基于雜波協方差矩陣特征向量分析STAP降維方法

本文在對雜波協方差矩陣的特征值、陣特征向量做出分析的基礎上，討論了無信噪比損失的降維的充要條件，并給出了一種滿足該條件的降維變換陣的構造方法.最后基于一組Mountaintop數據對文中提出的算法作出了驗證.
　　關鍵詞:機載雷達；時空二維自適應信號處理；雜波抑制

Rank-Reduced STAP Based on Eigen-Decomposition of the Covariance Matrix

LUO Yi,LIU Guo-sui,SU Wei-min
(Institute of Photo and Electronics,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

　　Abstract:The selection of the transform matrix has an effect on the output signal to interference plus noise ratio.It can achieve its upper bound when transform matrix is selected in a special form.So,a new kind of rank-reduced STAP is proposed.When covariance matrix is known,it is the same as the full dimension optimal STAP.When covariance matrix is unknown,it also has a good appearance.
　　Key words:AEW radar;STAP;interference suppression

一、引　　言
　　七十年代初Reed、Mallett和Brennan提出了時空二維自適應信號處理中的樣本協方差矩陣求逆算法(SMI)［1］，并對該方法的性能做了理論分析.受實際條件限制，上述算法不可能直接用于相干脈沖處理間隔(CPI)內的全維時空快拍，對實際應用更有意義的是降維STAP算法.目前較為常用的降維措施無外乎兩類.第一類是以R.Klemm提出的輔助通道法［2］，保錚教授等人提出的mDT-SAP［3］，和Hong.W提出的JDL-STAP［4］為典型，在雜波譜圖上直接選出時空波束(一般為二維可分離付氏基)進行降維的方法.這類方法直觀且較為可靠.第二類方法是基于雜波協方差矩陣特征值的大小選取相應的降維波束.這兩種降維措施在實際應用中往往是脫節的.

二、信號模型與最優自適應權
　　設一均勻線陣有L陣元，其在某一被檢測距離環上得到的時空快拍為X=(XT1，XT2，…，XTL)T，其中Xi=(X1i,X2i,…,XMi)T，i=1,2,…,L是第i陣元上接收到的M個脈沖構成的向量，上標‘T’表示矩陣或向量的轉置.X可以分為以下兩部分X=S+N.其中S是目標，N是由地(海)雜波、接收機噪聲及有源干擾構成的.此時雜波協方差矩陣R=COV(N,N),考慮到接收機噪聲的存在性，可以認為雜波協方差矩陣R是正定的.在輸出信雜噪比最大的準則下，最優權Wopt=kR-1S,最優輸出信雜噪比SINRopt=SHR-1S，k為一常數.雜波協方差矩陣還可以表示為R=UΛUH,U=(U1,U2,…,ULM),Λ=diag(λ1,λ2,…,λLM)，其中U1,U2,…,ULM是R的標準化特征向量，λ1,λ2,…,λLM是相應的特征根.此時，最優權及最優輸出信雜噪比可分別表示為

　(1)

其中，上標‘H’表示矩陣或向量的共軛轉置.把U1，U2，…，ULM看做是彼此正交的信號通道，則λ1,λ2,…，λLM是各通道中噪聲功率，而SINRopt是各通道中信雜噪比之和.

三、基于雜波協方差矩陣特征分解的降維STAP
　　設B是一個LM×K的列滿秩降維變換矩陣，Z=BHX，變換后雜波協方差矩陣為RD=E(ZZH)=BHRB.當降維變換后的權W=k(BHRB)-1BHS(其中k為常數)，Z中相應的最大輸出信雜噪比為SHB(BHRB)-1BHS.現在有這樣幾個問題：1.SHB(BHRB)-1BHS與SHR-1S誰大誰小?2.它們兩者可否相等?3.在什么條件下它們兩者相等?
　　對于確定的K,B，易證RD=BHRB是K×K正定Hermitian陣.設γi、Vi，i=1,2,…，K是RD的特征根及相應的歸一化的特征向量.則RD=BHRB=VΓVH，其中Γ=diag(γ1，γ2，…,γK),V(V1,V2,…，VK).
　　進一步，RD=VΓVH=BHRB=BHUΛ1/2Λ1/2UHB.從而有Γ-1/2VHBHUΛ1/2Λ1/2UHBVΓ-1/2=IK×K.令Δ=Γ-1/2VHBHUΛ1/2,則ΔΔH=IK×K.此時SHB(BHRB)-1BHS=SHBVΓ-1/2Γ-1/2VHBHS=SHUΛ-1/2ΔHΔΛ-1/2UHS.
值得注意的是Λ-1/2UHS=(λ-1/21UH1S，λ-1/22UH2S，…，λ-1/2LMUHLMS)T.則
SHB(BHRB)-1BHS=(λ-1/21SHU1,λ-1/22SHU2,…，λ-1/2LMSHULM)ΔHΔ(λ-1/21UH1S,λ-1/22UH2S,…,λ-1/2LMUHLMS)T　(2)
由于ΔHΔΔHΔ=ΔHΔ，可見ΔHΔ是冪等的.因而，當且僅當Λ-1/2UHS屬于ΔHΔ的象空間，即Λ-1/2UHS∈Im(ΔHΔ)時

SHB(BHRB)-1BHS=SHR-1S=∑LMi=1λ-1i|UHiS|2　(3)

