今天我們一起學習一份來自Analog的射頻設計筆記。這份應用筆記介紹了射頻（RF）和微波子系統組件的系統級表征和建模技術，說明了它們在混合信號、混合模式系統級仿真中的應用。通過使用具有數字預失真 （DPD） 的 RF 發射器作為示例系統，并介紹了這個復雜系統的詳細信息和性能數據。

筆記全文如下：

射頻 （RF） 和微波世界在很大程度上不受摩爾定律的嚴格約束，而數字世界中的積極擴展幾十年來一直是常態。但現在，由于CMOS晶體管具有數十到數百GHz的皮秒開關速度和轉換頻率，因此有機會在單個集成電路上將射頻和微波組件集成到一個完整的系統中。用于無線局域網和家庭基站的單芯片收發器已經成為商業現實。與復雜的數字系統一樣，對一次通過設計成功的需求要求為整個系統的子系統組件提供準確的預測模型，從而能夠在將設計提交到硬件之前對系統設計進行仿真并糾正任何錯誤或故障。這將節省時間和不必要地制造和測試整個系統的成本。

近年來，射頻和微波設計的系統級建模和仿真變得非常復雜。AWR 和 Agilent 等 EDA 供應商現已提供具有廣泛信號源、組件模型和數據分析工具庫的商業仿真工具。射頻和微波組件（如放大器和混頻器）的非線性行為模型的開發，以及在典型應用環境中準確測量這些子系統的能力，是最近這些模擬器進步的重要推動因素。

本教程介紹了射頻和微波子系統組件的系統級表征和建模技術，并說明了它們在混合信號、混合模式系統級仿真中的應用。我將使用具有數字預失真（DPD）的RF發射器作為示例系統，如圖1所示。這是一個復雜的系統，包括：

射頻組件，例如功率放大器 （PA），為此我們需要一個非線性動力學模型

混合信號元件，如數據轉換器和 IQ 調制器/解調器

預失真器的數字組件，可以實現為現場可編程門陣列 （FPGA） 或定制 IC，而這些組件又可以通過高級描述語言（如 Verilog）的模型進行描述，或者通過使用數學語言（如 Mathworks 的 MATLAB 軟件）的算法函數來描述。

圖 1.具有DPD功能的無線基礎設施發射機系統的框圖和DPD接收機的觀察路徑。該圖顯示了我們將要考慮的主要模塊和仿真域

具有數字預失真 （DPD） 的射頻發射器是實用復雜系統的一個很好的例子。通常，在這樣的系統中，獨立的團隊將設計子系統組件，但重要的是要知道這些組件將作為一個完整的系統協同工作，最好是在硬件用螺栓連接在一起之前。這將使我們能夠在設計階段進行任何必要的架構更改，而不是在硬件構建之后。

我們需要一個能夠控制多個不同模擬器引擎并處理它們之間的數據傳輸的仿真環境。例如，我們可以對系統的射頻組件使用諧波平衡或包絡瞬態仿真，而系統的數字部分將以時間步長或時間行進的方式進行仿真。我們可能還必須在不同的模擬器中管理浮點和定點數據表示。擁有一個可以管理這種協同仿真的模擬器工具是必不可少的。

在詳細介紹模型、模型結構及其在仿真工具中的使用之前，我們先簡要回顧一下在此類支持 DPD 的射頻發射器系統中遇到的一些設計挑戰和注意事項。雖然設計高功率射頻放大器以滿足寬帶CDMA（WCDMA）和長期演進（LTE）等現代頻譜高效數字調制通信信號的功率和效率要求已經足夠具有挑戰性，但DPD的加入帶來了一兩個額外的皺紋。

