FPGA的偽隨機序列發生器設計

0? 引言

偽隨機序列現已廣泛應用于密碼學、擴頻通訊、導航、集成電路的可測性設計、現代戰爭中的電子對抗技術等許多重要領域。偽隨機序列的偽隨機性表現在預先的可確定性、可重復產生與處理。偽隨機序列雖然不是真正的隨機序列，但是當偽隨機序列周期足夠長時，它便具有隨機序列的良好統計特性。在已有的序列中，m序列的應用最為成熟和廣泛，為此，本文給出線性m序列和基于m序列的非線性m子序列的FPGA實現方法。由于FPGA的內部邏輯功能是通過向內部靜態存儲器單元加載配置數據來實現的，其配置文件決定了邏輯單元的邏輯功能以及模塊間或與I／O間的連接，故可最終決定FPGA實現的功能。FPGA的這種結構允許多次編程，并享有快速有效地對新設計進行優化的靈活性，為此，本文選用了altera的cvclone系列FPGA芯片EPlC12-240PQFP，該芯片內部有12060個邏輯單元、239616 bit RAM、兩個鎖相環(PLL)。本文應用移位寄存器理論來產生序列，其算法的關鍵是找到線性m序列和非線性m子序列移位寄存器的反饋邏輯式。

1 m序列的實現

1.1 基于FPGA的m序列實現

利用反饋移位寄存器產生0、1序列時，其n位反饋移位寄存器的邏輯功能如圖1所示。



圖中，x_i蕾表示寄存器所處的狀態，通常用0和1來代表兩個可能的狀態，并且把0和1看成是有限域GF(2)的兩個元素。f(x₀，x₁，…，x_n-1)刻劃了移位寄存器反饋邏輯的功能，它可以看成一個定義在GF(2)上并且在GF(2)中取值的n元函數，當f(x₀，x₁…，x_n-1)可以表示成一線性齊次函數時。即，相應的反饋移位寄存器是線性的，而由線性移位寄存器產生的序列就稱為線性移位寄存器序列。m序列就是線性移位寄存器序列。

對于一個n級m序列移位寄存器來說。它在每一時刻的內部狀態都可以看做有限域GF(2)上的一個n維向量，而反饋函數就是刻劃了從每一時刻的狀態到下一時刻狀態的轉移規律，或者說反饋函數定義了n維向量空間上的一個線性變換。

通常可以用V_n(F)代表域GF(2)上全體n元數組構成的n維向量空間，a=(a₀a₁a₂…a_n-1…)代表n級移位寄存器產生的m序列。n級m序列移位寄存器的狀態可以看做V_n(F)中的向量。設f(λ)=λⁿ+c_n-1λ^n-1+…+c₀是多項式環F[λ]中的一次n多項式，那么，對于G(f)中的線性移位寄存器序列，從狀態(a_ka_k+1a_k+n-1)到下一個狀態(a_k+1a_k+2…a_k+n)的轉移就可以看成是Vn(F)的一個線性變換。由于a_k+n=a_n-1a_k+n-1+c_n-2a_k+n-2+…+c₀a_k，于是，狀態轉移變換用矩陣寫出來就是：



稱為線性移位寄存器的狀態轉移矩陣，顯然，狀態轉移矩陣T和初始狀態完全刻畫了線性移位寄存器所產生的序列。它在此建立起了反饋函數，即，和狀態轉移矩陣T之間的對應關系。

設F(λ)=λⁿ+c_n-1λ^n-1+…+c₀是線性遞推序列的極小多項式，那么，一個周期序列的周期就等于它的極小多項式的周期，因此，一個n級m序列的極小多項式f(λ)的周期就是2ⁿ-1。在代數中，這樣的多項式稱為n次本原多項式。由于矩陣T是有理塊，它的特征多項式∣ΛI-T∣=f(λ)就是它的極小多項式。找到了m序列本原多項式與狀態轉移矩陣T之間的關系，就可進一步獲得m序列本原多項式與反饋函數，即=之間的關系，這樣就可以直接從m序列本原多項式出發，在FPGA中實現m序列移位寄存器結構并產生m序列。




圖2所示是該序列在QuartusⅡ開發平臺中的仿真波形。



仿真時，1個CLK周期設置10ns，外加復位信號RD所占用的時間，周期為29-1的m序列仿真時間需要5.16 μs。所產生的序列如下：



其中，斜體0、1代碼表示序列又一周期的開始，周而復始。

1.2 序列偽隨機性分析


根據SEL[0．．2]端子可選擇不同周期的序列，m序列發生器中R序列周期可選2⁶-1，2⁹-1，2¹⁵-1，2²⁸-1，2³⁶-1；m子序列發生器中的序列周期可選2⁵-1，2⁶-1，2⁷-1，2⁸-1，2⁹-1。若N_L_SEL端子取1，則選擇非線性偽隨機序列發生器，SEL[0．．2]端子取101，則選擇周期是2⁹-1的m子序列。圖4所示是序列發生器模塊的仿真波形圖。

比較周期是2⁹-1的某一m子序列與同一周期的m序列可知，其兩者具有相同的周期、平衡性、相近的自相關性以及不同的局部游程和不同的線性復雜度。QUARTUS中的仿真報告表明，L_prsg模塊將耗費96個Logic Elements，NL_prsg模塊則耗費35個Logic Elements。

3? 結束語

偽隨機序列在通信、密碼學、雷達、導航、芯片內建自測試方面具有廣泛的應用，本文給出了線性m序列和基于m序列的m子序列的FPGA實現方法。本方法應用移位寄存器理論，從m序列的本原多項式出發，其算法核心是找到m序列本原多項式與線性m序列和m子序列移位寄存器反饋邏輯式之間的關系，然后采用VHDL語言編程，并借助Quart usⅡ開發平臺實現序列。

文中通過對偽隨機性分析表明：其所產生的序列符合m序列的統計特性，m子序列也具有優良的偽隨機特性，從而驗證了該算法的正確性。