本項目采用的光流算法是基于Horn-Schunck [5]的模型, 與Lucas- Kanade [2]光流算法相比，它算出的光流更稠密，能夠精確到每一個像素點；但是它因需要求解歐拉-拉格朗日方程需要成大量的迭代，因此計算光流的時間相當耗時，比如在Zedboard的單核ARM上處理640x480的圖片序列需要24.14s才能完成，這表明在傳統單架構的嵌入式平臺上很難滿足光流場實時計算的要求。

1. 基于Horn-Schunck模型的光流算法

1.1 光流的約束條件
光流 15wx鈮?ux, vx, ht)"> 的假設條件認為圖像序列,在時間t 15t"> 的某一像素點與在時間 15t+1"> t+1的這一像素點的偏移量 15(x+u,y+v)"> 保持不變，即 。這就是灰度值守恒假設，通過Taylor展開，就能得到光流的約束條件(OFC): ，其中下標表示圖像的梯度。

1.2 Horn-Schunck 模型
1981年，Horn和Schunck根據同一個運動物體的光流場具有連續、平滑的特點, 提出一個附加約束條件，將光流場的整體平滑約束轉換為一個變分的問題。它的能量方程如下：

其中數據項表示灰度值守恒約束，平滑項表示光流平滑約束。

1.3 Euler-Lagrange方程
根據Horn-Schunck能量方程，可以推導出離散的歐拉-拉格朗日方程如下：

?

其中， 表示圖像像素點的坐標， 表示一個像素點的上下左右四個方向的相鄰的像素點，當然，在圖像的邊界會少于四個元素。

1.4 超松弛迭代 （SOR）
根據上面的歐拉-拉格朗日方程，不難推到出迭代方程。這里選用收斂速度最快的超松弛算法（SOR），光流的初始值是，迭代方程如下：

?

其中， w是迭代的權重因子, k 是迭代的次數， 是光流的計算的權值， 表示第 個像素點的上和左的相鄰像素點，表示第 個像素點的下和右的相鄰像素點。

2 工作流程介紹

根據上面的理論分析，可以把光流法的計算劃分為四個階段：預處理階段（P1）、梯度計算階段（P2）、運動模型構造階段（P3）和迭代階段（P5），如圖2所示。

2.1 預處理階段（P1）
這一階段是平滑處理的圖像序列，它的作用是用來減少圖像噪音和外部的影響，通常用卷積來實現的。這一階段是一個通用的圖像操作。

2.2 梯度計算階段（P2）
這一階段是用來計算平滑好的圖像的梯度，包括水平梯度、垂直梯度和時間梯度。計算梯度通常也是通過卷積來實現的。

2.3 運動模型構造階段（P3）
這一階段是根據計算出來的梯度來構造運動模型的信息。根據超松弛公式可以推出需要構造五個運動模型的信息，即J11、J12、J13、J22、J23。它的操作就是矩陣乘法。

2.4 迭代階段（P4）
這一階段就是通過超松弛算法計算光流的結果，每一次迭代完了需要把光流的信息更新一遍，再作為初始值進行下一次迭代。這一階段的操作是根據迭代公式來實現的。

?

2.3 軟件的執行時間

軟件的實驗平臺是在Zedboard上ARM Cortex-A9處理器上來測試的，其中包括2個32KB 一級緩存和512KB的共享二級緩存，以及512MB的內存空間，采用的測試集下載自 。Horn-Schunck光流算法是通過ANSI C實現的。其中迭代的次數設為100次。

基于Horn-Schunck模型的稠密光流法在軟件上的執行時間如表1所示，不難發現，隨著圖像的不斷變大，所需要的執行時間不斷增大；其中迭代部分（P4）占到很大的時間比例。