精通信號處理設計小Tips（5）：三個應用廣泛的數學概念

　　本文作者maxfiner，畢業于西安電子科技大學，擁有信號與信息處理專業碩士學位。maxfiner曾供職于華為通信技術公司無線通信部門，擁有多年的工程項目研發經驗，同時兼備算法理論研究，仿真驗證，以及對應的硬件設計實現能力；具備通信物理層開發設計各個方面的實戰經驗...

　　從事信號處理相關工作，不可避免的用到一些數學知識。通常來說，用到啥，就回頭去看啥，或者說，缺啥補啥。有一些數學知識，是頻繁和反復用到的，因此有必要把它們匯總下。數學方面的東西，只看數學書籍的話，一般情況下，是相當乏味和枯燥的，但是和實際應用結合起來，就發現數學的魅力、力量和威力還是很強大的。和實際問題結合起來，數學也就變得有趣起來。在這里，暫時舉出三例，后續繼續豐富和完善。

　　一復數的概念

　　復數可以說是我們從小到大一路走來，最后學到的一種數了。從歷史的角度看，它也是最后引入的幾個數之一，直到最近幾百年才開始引入并推廣應用。它是為了解方程的方便而引入的，而且一開始還一直不被人們接受，這些人中包括很多大數學家。可見一個新的事物，一個新的概念，一種新的思想，要想被人接受是很困難的，很漫長的一件事情。但是，隨著時間的發展，由于它的獨特價值，最終被人接受并廣泛應用。復數除了解方程之外，在工程領域，最能體現復數應用價值的是兩個方向，一個是量子力學，一個就是電磁學。

　　復數的概念在電子工程，電磁場與電磁波等領域應用極為廣泛，在信號處理方向更是如此。不論是信號處理的基礎理論——傅里葉變換，還是信號的基帶表示和帶通表示，解析表示，不論是頻譜的分析，還是討論信號的時移和相位，都離不開復數這個有力的工具的支撐。

　　相關概念：

　　應用舉例簡述如下，在相關章節會分別進行更詳細的介紹。

　　BPSK，QPSK，16QAM等調制方式，信號星座可看做信號正交分量和同相分量的復數域的表示。

　　發射機的EVM測試，即根據星座點在復平面上的位置進行計算，計算的目標就是實際測得的星座點和參考星座點之間的距離，或者說就是復平面上兩個點的距離。

　　接收機存在某個頻率偏移時，星座圖上的星座點會以恒定速率旋轉，圍繞原點做勻速圓周運動，運動角速度和頻率偏移大小成正比。

　　電路的阻抗分析、諧振分析均以復數運算為基礎。

　　實信號的頻譜是共軛對稱的。頻譜的鏡像可用共軛成分來表示。

　　安捷倫和羅德施瓦茨都有矢量信號發生器，矢量信號分析儀，這些信號都是復數形式的信號。

　　信道估計算法，本質上可以看做是復數的除法運算。

　　發射機的正交上變頻，接收機的正交下變頻，本質上可以看做復數的乘法運算。

　　接收機頻偏的補償，本質上可以看做復數的乘法運算。

　　發射機鏈路和接收機鏈路上各個節點的功率的計算，為復數的模平方的計算，在信號功率監測，模擬自動增益控制（AAGC），數字自動增益控制（DAGC）等領域中有廣泛應用。

　　二信號的伸縮和平移

　　信號的伸縮和平移，尤其是平移，在信號處理的理論和實踐中有著廣泛的應用。信號時域的平移和頻域的相移之間的關系，是非常奇妙而又應用廣泛的一對關系。信號的伸縮和平移，從數學上來說，就是函數的伸縮和平移的應用，這是高中初等數學的范疇，應該是非常一般的，即使很久不用數學也不會忘記的一個概念和方法。但是因為它如此的重要，因此有必要單獨拿出來進行一個小小的總結，從而更好的利用這一有效工具去解決各種信號處理相關的問題。這一章節專門討論和總結平移。伸縮的討論等到真正用到它時（比如信號的插值和抽取）再進行相應描述。

　　信號的平移，最簡單的是記住四個字——“加左減右”。即移動量是正值，則整個信號波形向左移動，即向x坐標軸的負軸方向移動。移動量是負值，則整個信號波形向右移動，即向x坐標軸的正軸方向移動。雖然想象左右比想象上下的心理反應時間要慢些，但多多體會就會熟記于心的。

　　舉個例子，比如單位采樣信號為不妨想一下，和單位沖擊信號有何區別呢？），如下圖所示：