反之，SHB(BHRB)-1BHS＜SHR-1S.
上式表達的是這樣一個事實，對于任意的線性降維變換，降維后所能得到的最大信雜噪比不大于SINRopt.下面給出一種使Λ-1/2UHS∈Im(ΔHΔ)的降維變換矩陣B的選取方法
定理：設|SHU1|2,|SHU2|2,|SHUK-1|2,…,∑LMi=Kλ-1i|UHiS|2＞0.對任意的正數K(1KLM)，當

　(4)

時，V=Λ-1/2UHS∈Im(ΔHΔ).其中O1是(K-1)×1零矩陣，O2是(LM-K+1)×(K-1)零矩陣，

D1=diag(λ-11UH1S,λ-12UH2S,…，λ-1K-1UHK-1S),
D2=(λ-1KUHKS,λ-1K+1UHK+1S,…，λ-1LMUHLMS)T　(5)

證明：v∈Im(ΔHΔ)當且僅當　(B(BHRB)-1BH-R-1)S=O.　(6)
事實上，如果(B(BHRB)-1BH-R-1)S=O，則SHB(BHRB)-1BHS=SHR-1S.若v∈Im(ΔHΔ)，則ΔHΔv=v.于是
UΛ-1/2ΔHΔΛ-1/2UHS=UΛ-1/2Λ-1/2UHS，既(B(BHRB)-1BH-R-1)S=O.由于

　(7)

其中Λ1=diag(λ1，λ2，…,λK-1)，Λ2=diag(λK,λK+1,…,λLM),則

　(8)

其中(P1,P2)T=UHS,且P1=(UH1S,…,UHK-1S)T,P2=(UHKS,…,UHLMS)T.由于D2=Λ-12P2，則

　(9)

注釋：從證明的過程中可以看出，降維變換矩陣B具有更為一般的形式.設
∑m1i=1λ-1i|UHiS|2＞0,∑m2i=m1+1λ-1i|UHiS|2＞0,…,∑LMi=mK-1+1λ-1i|UHiS|2＞0,B=U(diag(D1,D2,…,DK))，
其中
D1=(λ-11UH1S,λ-12UH2S,…，λ-1mUHmS)T，
D2=(λ-1m1+1UHm1+1S,λ-1m1+2UHm1+2S,…,λ-1m2UHm2S)T，…，
DK=(λ-1mK-1+1UHmK-1+1S,λ-1mK-1+2UHmK-1+2S,…,λ-1LMUHLMS)T，　(10)
則v∈Im(ΔHΔ).
　　從降維變換矩陣B的構造可以看出，B是根據各Ui(i=1,2,…,LM)通道中信雜噪比的大小對Ui做線性組合后得到的，其降維變換本身就是雜波抑制的過程.
　　再者，降維后的系統自由度K可取1到LM之間任意的整數.當K=1時，B=Wopt.

四、雜波協方差矩陣未知時降維自適應雜波抑制
　　設X是被檢測距離門上的時空快拍(基本數據)，X1,X2,…,Xm是與被檢測距離門相鄰的若干個距離門上的時空快拍(二次數據)，則=(1/m)∑mi=1XiXHi是雜波協方差矩陣的極大似然估計，k-1S是全維SMI最優權的估計.為達到實時處理，可采用以下兩種降維STAP算法.
　　(1)先利用雜波模型，根據雷達天線的發射方向圖、主波束方位角及載機速度等參數計算出理想雜波協方差矩陣R′.再對R′做特征分解，并把結果帶入式(4)得到降維變換矩陣B.將B作用于基本數據、二次數據，并在此基礎上做自適應處理.
　　(2)設Z1，Z2，…,ZQ為雷達掃描在同一方位上前數個CPI中與被檢測距離門相鄰的若干個距離門上的時空快拍(在此稱為輔助數據).一定條件下可假設，Z1，Z2，…,ZQ與X1，X2，…,Xm相互獨立，且Zi、Xj具有相同的分布.設1=(1/Q)∑Qi=1ZiZHi,則1也是雜波協方差矩陣的極大似然估計.對1做特征分解，并把結果帶入式(4)得到降維變化矩陣B.將B作用于基本數據、二次數據，并在此基礎上做自適應處理.
　　構造上述兩種降維變換矩陣B的關鍵是通過一定的先驗知識獲取對雜波協方差矩陣的估計.盡管仍需做全維的雜波協方差矩陣特征分解，但是這樣做可爭取到實時處理中的處理時間.分析表明，如以代替1做上述第(2)種降維自適應處理，其不僅在運算量上與全維SMI的相當，它們在性能上也是一致的［5］.

五、實測數據中的驗證
　　下面以Mountaintop data t38pre01v1為例驗證上述算法.Mountaintop實驗中，天線是由14列陣元構成的等效均勻線陣.波束寬度為26°(半功率點).每個CPI有16個脈沖.等效平臺運動速度為94m/s.載波波長為0.6897m，在152公里(約在140號距離門前后)處有一目標.本文以十四個陣元的Chebyshev加權線陣做發射陣計算理想雜波協方差矩陣.降維過程中取K=30.
　　圖1中所示為對403個距離門做全維自適應匹配濾波得到的信噪比輸出(-30dB對角加載).圖2中所示為對403個距離門做降維自適應匹配濾波得到的信噪比輸出.計算中還發現前一算法對對角加載很敏感，而后者對對角加載不敏感.也就是說后者的降維波束很穩定.