WCDMA 和 LTE 等現代數字調制無線通信信號旨在最大限度地提高在給定帶寬內可以傳輸的數據量。現代無線通信數字調制的細節可以在[3]中找到。除了調制和編碼方案的復雜性外，這些信號最明顯的特征之一是它們具有非常高的峰均功率比（PAPR），在實際情況下介于6dB至10dB之間。換句話說，信號峰值的功率可能比我們想要傳輸的信號的平均功率高 10 倍。平均功率決定了傳輸的范圍;峰值功率決定了功率放大器的“尺寸”。這意味著放大器必須具有基站覆蓋區域所需功率能力的 4 到 10 倍，才能處理峰值。從其峰值容量“后退”運行 AB 類 PA 通常意味著以非常低的效率運行，這是不可接受的，因為運行它的電力成本很高。相反，我們發現像Doherty這樣的高效PA架構被用于無線基礎設施基站PA。雖然效率很高，但這些功率放大器在以必要的高功率運行時會產生高水平的失真。因此需要某種形式的線性化技術，而DPD是目前的首選方法。

使用 DPD 會帶來挑戰。首先，我們需要在發射機中建立一條觀察路徑（見圖1），以檢測PA產生的失真。預失真器將PA輸出與所需信號進行比較，然后使用非線性函數在PA輸入信號中產生失真，使PA的輸出成為所需信號的復制品。該非線性函數的參數不斷調整，以最小化輸入信號和PA輸出之間的差異。這是一個控制系統。預失真器抵消了PA增益的壓縮特性，因此它是一個擴展函數。在頻域中，我們看到互調和鄰道泄漏功率由DPD補償。我們可以將其視為預失真器在PA輸入中添加頻率分量以抵消這些失真產物。有關DPD如何操作的更多詳細信息，請參閱[4]。

將DPD添加到發射器的結果是，預失真信號的帶寬比原始數據帶寬寬得多;寬度最多五倍是常見的準則。這意味著從DPD算法到DAC和RF部分的發射鏈必須具有寬帶寬。對于載波聚合可產生100MHz信號帶寬的LTE而言，這是一個重大的設計和實現挑戰。觀測路徑也應具有此帶寬，以便能夠捕獲PA為DPD系統產生的高階失真產物。此外，觀察路徑需要比發射機的其余部分更線性，因為就DPD而言，這里引入的任何失真都與PA產生的失真無法區分，并且由此產生的校正信號實際上會在PA輸出中引入失真。觀察路徑需要低噪聲和高動態范圍，以便能夠辨別低電平失真產物。這些都是重大的設計挑戰，并增加了變送器的復雜性和成本。

射頻行為模型

在過去的二十年中，關于開發非線性射頻和微波元件的行為模型已經取得了相當多的工作[5,6]。最近的重點特別放在PA建模上，因為該器件是典型發射機系統中非線性的主要來源。在此期間，識別所謂的“記憶效應”已成為發射機系統建模中最重要的挑戰之一。例如，雖然使用多項式模型可以相當直接地對非線性進行建模，但包含記憶效應會使我們的建模和仿真任務變得非常復雜。

射頻行為建模有兩種主要方法：頻域和時域。我們將概述這兩種風格。非線性模型通?；诒粶y系統圍繞某個工作點（例如直流條件或平均射頻功率）的線性化。任何更通用的東西都太復雜了，無法構建和實現，并且不會簡化我們的建模挑戰。

頻域模型

頻域是射頻和微波工程師的天然家園。自 Kurokawa 的原始論文 [7] 以及 1960 年代引入矢量網絡分析儀以來，我們一直在使用 S 參數進行線性設計近 50 年。因此，這種方法很受歡迎。

X參數模型[8]及其相關和相似的模型結構S函數[9]和“Cardiff”模型[10]是目前流行的現代頻域模型。這些模型都基于圍繞單個大音調（例如，PA的大信號驅動）的非線性響應的線性化。然后，通過測量對大音調外施加的小諧波信號的散射響應，在頻域中探測非線性行為。Verspecht 和 Root 在本雜志 [11] 中清楚地解釋了基本原理和數學基礎。X 參數模型僅使用一階導數來模擬非線性行為。這是一種相當優雅的方法，因為一階導數是由雅可比算法中的模擬器自動計算的，它用于收斂到解，因此該模型簡單快捷。S 函數以類似的方式運行，但也可以將 DC 條件作為顯式建模變量包括在內。Cardiff 模型通過在模型中包含高階導數來擴展 X 參數，這與泰勒級數一樣，擴展了模型的有效區域并使其更具通用性。

