概述

　　所謂信號處理是指對信號進行濾波、變換、分析、加工、提取特征參數等的過程。在電子儀器和測量中，最典型的是用頻譜分析儀對信號進行頻譜分析，從而了解和取得信號的頻率(或頻譜)特性。在現代計算機和相關的技術發展起來以前，這一過程只能用以硬線技術構成的傳統的頻譜分析儀實現。眾所周知，這種傳統的頻譜分析儀，無論在設計制造還是所采用的元器件方面，都要求較高的水平。尤其是頻率范圍寬、指標高的，設計制造的難度就更高，而其價格也非常昂貴。但是，自從計算機及隨之而興起的數字信號處理(即DSP〉技術日趨成熟和發展起來以后，解決信號頻譜分析的途徑，正在逐步由DSP所取代。

　　關于離散傅立葉變換和數字濾波

　　作為信號處理，和頻譜分析最直接相關的是傅立葉(Fourier)變換即FT。人們已經熟知，離散傅立葉變換(即DFT)和數字濾波是DSP的基本內容。目前，DFT已有許多實用有效的快速DFT算法即FFT算法和軟件，其性能主要決定于采樣(實際上還包括模/數轉換)率和CPU的運算速度。將任意信號(主要是反映客觀物理世界的各種變化量，而且多半是連續變化的模擬量)轉換為能夠由CPU處理的數字數據這一過程稱為“數字化”，它包括采樣和量化兩個步驟，量化即通常所說的模/數轉換。采樣的速率和被處理的信號有關。為了保證數字化后的信號數據不喪失原信號的特性，采樣頻率應大于或至少等于信號截止頻率的2倍。這就是著名的奈奎斯特(Nyquist)采樣定理，或稱奈奎斯特采樣率。奈奎斯特采樣定理是很容易證明的。至于CPU的運算速度，眾所周知，現在的微機已達數百甚至上千兆赫的水平。為了提高或實現主要是FFT等運算的高速化，美國得州儀器公司(IT)很早開始就一直致力于專用的DSP芯片的研制和生產。著名TMS320系列芯片已為科技界所熟知。據最近報道，新的TMS320C64x的運行速度己高達600MHz，其內核的8個功能單元能在每個周期同時執行4組16位MAC運算或8組8位MAC運算。單個C64xDSP芯片能同時完成一個信道的MPEG4視頻編碼、一個信道的MPEG4視頻解碼和一個MPEG2視頻解碼，并仍有50%的余量留給多通道語音和數據編碼、自然，還有其他一些廠商也研制生產了不少品種專用或通用的DSP芯片。

　　在上一個世紀中，電濾波器的發展經歷了從無源到有源和從模擬到數字兩個過程。高精度無源濾波器從設計到制造都是難度非常高的技術。有源濾波器雖然很大地改進了濾波器的性能，也降低了一些制造工藝的難度，但從其性能的大幅度改進，與其它信號處理技術的結合，實現的手段之便捷，還是要數數字濾波器后來居上。當然，這和EDA技術的發展也有關系。

　　數字濾波器是一種離散系統，其特性或傳遞函數由以Z-變換為基礎的差分方程描述。數字濾波器分兩大類，即IIR有限脈沖響應濾波器和FIR無限脈沖響應濾波器。前者又稱為“遞歸式”濾波器，后者又稱為“非遞歸式”濾波器。人們可以根據對信號處理的要求，確定描述系統的差分方程，再根據差分方程設計出濾波器。濾波器的實現也有兩種方式，一種為純軟件方式，即成為一個算法軟件或軟件包;另一種為硬件方式，即設計成具體的硬線電路，甚至制成專用或通用的芯片。關于數字濾波器的設計方法和成熟的軟硬件產品，都不難獲得。這里不再詳述。

