在之前的格物匯文章中，我們介紹了特征抽取的經典算法——主成分分析（PCA），了解了PCA算法實質上是進行了一次坐標軸旋轉，盡可能讓數據映射在新坐標軸方向上的方差盡可能大，并且讓原數據與新映射的數據在距離的變化上盡可能小。方差較大的方向代表數據含有的信息量較大，建議保留。方差較小的方向代表數據含有的信息量較少，建議舍棄。今天我們就來看一下PCA的具體應用案例和特征映射的另一種方法：線性判別分析（LDA）。

PCA案例

在機器學習中，所使用的數據往往維數很大，我們需要使用降維的方法來突顯信息含量較大的數據，PCA就是一個很好的降維方法。下面我們來看一個具體的應用案例，為了簡單起見，我們使用一個較小的數據集來展示：

顯而易見，我們數據有6維，維數雖然不是很多但不一定代表數據不可以降維。我們使用sklearn中的PCA算法擬合數據集得到如下的結果：

我們可以看到經過PCA降維后依然生成了新的6個維度，但是數據映射在每一個維度上的方差大小不一樣。我們會對每一個維度上的方差進行歸一化，每一個維度上的方差量我們稱為可解釋的方差量（Explained Variance）。由圖可知，每一個維度上可解釋方差占比為：0.4430，0.2638，0.1231，0.1012，0.0485，0.0204。根據經驗來說我們期望可解釋的方差量累計值在80%以上較好，因此我們可以選擇降維降到3維（82.99%）或者4維（93.11%），括號中的數字為累計可解釋的方差量，最后兩維方差解釋只有7%不到，建議舍去。圖中的柱狀圖表示原維度在新坐標軸上的映射向量大小。在前兩維度上表現如下圖所示：

PCA雖然能實現很好的降維效果，但是它卻是一種無監督的方法。實際上我們更加希望對于有類別標簽的數據（有監督），也能實現降維，并且降維后能更好的區分每一個類。此時，特征抽取的另一種經典算法——線性判別分析（LDA）就閃亮登場了。

LDA簡介

LDA是一種監督學習的降維技術，也就是說它的數據集的每個樣本是有類別輸出的。這點和PCA不同。PCA是不考慮樣本類別輸出的無監督降維技術。LDA的思想可以用一句話概括，就是“投影后類內方差最小，類間方差最大”。什么意思呢？ 我們要將數據在低維度上進行投影，投影后希望每一種類別數據的投影點盡可能的接近，而不同類別的數據的類別中心之間的距離盡可能的大。

上圖中提供了兩種投影方式，哪一種能更好的滿足我們的標準呢？從直觀上可以看出，右圖要比左圖的投影效果好，因為右圖的黑色數據和藍色數據各個較為集中，且類別之間的距離明顯。左圖則在邊界處數據混雜。LDA的降維效果更像右圖，它能在新坐標軸上優先區分出兩個類別，它是如何實現的呢？

LDA的原理

LDA的主要思想是“投影后類內方差最小，類間方差最大”。實質上就是很好的區分出兩個類的分布。我們知道衡量數據分布的兩個重要指標是均值和方差，對于每一個類，他們的定義如下：

與PCA一樣，LDA也是對數據的坐標軸進行一次旋轉，假設旋轉的轉移矩陣是w，那么新的旋轉數據可以表示為：

同理，兩個類別的中心點也轉換成了:

我們求解這個最優化問題，即可求出轉移變換矩陣w,即LDA的最終結果。

PCA vs LDA

LDA用于降維，和PCA有很多相同，也有很多不同的地方，因此值得好好的比較一下兩者的降維異同點。首先我們看看相同點：

1、兩者均可以對數據進行降維

2、兩者在降維時均使用了矩陣特征分解的思想

3、兩者都假設數據符合高斯分布

我們接著看看不同點：

1、LDA是有監督的降維方法，而PCA是無監督的降維方法

2、LDA降維最多降到類別數k-1的維數，而PCA沒有這個限制

3、LDA除了可以用于降維，還可以用于分類

4、LDA選擇分類性能最好的投影方向，而PCA選擇樣本點投影具有最大方差的方向

在某些數據分布下LDA比PCA降維較優(左圖)，在某些數據分布下，PCA比LDA降維較優。

好了，以上就是本期格物匯的內容，我們下期見。

本文作者：格創東智 OT團隊（轉載請注明作者及來源）