X 參數的價值不僅在于模型公式，還在于構建它們的數據可以使用現成的設備進行測量，例如 AgilentPNA-X 非線性矢量網絡分析儀。該儀器還可以構建與 Agilent ADS 模擬器兼容的 X 參數模型文件。在PNA-X周圍設置外部測量系統時，高功率PA確實需要格外小心，但這可以擴展儀器測量輸出功率超過100W的PA上的X參數的能力[12]。我們還可以從仿真中生成電路的 X 參數描述。這意味著我們可以以相當直接的方式創建電路或子系統的非線性模型，甚至在設計過程的早期，用于更高級別的系統仿真。

X參數方法的一個缺點是這些模型在構造上是無記憶的，盡管最近有關于如何使用基于非線性積分模型的Volterra級數方法將長期和短期記憶效應納入X參數模型結構的報道[13]。可以使用脈沖技術來測量記憶效應，以觀察瞬態行為，并使用 [5]，第 3 章中描述的 NIM 方法提取記憶模型參數。內存組件通過乘積項包含在 X 參數公式中。由于長期記憶效應通常是偏置電源元件和PA夾具中偏置線設計的結果，這表明可以將這些電路效應建模為一個單獨的模型元件，該元件可以“添加”到晶體管的X參數模型中，以產生完整的PA模型。

時域模型

非線性動力學現象的自然歸宿是時域，因為我們可以捕獲瞬態，從而捕獲能量存儲或記憶效應，以及穩態行為。在射頻和微波電路中使用時域數據的一個重大歷史缺點是，測量的采樣率必須非常高，導致采樣不足或時間跨度較短的數據集。仿真中也出現了類似的問題：瞬態仿真的時間步長必須非常短，導致仿真時間很長。如今，這些問題已基本得到解決。最近，人們發布了帶寬超過60GHz的實時采樣示波器，能夠使用高達50Gbps的信號進行表征[14]。包絡瞬態仿真技術的發展使得在可控的時間內使用調制射頻和微波信號對電路進行仿真成為可能。

蜂窩通信中使用的PA通常是相當窄的頻帶，輸出匹配網絡濾波器會衰減任何諧波。當這種PA被壓縮時，被壓縮的是信號的包絡，而不是載波信號，它保持正弦波（實際上可能沒有明確存在）。這意味著PA的非線性特性可以完全由包絡行為來描述。我們可以使用包絡，或者更準確地說，使用調制信號來表征PA：數據捕獲的時間尺度現在處于調制速率。我們還可以使用包絡瞬態仿真來描述調制信號如何受到PA非線性的影響。因此，我們的PA時域模型可以在調制速率下構建，而不是在微波頻率下構建。

現代蜂窩通信中使用的數字調制通常以同相 （I） 和正交 （Q） 分量的形式創建。將 I 和 Q 組合在一起以產生所需的調制信號，通常是某種形式的正交相移密鑰 （QPSK） 或幅度調制 （QAM）。時域 I 和 Q 數據可以在 PA 的輸入和輸出端進行測量或仿真，并在 AM-to-AM 或增益響應和 AM-to-PM（相位）響應中觀察到非線性和存儲器行為，如圖 2 所示。從這些圖中可以看出增益壓縮和相位失真的總體趨勢，以及響應在某個平均響應周圍的“云”形式。正是這種云表明存在記憶效應。如果不存在記憶效應，這兩個響應將是單行的，即“瞬時”響應。云層告訴我們的是，給定輸出功率下的增益不僅取決于該時刻的輸入功率，還取決于信號在前一個時間的值：它的歷史。并非云中的每個點都具有完全相同的歷史記錄。

