pid算法概述

過程控制中有兩個重要的算法PID反饋算法，卡爾曼狀態估計算法。PID主要用來過程控制，卡爾曼濾波主要用來狀態估計，比如預測運動軌跡之類的。這一篇我們主要分享PID算法。

什么是pid算法呢？PID分別表示比例P，積分I，微分D。比例。積分，微分，計算的都是誤差或者目前的值和期望的值之間的差異，變化率，均值等。該算法主要用于過程控制。

學過信號與系統或者自動化控制的應該都多多少少記得狀態方程，給一個系統加上輸入，然后得到輸出。輸出和輸入有明確的函數關系。y=f(x);這個函數的計算過程就是該系統的固有屬性。比如我們設計濾波器，根據運動規律得到一個彈簧滑塊的力學計算公式。給濾波器輸入會得到輸出，給彈簧滑塊彈簧一個力，彈簧滑塊會按照一定的規律運動。模擬濾波器的阻抗匹配電路連接規律決定了該濾波器的固有屬性。彈簧滑塊的質量，彈性系數，摩擦系數等決定了該力學系統的固有屬性。該固有屬性就是y=f(x);給一個輸入x會得到一個輸出y。可以看到拋開是具體的應用場景是信號還是力學系統，背后的數學模型是一樣的。

那么這個和PID有啥關系呢？要解釋這個我們先要解釋反饋。數學模型是理想的模型，但是實際的使用場景不會這么理想，我們設計的模擬濾波器，計算好了電阻，電容連接好了電路。但是電阻和電容都不是理想的器件，更何況外界包括電路本身還有電磁干擾。工廠生產的5歐姆的電阻不可能就沒有誤差就是5歐姆。隨著電路的使用發熱空氣濕度電阻的大小也會變化，同樣的電容也是。加上外界干擾情況就更加的復雜。同樣的力學系統，我們也是理想情況，1千克的滑塊，不可能就完全是1千克，彈簧的彈性系數隨著使用也不是嚴格確定的值，摩擦系數也不會沒有誤差。所以就需要引入反饋系統。

1，舉例解釋pid算法

結合具體的使用場景， 學習過模電的應該都多少有點印象，電路為了減少溫度漂移帶來的影響，引入了反饋，當輸入不夠或者過大的時候，通過反饋可以增加或減少輸入，作為補償。這樣的電路更加有穩定性 。

那么PID和反饋有什么關系呢？ 可以說PID算法就是一個基于反饋的算法 。通常用于過程控制。只不過PID通常的使用場景比剛才說的濾波器里面的反饋有一點不同，剛才的濾波器我們的阻抗匹配設計好了濾波器的參數，也就是y=f(x)這個理想的數學模型已經有了，反饋是為了提高系統的穩定性。

但是通常情況下PID使用的場景是一個不確定的系統。比如我們期望將一杯水加熱到60度，并且一直維持在60度。這個時候電熱絲加熱就是該水杯系統的輸入，輸出就是溫度值。但是希望這杯水的溫度就是一直維持在60度，不能高不能低(當然有一定的誤差)。這個水杯就是一個系統，我們給水杯加熱我們當然列不出來一個y=f(x)的一個狀態方程。或者很難列出來。所以這個時候水杯對我們來說就是一個黑盒子。

如下圖

pid算法

圖中r(t)就是我們的目標溫度60度，y(t)是傳感器的測量溫度，x(t)是電熱絲的功率，e(t)=r(t)-y(t)。也就是目標溫度和當前實際溫度的差。

右側的水杯加熱部分就是一個黑盒子，我們并不知道他的狀態方程y=f(x)；也就是水杯是我們需要控制的黑盒子

那么我們怎么做到水杯里面的水加熱到60度之后一直維持在一個很小的誤差范圍呢？我們肯定是通過不斷地調節電熱絲功率來實現的。當水的溫度低于60度了就加大功率，當溫度開始降低了，就降低功率。我們需要一個溫度計來不斷的測水的溫度，然后和我們的期望溫度60度做比較，進而決定控制電熱絲的功率。這不就是反饋嗎？

當溫度低于60度加大功率，當溫度高于60度降低功率。仔細思考一下這樣的控制對嗎？顯然不對，我們設想一下，剛開始一杯室溫下的水，溫度是25度，這個時候不到60度，還差32度，所以我們加大功率，但是很快水溫40度了，還差20度，我們還加大功率嗎？顯然不太合理。所以改進一下改為根據當前的水溫和目標60度的差值，來決定輸入的功率，設r(t)為我們的目標60度，y(t)是當前的測量溫度，那么r(t)-y(t)就是當前和目標的U差值，所以我們是不是可以讓功率受控于這個差值呢，x(t)=Kp(r(t)-y(t))+U常數，這樣隨著溫度的升高我們的我們輸入的功率x(t)會越來越小，直到一個常熟U，之所以有該常數是因為，我們不可能當溫度到達60度的時候，就關閉了電熱絲，因為水杯一直在在散熱。所以有一個這樣的常數，但是散熱功率不能明確的就是這個常數U，因為周圍哪怕來一股風，外界的環境是各種干擾的。所以就需要一會兒加大功率，一會兒減少功率。這個就是PID控制中的比例部分P。看起來似乎是可以控制，但是實際會發現溫度在60度上下變化誤差很大。

