ug

??? Boost型：U=Ug/(1－D)，將其整理得到U－Ug=D·U

??? Buck-Boost型：U=－〔D/(1－D)〕Ug,將其整理得到U=D(U－Ug)

??? 式中Ug表示輸入電壓，U表示輸出電壓，D表示占空比。從上面的輸入－輸出關系中，可以看出，如果將等式左邊的項當作單周控制方式中的參考量Uref,將等式右邊的項當作受控量的周期平均值，則剛好與單周控制方式的控制方程相吻合。表1列出了這三種DC/DC變換器單周控制下的關系。

3? 單周控制DC/DC變換器的交流小信號模型

??? 分步建立單周控制DC/DC變換器的交流小信號模型,首先建立主電路部分的交流小信號模型,并且給出規范化的模型;然后建立單周控制部分的交流小信號模型,同樣也給出規范化的模型;最后給出整體的規范化交流小信號模型。

3.1? 主電路的交流小信號模型

??? 以Buck變換器為例，如圖3所示。對于所討論的物理量，進行去除開關紋波的處理。其基本思想是用一個開關周期內的平均值代替瞬時值。即

u（t）≈〈u(t)〉Ts=u(τ）dτ

式中：Ts——開關周期；

????? u（t）——任一物理量。

圖 3? 單 周 控 制 Buck變 換 器 原 理 圖

表1? 三種DC/DC變換器單周控制關系

	Buck	Boost	Buck?Boost
參考量	U	U-Ug	U
受控量	Ug	U	U-Ug
控制方程	U=Ugdt	U-Ug=Udt	U=(U-Ug)dt

??? 對 所 討 論 的 物 理 量 作 小 信 號 近 似 ： 假 設 電 感 電 流i(t)、 電 容 電 壓u(t)、 占 空 比d(t)、 電 源 電 壓ug(t)、 電 源 輸 出 電 流ig(t)等 物 理 量 的 交 流 分 量 幅 值 遠 小 于 其 恒 定 分 量 。 去 除 開 關 紋 波 分 量 后 的 各 量 可 表 示 為 下面5個方程，記為方程Ⅰ。

〈i(t)〉Ts=I＋(t)???? I》(t)

式中：I為恒定分量，(t)為交流分量；

〈u(t)〉Ts=U＋(t)??? U》(t)

式中：U為恒定分量，(t)為交流分量；

d(t)=D＋(t)??? D》(t)

式中：D為恒定分量，(t)為交流分量；

〈ug(t)〉Ts=Ug＋(t)???? Ug》(t)

式中：Ug為恒定分量，(t)為交流分量；

〈ig(t)〉Ts=Ig＋(t)? Ig》(t)

式中：Ig為恒定分量，(t)為交流分量。

??? 圖3中當開關倒向1時：

??? L〔di（t）/dt〕=ug(t)－u(t)

??? C〔du(t)/dt〕=i(t)－u(t)/R

??? ig(t)=i(t)

??? 當開關倒向2時:

??? L〔di（t）/dt〕=－u(t)

??? C〔du(t)/dt〕=i(t)－u(t)/R

??? ig(t)=0

??? 對上面方程中的各物理量取周期平均，得到如下三個方程，記為方程Ⅱ。

??? L〔d〈i(t)〉Ts/dt〕

????? =d（t）[〈ug(t)〉Ts－〈u(t)〉Ts]ug(t)－

?????? d′ (t)〈u(t)〉Ts

式中：d′(t)=1－d(t)

????? C〔d〈u(t)〉Ts/dt〕=〈i(t)〉Ts－〈u(t)/R〉Ts

???? 〈ig(t)〉Ts=d（t）〈i(t)〉Ts

??? 將方程Ⅰ代入方程Ⅱ，略去直流分量和二階分量，得到主電路部分的交流小信號模型。

??? L〔d(t)/dt〕=D(t)＋ug(t)－(t)

??? C〔d(t)/dt〕=D(t)＋I(t)－(t)/R

???? (t)=D(t)＋I(t)

??? 圖4為其等效電路圖。對圖4中的電壓源U(t)進行電源轉移，移到變壓器的左邊。同時將時域的小信號模型轉換到復頻域，并且考慮負載側電流load(s)的變化對系統的影響，形成規范形式的主電路交流小信號模型。如圖5所示。

圖4? Buck變 換 器 主 電 路 的 交 流 小 信 號 模 型

圖5? DC/DC變 換 器 的 規 范 化 交 流 小 信 號 模 型

圖中：M(D)=D；

????? Le=L；

????? e(s)=U/D2；

????? j(s)=I=U/R。

??? 對Boost、 Buck-Boost型變換器可以采用同樣的方法，得到圖5中的規范化交流小信號模型。其參數如表2所示。

表2? 規范化交流小信號模型參數

由圖5中的規范化模型，可以寫出主電路部分的傳遞函數

Gud（s）=

Gug（s）=

Zout（s）=

3.2? 單周控制電路的交流小信號模型

??? 為了更好地穩定輸出電壓，提高變換器的穩定性。引入了參考電位，與輸出電壓比較后得到的誤差信號經過補償網絡，作為反映輸出電壓的信號，進入后面的控制環節。輸出電壓取樣值與參考電位比較得到的誤差信號經過補償網絡后得到信號uc(t)，用它代替輸出電壓信號u(t)。同樣采用小信號近似。