圖2.功率放大器輸入輸出IQ數據的幅度和相位的AM至AM和AM至PM圖。藍點是測量數據，紅點是簡化的 Volterra 模型預測。

我們可以使用眾所周知的非線性數據或函數擬合技術，通過AM-to-AM和AM-to-PM特性擬合曲線來構建PA模型。從本質上講，我們試圖將已知函數擬合到數據中。也許最流行和最簡單的技術是多項式擬合數據。在實踐中，這通常使用“最小二乘法”來完成，這種方法可以最小化函數和數據之間的平均歐幾里得距離。通過構建多項式模型，我們基本上將泰勒級數展開擬合到數據中。

但這個過程會產生一個瞬時模型，無法捕捉到記憶效應。我們需要一個模型函數，在其公式中明確包含時域信號的歷史。Volterra 系列來救援。Volterra 系列可用于模擬時不變非線性動力系統;換句話說，一個具有內存的非線性系統。Volterra 級數可以被認為是具有記憶的泰勒級數，附錄 B 中提供了簡要概述：Volterra 級數作為泰勒級數的發展。由于Volterra級數與Taylor級數相關，兩者都是多項式函數，因此Volterra級數也存在類似的局限性[15]。首先，系統中的非線性不能是“強”的。在PA建模的背景下，“強”非線性是指輸入信號響應的不連續性，例如由波形削波引起。人們經常說，（PA）系統必須是弱非線性的，才能適應Volterra分析：這意味著系統響應必須是連續的，因此可以用一系列有限的貢獻項來表示。有時，“弱非線性”被解釋為少量的項——不超過三次！——但這是不必要的人為和限制性的。

通過增加多項式級數中的項數，可以提高 Volterra 級數的精度。換言之，該模型將實際數據近似到更小的容差。雖然增加泰勒級數中的項數是一個簡單的練習，但在 Volterra 級數中，交叉項和記憶項會導致序列中的項數隨著多項式次數和記憶深度的增加而急劇增加。這也許是 Volterra 系列建模歷來應用有限的原因之一。隨著現代筆記本電腦現在可用的計算能力，對 Volterra 級數多項式的這種限制已成為過去。

此外，可以使用復雜的“剪枝”技術將多項式中的系數數量限制在可管理的水平，而不會顯著損失模型保真度。這種技術是由Filicori、Ngoya及其同事[16,17]開創的，使用了一種稱為動態偏差的技術。在這種方法中，Volterra 系列在信號與某個工作點的偏差中顯式擴展，無論是直流條件 [16] 還是 PA 的平均信號功率 [17]。在動態偏差中將結果級數截斷到一階，結果令人滿意。不幸的是，以這種方式重寫 Volterra 級數意味著無法再使用用于識別多項式系數的標準最小二乘技術，因此模型參數難以提取。通過重鑄動態偏差表達式，Zhu 恢復了 Volterra 系列的線性參數結構，從而可以通過標準數學技術進行直接的參數提取。這種方法還允許對模型中使用的動力學水平進行顯式控制[18]。這種技術被稱為動態偏差減少，它可以生成系數相對較少的精確功率放大器模型，通常大約 30 到 50 就足夠了。

功率放大器模型

功率放大器通常是發射機非線性的最大貢獻者，如今數字預失真所需的寬帶寬上與其頻率響應相關的存儲效應需要復雜的非線性模型來足夠準確地描述DPD的PA行為。通常，使用基于多項式（Volterra）的方法，盡管市場上也有明顯的例外。用于窄帶信號的簡單存儲多項式模型已被簡化的 Volterra 系列模型所取代，這些模型包括該系列的存儲項（交叉項）之間的一些交叉耦合。這些模型通?；诮庹{的IQ數據構建，因此是RF PA的基帶模型。它們通常在 MATLAB 等環境中構建為數學模型。PA和行為模型的AM-to-AM和AM-TO-PM特性如圖2所示。這些是輸出 IQ 的幅度和相位與輸入 IQ 時域數據的關系圖。這樣的模型可以很容易地用于系統仿真。