所以也就是這樣的控制不夠精細化，誤差變化范圍很大。如果溫度是50多度，外界的散熱環境也在實時變化，因為溫度不夠60度，所以肯定還是需要加熱的，那么接近60度的時候功率還是挺大的，這樣溫度很快就超過60度了，可能會到65度，盡管我們降低功率了，但是熱量的傳輸有一個過程，電阻絲還在加熱。那么再想一下，還可以考慮哪些因素呢？我們思考一下為什么溫度會很快超過60，然后我們才發現。然后才考慮降低，這樣的控制，這個很快就是一個關鍵字。很快意味著速度，也就是溫度上升的速度，這個是什么這個就是微分呀。所以我們可以從兩個角度考慮既要考慮比例，又要考慮微分。比如剛開始一秒鐘溫度升高3度，后面一秒鐘溫度增加4度，然后是一秒鐘增加2度。這個是溫度增加的速度。所以當溫度增加的速度快，快到達目標溫度60的時候，我們是不是可以提前減速，這樣后面超過了60度也不會超過很多。所以我們的輸入改為x(t)=Kp(r(t)-y(t)+Kdy(t)’+U

這樣我們的控制精確一些了，誤差減少了。是不是還可以減少誤差呢？有了比例和微分，這樣我們的溫度一直在60度上下波動。我們還可以考慮哪些因素呢？又是注意關鍵詞語波動，在上下波動，也就是均值接近60，均值和什么相關呢，當然是積分。

令e(t)=r(t)-y(t),則整個PID的控制算法的公式可以改變為

所以最終的控制量就是x(t)=Kpe(t)+Kde(t)‘+Kie(t)積分+U

2，PID參數則確定

分析了PID的原理，那么公式中的Kp，Ki，Kd的確定通常是很麻煩的。首先不同的系統這個參數肯定不一樣。所以這幾個參數的大小肯定是受到原本系統的固有屬性的影響的，以水加熱來說，首先水的多少，是冬天還是夏天，周圍空氣的流動，水杯自身的導熱程度等這些屬性一定是間接的影響到這幾個參數，正是因為系統的固有屬性不能確定所以我們無法或者很難數學建模列出來y=f(x)。所以我們才需要借助反饋。不斷地調整輸入，使輸出達到我們的期望。

通常的調節過程是先確定Kp的大概值，然后是Kd,再下來是Ki

以加熱為例，首先我們調節Kp，使溫度能快速的達到60度，但是肯定會過沖超過60度，為了能快速上升到60度，那么Kp就要調大一點，但是同樣帶來一個弊端就是溫度可能超過60度很高，比如到80度了，所以通常都會有指標參數，比如最高溫度不能超過多少度，達到60的時間是多少之類的。根據這個我們會選擇一個比較合適的Kp。這個時候溫度會在60度上下波動，但是誤差很大，收斂很慢。

接著我們調節Kd，因為Kd是對溫度上升速度的反應部分，結合Kd，能快速的降低誤差，Kd是對觀測量變化的體驗，所以通常一個系統如果觀測量變化很靈敏，很快，那么通常Kd就會很小。結合了Kp和Kd，這個時候系統的收斂速度能很快收斂，最高溫度也會降低。但是系統還是很長一段時間在60度上下波動。為了進一步控制，接下來就要調節Ki參數了

Ki就是對波動的反應。能讓觀測量溫度快速穩定在60度，同時誤差也會小。

三個參數的調節是獨立的，但是最后的輸出是一個總的，所以當Ki調節完了，反過來又要適當的調節Kp，Kd，最終達到一個比較好的效果。

3,PID三個調節分量的優缺點

Kp調節的是宏觀的，讓系統快速的達到期望目標，Kd是對速度的反饋調節，能讓系統快速的收斂，Ki是對考慮歷史數據，是一個均值的作用，能減少毛刺，讓系統基本穩定后的波動小一些。

但是凡是都有弊端，Kp過大，盡管能讓系統快速達到期望值，但是同樣的會過多的超過期望值。所以需要Kd對速度變化部分提供反饋控制

Kd對當前的速度做出反應，所以可以讓觀測值快速收斂，但是毛刺還是很多。

因為Ki部分求的是均值，會讓系統很快穩定，但是尤其是最開始的時候偏差很大，歷史的偏差會一直影響積分控制項，將這個殘差一直留著，所以通常可以在系統最開始的時候不適用Ki，當系統達到期望值之后，開始加入Ki部分，這樣能消除系統最早的最嚴重的偏差。得到更好的效果

我們還是以加熱絲給水杯加熱為例，我們在室內調好了PID的三個參數，然后我們拿到室外，或者開空調了，或者夏天調的參數在冬天使用，那么我們調的這幾個參數可能會因為外部環境的變化可能就很難達到很好的效果。調節的參數總是有一定適用范圍的，所以也是有方式自動調節PID參數的，做到PID參數的自適應的。

買來的一臺大疆無人機，在空氣流動不大，溫度適宜的地方可以起飛，然后如果狂風大作，總不可能說大風的時候不能用了，需要重新調節參數，肯定是有自適應調節的。飛機剛開始感受到變化，比如突然大風開始刮起來了，這個時候飛機會短暫的不穩定，然后快速的穩定。