??? uc(t)≈〈uc(t)〉Ts=Uc＋(t)??? Uc》(t)

??? 對于Buck變換器，其控制方程為：

??? d(t)·〈ug(t)〉Ts=〈uc(t)〉Ts

??? 進行小信號擾動，并線性化處理，得到：

??? D(t)＋Ug(t)=(t)

??? 對上式整理得到：

??? (t)=－·(t)＋·(t)

??????? =FG·(t)＋FC·(t)

式中：FG=－D/Ug；FC=1/Ug。

??? 對于Boost變換器，其控制方程為：

??? d(t)·〈uc(t)〉Ts=〈uc(t)〉Ts－〈ug(t)〉Ts

??? 同樣進行小信號擾動，并且線性化處理，可以得到：

??? (t)=FG·(t)＋FC·(t)

式中：FG=－1/Uc；FC=(1－D)/Uc。

??? 對于Buck-Boost變換器，其控制方程為：

??? 〈uc(t)〉Ts=d(t)·〔〈uc(t)〉Ts－〈ug(t)〉Ts〕

??? 同樣進行小信號擾動，并線性化處理，可以得到：

??? (t)=FG·(t)＋FC·(t)

式中：FG=D/(Uc－Ug)；FC=(1－D)/(Uc－Ug)。

??? 綜上所述，單周控制部分的規范化交流小信號模型為：

??? (t)=FG·(t)＋FC·(t)，其中FG、FC的參數如表3所示。

表3? 三種變換器型式的FG與FC

3.3? 整體的規范化交流小信號模型

??? 根據前述分析可以建立整個系統的模型，其框圖如圖6所示。由整體模型框圖，可以寫出系統的閉環輸入輸出關系。

圖6? 單 周 控 制DC/DC變 換 器 的整 體 規 范 化 交 流 小 信 號 模 型

??? 令開環傳遞函數

??? T(s)=H·Gc(s)·FC·Gud(s)

??? 則閉環輸入輸出關系為:

???? (s)=··(s)＋

????????? ·(s)－·(s)

4? 設計與仿真結果

??? 以Buck變換器為例，下面給出了單周控制DC/DC變換器的設計過程。主電路參數分別為C=500μF，L=50μH，fs=100kHz，Ug=28V，U=15V。由前面的交流小信號模型，可以得出變換器的開環傳遞函數為：

??? Ts=Gc(s)/3〔1＋(s/Q0ω0)＋(s/ω0)2〕

??? 當補償網絡為1時，Q0=9.5，f0=ω0/2π=1kHz，相角裕量接近于0。

??? 為了提高變換器的穩定性，需要增大轉折頻率和相角裕量。在兼顧超調量的同時，把相角裕量增大到52°；轉折頻率提高為開關頻率的1/20，即5kHz。設計的補償網絡為

??? Gc(s)=(1＋ωzs)/(1＋ωps)

式中：fz=ωz/2π=1.7kHz；fp=ωp/2π=14.5kHz。

??? 根據上面的設計，圖7給出了仿真波形。為了考察變換器的穩定性，輸入電壓加入了交流擾動分量，如圖7中最上面的波形所示。負載也從6Ω變化到3Ω，圖7中間的波形為負載電流變化的情況，下面的波形為輸出電壓的波形。

圖7? 仿 真 波 形

??? 從仿真波形可以看出，根據單周控制變換器的統一模型設計的Buck變換器具有很強的抗輸入側電壓干擾和負載變化的能力，穩定性好，響應速度快，輸出電壓紋波小。

5? 結論

??? 文中推導了單周控制DC/DC變換器的規范化控制方程，建立了單周控制DC/DC變換器的規范化交流小信號模型。為單周控制DC/DC變換器的設計提供了理論基礎。設計實例和仿真結果證明了該模型的正確性與實用性。

參考文獻

[1]? K.M,Smeldy and S.Cuk.One-cycle control of switching converters[J]. IEEE Trans. Power Electron., 1995, 10(6)

[2] K.M,Smeldy and S.Cuk.Dynamics of one-cycle controlled Cukconverters[J]. IEEE Trans. Power Electron.,1995,10(6)

[3] R.D.Middlebrook.Modeling current pogrammed buck and boost regulators[J]. IEEE Trans. Power Electron.,1989,4(1)

[4]? 壽曉強.一種新穎DC/DC變換器的研究[J].電機與控制學報，1997,(4)