DPD 系統建模

預失真函數是一種非線性函數，用于補償PA增益壓縮、相位轉移特性和記憶效應，從而產生PA的線性輸出。如上所述，此應用中經常使用基于 Volterra 的函數。

用于求解 Volterra 模型的 DPD 算法通常使用 MATLAB 等數學語言開發，它提供了一組豐富的工具和函數，用于求解非線性方程、優化函數系數等。自適應線性化常用的兩種DPD方法是直接自適應和間接學習，如圖3所示。直接適應是一種經典的控制方法;它直接比較輸入信號和（縮放的）PA輸出信號，并使用誤差來驅動DPD函數參數的變化，以最小化下一次計算的誤差。間接學習是一個稍微復雜的數學過程，但似乎更容易實現。在這里，我們將預失真的輸入信號與后失真的PA輸出進行比較;我們使用相同的非線性預失真函數。Volterra 系列在數學上已經證明，在一定范圍內，前失真和后失真會產生相同的行為。同樣，我們使用誤差來驅動預失真函數參數的變化。這似乎更容易實現，因為DPD函數參數用于計算用于誤差（成本）函數的兩個信號，并且更新的參數是最小化例程的直接結果。

用于估計新的DPD函數系數集的自適應例程通常是最小二乘求解器。如前所述，由于用于 DPD 的非線性 Volterra 模型被設置為參數線性表達式，因此可以使用最小二乘法。通常使用最小均方 （LMS） 等最小二乘最小化例程，并采集數千個數據 （IQ） 樣本來求解這組過度確定的方程。LMS 例程通常非常穩定，但收斂速度可能很慢。已經證明了更激進的最小化技術，如遞歸最小二乘法（RLS）和仿射投影（AP）[19]，提供了更快的收斂，盡管它們更容易因輸入數據中的噪聲而產生不穩定。這可以在實施中克服。

圖3.DPD函數的示意圖表示：（a）是自適應控制，（b）是間接學習。

在MATLAB環境中演示DPD算法后，可以將DPD模型導入系統仿真器，并在更復雜的多仿真器環境中仿真PA的線性化。驗證系統性能后，可以使用 Xilinx 和 Altera 等 FPGA 制造商提供的開發軟件將 MATLAB 模型代碼直接下載到 FPGA 中。然后，數學模型可以在硬件中實時運行，并且可以快速解決任何實際實現錯誤。

混合信號模型和仿真

現在，我們只需要對將數字器件（預失真器）連接到射頻功率放大器的“膠水”電路進行建模和仿真。通常，系統規格中省略了這些電路和組件，線性化性能的驗證僅集中在PA和DPD模型上。但實際上，這些組件的作用不僅僅是膠水。如前所述，DPD觀測路徑是這種線性化發射機系統的關鍵組成部分，其性能會對發射機的整體運行和能力產生重大影響。

通過數據轉換器、調制器和解調器（調制/解調）以及射頻組件（如驅動器和低噪聲放大器）的合適模型，我們可以詳細仿真整個發射器的行為。我們可以使用仿真來研究這些組件的規格對線性化發射機整體性能的影響。例如，我們可以研究調制/解調電路中本振的相位噪聲性能對觀測路徑精度和動態范圍的影響，從而測試整個系統的線性化能力極限。我們為這些組件和電路選擇的模型將在很大程度上取決于我們希望仿真行為的復雜程度，以及損傷對線性化的重要性。

數據轉換器

數模轉換器 （DAC） 和模數轉換器 （ADC） 的模型范圍從簡單的輸入/輸出模型到功能行為的 Verilog 描述，再到接近（甚至超過）PA 非線性模型復雜性的復雜非線性模型。數據轉換器是非線性器件。在較高層次上，非線性可以建模為頻域中的諧波產生。更復雜的模型將使用多項式或 Volterra 方法。在發射器的系統級描述中，包括一個簡單的非線性和噪聲系數就足夠了，特別是對于觀察路徑中的ADC，以模擬和研究低失真信號功率對線性化能力的限制。

安捷倫的 SystemVue 和 AWR 的虛擬系統仿真器 （VSS） 等系統級仿真工具為許多商用數據轉換器提供了內置模型。雖然這對于驗證最終系統很有用，但使用這些工具中提供的更通用的數據轉換器模型，我們可以研究這些組件的一些更直接的局限性，例如數據位數、噪聲系數、時鐘頻率和頻率響應等。這些研究可以讓我們更好地了解這些因素的局限性或對整體系統性能的損害的性質。