　　信號的其它正交變換

　　已知，傅立葉變換或傅立葉分析隱含這樣的意義：

　　EP一個信號是由其FT所得頻譜上各分量所代表的正弦波合成的。在這個意義上，我們把表示這些正弦波一組正交的正弦函數稱為傅立葉變換的正交基函數(也可以用復函數的形式表示)。研究表明，不僅正弦函數可以作為正交變換的基函數，而是只要滿足正交完備的函數系，都可以作為基函數，對信號進行正交變換分解分析(正弦函數自然是正交完備的函數系)。因此，我們把這些變換籠統地稱為“正交變換”。實用中最使人感興趣的非正弦正交函數有雷德梅徹(Rademacher)函數、哈爾(Haar)函數和沃爾什(Wald)函數等。一段時期以來，用得最多的當屬沃爾什函數，它是由沃爾什在1923年完備化的雷德梅徹函數。沃爾什函數是一組矩形波，其取值為1和-1，非常便于計算機運算。沃爾什函數有三種排列或編號方式，即按列率排列或沃爾什排列、佩利(Paley)排列和阿達瑪(Hadamard)排列。這三種排列各有特點.而以阿達瑪排列最便于快速計算。采用阿達瑪排列的沃爾什函數進行的變換稱為沃爾什-阿達瑪變換，簡稱WHT或直稱阿達瑪變換。由于離散正交變換的運算常以矩陣乘法的方式完成，而沃爾什-阿達瑪函數組的矩陣形式只有1和-l兩種元素，同時這種阿達瑪短陣的規律性非常強，可以用簡單的算法產生，所以WHT的快速算法很容易實現?，F在，這種快速算法及其軟件已經有很成熟的商品。當然，在使用這種變換時我們必須記住，它所得出的譜是以短形波為基礎的。

　　另一種常用的正交變換是離散余弦變換DCT。已知，傅立葉變換的基函數是正弦函數，即其每一個分量是一個正弦波(或一個復向量)分量的次數決定該正弦波的頻率，而各個分量的相位則構成信號的相位譜。也就是說，一個信號的傅立葉譜包括兩部分，一是幅度特性，一是相位特性;或者作為復向量的實部余弦分量和作為虛部的正弦分量。換句話說，僅僅幅度特性譜并不能完整地代表該信號，而必須補克相位特性才是完整的。這當然既使表示和運算處理復雜化，又使表示信號的數據量加大。經過研究表明，如果將信號坐標的原點作適當的偏移，就可以使變換后的結果，只存在正弦波的正弦分量或余弦分量二者中的一個。這就是正弦變換或余弦變換。信號處理中的離散余弦變換DCT，就是將信號坐標的原點左移半個采樣間隔得到的。DCT具有很優良的信息特性.且有有效的快速算法，所以在制定MPEG標準時，將它定為圖像壓縮編碼的標準變換。

　　這一節的最后，順便提一下離散K-L(KarhunenLover)變換。KLT通常被稱為最佳變換，因為采用KLT的濾波器和信息壓縮編碼失真最小。但由于KLT的變換基函數是不定的，而且至今沒有快速算法，所以只在特殊需要的場合才使用。

　　關于小波分析

　　我們注意到上述所有這些變換或分析，其對象都是平穩信號甚或周期信號。以傅立葉分析來說，它的原始出發點是傅立葉級數，其數學定義表示，任一非正弦周期函數(信號)可以分解為元窮多個頻率為其基本頻率整倍數的正弦波(及一直流分量)之和。而對于傅立葉變換的積分，則是將其積分周期拓展至無窮形成的。實際上，頻率這一概念正是傅立葉在此工作中提出來的。而且這種把一個事物從一個“域”變換到另一個“域”，從而從新的角度或尺度對其進行分析或表示的這種分析方法，在科學史上具有劃時代意義的創造，正是傅立葉提出來的。但是，人們也早就發現，像傅立葉變換之類的變換或分析工具，只能用來處理確定性的平穩信號，對于突變的非平穩信號則不能完成滿意的分析;而且傅立葉分析得出的是信號的整體頻譜，卻不能獲得信號的局部特性。因此，在20世紀80年代出現了加窗傅立葉變換。加窗傅立葉變換是一種局域化的時-頻分析方法，即將傳統的傅立葉變換的時域(或空域)至頻域的映射分析用加窗的方式結合起來，對局部的時間段(或空間間隔)進行頻域分析，加窗傅立葉變換部分地解決了短時信號的分析問題。但它存在許多本質上的缺陷，如對短時高頻信號，固然可以用縮小窗口寬度和采樣間隔的辦法適應頻率的提高，但窗口太窄會降低頻率分辨率，而且對低頻分量也不適應。因此，這就導致人們對新的變換(分析)方法的探求。小波(Wavelet)分析就是在這一背景下出現并很快得到應用和發展的。