摘　要：多普勒相位作為被測目標信息獲取的重要來源，其計算精度成為基于FPGA實現合成孔徑雷達實時回波模擬技術的關鍵要素。本文針對多普勒相位計算過程中存在的數值開方運算以及FPGA中專用開方器件的缺失性問題，在保證原始數據的仿真精度以及滿足大位寬數據的仿真需求基礎下，以Xilinx Virtex6 sx315t 為硬件平臺，使用兩種FPGA常用的近似方法——泰勒級數展開和CORDIC算法，對于多普勒相位的定點求解進行了程序設計與實現，并將仿真結果與MATLAB雙精度理論數據進行對比，驗證了精度的有效性。

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１　引言

合成孔徑雷達（Synthetic Aperture Radar ，簡稱SAR）作為一種高分辨微波成像雷達［１］，是地面信息獲取的重要手段，它在國土測量、軍事等領域發揮著重要作用。為確保所設計的SAR系統能夠滿足各個用戶的具體需求，原始數據仿真和成像處理以及圖像指標的評估已經成為SAR系統研制前的必需步驟。除此之外，在SAR實時成像系統研制以及地面處理的過程中，我們同樣需要大量的模擬回波數據［２］。因此，SAR回波模擬技術能夠為我們提供基本的研究手段和研究工具，它在SAR的發展和應用中，具有及其重要的作用。

作為雷達與目標相對運動的直觀反映，多普勒相位是SAR回波模擬的原理依據，同樣也是回波模擬精度的重要影響因素。在多普勒相位計算過程中存在數值開方運算，這使得其在FPGA（現場可編程門陣列）實現中存在兩種主要限制因素：其一，FPGA硬件中不存在專門的開方器件；導致了開方運算在FPGA實現中的復雜性。其二，為了保證原始數據的仿真精度及適應大斜距數據的仿真，導致SAR回波模擬對FPGA定點運算中的斜距動態范圍要求大［３］。

因此，本文針對SAR回波模擬中回波信號多普勒相位在FPGA實現中存在的限制，采用泰勒級數展開和CORDIC算法兩種常用方法對其進行實現與仿真。

２　SAR回波模擬信號中的多普勒相位

SAR的空間幾何關系如圖１，其中SAR飛行路徑的地面航跡方向稱為方位方向，與其垂直的方向稱為距離方向［４］。

圖１　SAR的空間幾何關系

SAR在運動過程中，以特定的脈沖重復周期
（Pulse Repetition Time，簡稱PRT）發射并接收脈沖串，雷達天線波束照射到地面以后，照射區域內的各個點目標（又被稱作散射元）對入射波進行后向散射。發射信號經過目標和天線方向圖的調制，成為攜帶目標信息和環境信息的SAR回波。

SAR的發射脈沖串一般為線性調頻（chirp）信號，設定SAR的發射脈沖串：

在本文中，要求斜距的近似誤差最大為1/8波長，由表格１可見，目標點到SAR平臺的斜距量級為106，動態范圍很大；由于FPGA內部沒有專用開方器件，使得多普勒相位運算過程復雜、速度低，在此使用泰勒級數展開與CORDIC算法。

３　基于泰勒級數展開的多普勒相位計算方法

泰勒級數是冪級數的一種，如果有了某一函數的冪級數展開式，則我們就可用它進行近似計算，即在展開式有效的區間范圍上，我們可按照已知精確度要求，利用這個冪級數展開式將該函數值近似地計算出來。

４　基于CORDIC算法的多普勒相位計算方法

由于Xilinx的CORDIC IP核對輸入輸出位寬的限制要求，對于斜距計算的通用方法來說，使其變得不可取。因此我們采用結合了IP核思想的CORDIC算法，CORDIC算法是一種數值型逼真計算方法，其FPGA實現模塊主要由各級寄存器、移位器、符號標志寄存器以及加法器組成，它在硬件電路實現上只用到了位移操作和加／減操作，這大大節約了FPGA資源。

圖２　泰勒級數展開設計框圖

假設SAR平臺與目標點的相對位置坐標為（ｘ，ｙ，z），經過兩次CORDIC 算法運算即可得出目標點到SAR平臺的斜距值：

為了更方便地說明CORDIC算法，我們在此只針對sqrt1的求解過程進行詳細的展開介紹。本文中，CORDIC IP核采用向量化模式，通過將任意方向的輸入向量旋轉一系列的預定角度最終達到與ｘ軸的對齊。故而此算法的最終結果即所有旋轉角度的累加值，以及輸入向量定標后的幅值（結果在ｘ分量中），同時ｙ分量的符號決定著下一次旋轉的方向。在此模式中角度累加器初值為零，整個迭代運算結束后，結果為最終旋轉角度［８］。于是以sqrt1為例，CORDIC算法中存在差分方程：

ｎ次旋轉后最終達到與ｘ軸的對齊，此時

圖３　CORDIC算法設計框圖

由上圖，輸入信號x0，y0通過一系列移位操作與加減法操作最終得到xn，即sqrt1，同樣可求出sqrt2即斜距值，最后斜距乘以波長系數４π／λ即可得到多普勒相位。

５　仿真驗證與性能分析

本文以Xilinx Virtex6sx315t為硬件平臺，對兩種多普勒相位計算方法進行了仿真驗證與性能分析。

泰勒級數展開與CORDIC算法的斜距誤差仿真結果如下圖４：

圖４　斜距誤差仿真結果圖（左為泰勒級數展開法，右為CORDIC算法）

圖５　多普勒相位對比圖（左為泰勒級數展開法，右為CORDIC算法）

圖６　脈沖壓縮仿真圖（左為泰勒級數展開法，右為CORDIC算法）

兩種方法的性能分析包括資源消耗，FPGA時序約束，以及斜距誤差對脈壓精度的影響。資源消耗如下：

由上表知，較泰勒級數展開法，CORDIC算法能夠節省更多的資源，甚至在乘法器資源上是泰勒級數展開法的四分之一。

在FPGA時序約束上，CORDIC算法最高能達到110MHz，泰勒級數展開法略高些：150MHz。

斜距誤差對脈壓精度的影響如下：

顯然，在脈壓精度上，兩種方法均能滿足精度要求，且泰勒級數展開法分辨率略高些。

６　結論

本文針對SAR回波模擬中回波信號多普勒相位在FPGA實現中存在的主要限制因素：FPGA硬件中不存在專門的開方器件；SAR回波模擬對FPGA定點運算中的斜距動態范圍要求大。采用了兩種常用的近似計算方法：泰勒級數展開以及CORDIC算法。并對其進行FPGA仿真與驗證，兩種方法不僅很好的解決了斜距開方運算，仿真結果同時證明了其精度有效性，并在FPGA資源消耗，時序約束，以及脈壓精度上作出了具體評估與比較，在SAR回波模擬中具有良好的應用前景。