IQ調制器/解調器電路

在我們的仿真中，我們可以使用理想的IQ調制和解調函數模型，或者模擬電路描述或宏模型，其中包括許多影響這些器件性能和性能限制的物理行為。我們主要關注的可能是這些對理想解調器行為的損害對觀測路徑性能的影響。這種損傷包括從本振（LO）注入噪聲，因此LO相位噪聲性能值得關注，以及解調器中I和Q路徑之間的串擾。

這些IQ解調器缺陷可以使用Cavers[20]描述的簡單分析電路模型進行建模，如圖4所示。理想解調器的輸出通常作為RF或系統級仿真器中的內置模型提供，通過兩個線性放大器饋送，從而可以對增益不平衡進行建模。相位不平衡 Φ 或 I 和 Q 路徑之間的正交相位差分別使用正弦 （Φ） 和余弦 （Φ） 中的串擾放大器和直插放大器進行建模。該分析模型的輸出允許將直流偏移包含在調制器的輸出中。這對于零中頻下變頻架構非常重要。

圖4.IQ解調器損傷的分析電路模型。

RF放大器和濾波器

發射路徑中的PA驅動放大器通常不會被驅動得太用力，因此它們的非線性行為比PA本身更受關注。這意味著我們可以為這些組件使用更簡單的行為模型，也可以使用組件供應商提供的用于射頻電路仿真器的非線性模型。但是，在使用這些模型之前，應檢查它們是否可以用于瞬態仿真，因為系統仿真將使用時間步長（瞬態）算法。驅動放大器的非線性產生的任何失真都將包含在PA的凈輸出中，并且實際上將由預失真器容納。在系統級仿真中，我們主要關注的是這些非線性能否得到充分的捕獲，并描述它們對發射機整體非線性行為的影響。如上所述，非線性行為的主要來源是PA本身。因此，正確描述PA的非線性動力學行為是最重要的。

觀察路徑中的低噪聲放大器（LNA）在確定預失真系統的噪聲水平或靈敏度方面起著重要作用。同樣，通常只需使用系統或RF仿真器中可用的系統級模型，并調整該組件的增益、噪聲系數和頻率響應，即可了解并最終控制這些性能規格對線性化系統整體性能的貢獻。

發射和觀察路徑還將包含濾波器和衰減器等無源元件，用于控制系統主要部件（PA驅動器和LNA）輸入端的頻率響應和信號電平。我們可以直接在系統模擬器中使用這些組件的 S 參數描述，前提是沒有太多的色散。S 參數模型將進行卷積以生成時域描述。

把它們放在一起

現在，我們在各種仿真工具中擁有一組模型，可以最佳地描述發射機系統的組件。然后，我們通常會求助于商業系統級仿真工具，例如安捷倫的 SystemVue 和 AWR VSS，以提供框架和一些模型，以將系統描述放在一起并管理仿真。我在這里使用了“管理”這個詞;它給人一種模擬如何進行的良好感覺。系統模擬器通常是一個時間步長模擬器，因此我們觀察數據逐步通過我們的系統進行。因為并非所有我們想要使用的模型都以這種方式工作，或者可能不會用系統模擬器的本地語言進行描述，所以提供了“協同仿真”。

圖5.Agilent SystemVue 軟件 DPD 示例項目的屏幕截圖，表明如何根據 PA AM-to-AM 特性構建存儲器多項式 DPD 算法。

通過協同仿真，我們的意思是主機系統仿真器將啟動并控制另一個仿真器引擎，例如MATLAB或ADS諧波平衡或電路包絡;它將執行 PA 模型或 DPD 算法的仿真，以獲取系統仿真中下一個時間步的適當數據。以這種方式描述，聽起來系統仿真需要花費大量時間。但事實并非如此。秘訣在于如何有效地管理協同仿真，以及如何在正確的時間傳輸相關數據。與電路仿真相比，系統仿真速度非常快，因為我們可以將主要的非線性“捆綁”到幾個組件中，而在具有多個晶體管的電路仿真中，包含多個非線性模型的仿真的收斂可能會變得很慢。這些其他模擬引擎在“后臺”運行，無需用戶進行任何顯式控制。

圖6.AWR VSS 的屏幕截圖顯示了如何使用 National Instruments Labview 工具將 PA 的 實時 測量 數據 導入 到 系統 仿真 中

如果我們沒有我們需要的模型怎么辦？這不是不進行系統仿真和驗證設計的正當借口。例如，我們可以將測量數據（例如從PA中）直接導入到系統仿真中，并了解整個系統將如何工作。如圖6所示，以NI LabVIEW工具和AWR VSS為例。這是檢查系統如何組合在一起的非常有用的方法;它允許對系統的不同部分進行更改，以適應真實的測量效果。如果您正在開發一個 DPD 系統，該系統應該足夠通用，可以與多個不同的目標 PA 一起使用，則可能會出現這種情況，通常情況就是這樣。PA的模型并不總是可用或準確的，協同仿真和表征提供了一條前進的道路。

結束語

在本教程中，我們只了解了如何使用來自不同來源的模型和測量來組合系統仿真。這些模型可以組合在一起，系統仿真器可以快速有效地管理模型在其原生環境中的協同仿真。我們已經描述了如何構建其中一些模型，并通過研究系統中關鍵組件對理想性能的損害，在系統級別用于研究如何設置規格。

附錄 A：記憶效應

“記憶效應”是用于描述信號歷史對其現值的影響的術語。換言之，過去時間實例的信號值對當前值有貢獻。對于電氣工程師來說，這種行為應該不足為奇：一個簡單的串聯 R-C 電路表現出記憶效應，因為電路中流動的電流取決于電容器上已經積聚了多少電荷。記憶效應是系統中能量儲存的結果。它們也是系統動力學行為的一種表現形式，對于線性系統，可以用時間導數或時間延遲表達式來描述。對于功率放大器等非線性系統，信號的歷史會影響輸出。PA中的動態效應可以在很寬的時間尺度上發生。

“短期”記憶效應大致以射頻載波速率發生。短期記憶的貢獻者包括放大器中與頻率相關的匹配網絡，以及晶體管本身的內部電容和電荷傳輸時間。如果這些電容也是非線性的，例如作為電源電壓的函數，那么記憶效應也是非線性的。

“長期”記憶效應的發生速度要慢得多，并且可以在一段時間內影響PA的行為。長期記憶效應的例子包括通過去耦電容和印刷線電感在PA的偏置和供電線路中存儲能量，以及由調制信號驅動下晶體管的加熱和冷卻引起的溫度變化;半導體的熱時間常數比調制頻率長得多。

附錄 B：Volterra 級數作為泰勒級數的發展

建立 Volterra 級數表達式的一種方法是開發非線性瞬時模型，該模型可以用泰勒級數展開來描述。我們以一個多項式模型為原型來描述一個非線性瞬時系統：

多項式系數 an從泰勒級數中發現的輸入輸出關系，圍繞某個操作點展開，u0:

現在，讓我們將輸出 y（t） 視為 u（t） 和 u 在之前某個時間的值的函數，而不是瞬時關系，從而描述記憶效應：

y（t） = ?（u， u1、u2， ...， un)

哪里

u = u（t）， u1= u（t -?τ1）、u2= u（t -?τ2), ...

對此的泰勒級數展開是：

這是一個多項式級數。（u 中的內存項1、T0）和所謂的Volterra交叉項（u - u0（u1、T0）可以很容易地在這個表達式中觀察到。

Volterra 級數可以被認為是具有記憶力的泰勒級數。這種級數所描述的非線性必須滿足一些“平滑度”標準，才能使級數收斂。這是另一種說法，即序列將函數的真實值近似到某個指定的容差范圍內，即截斷誤差變得小于該容差值。

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審核編輯：黃飛

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