電感和電容在 Buck 轉換器中構成低通濾波器，此 LC 濾波器的轉折頻率總是設計得較低以便濾除開關紋波。常用的設計規則是，電感電流紋波被設計成電感平均電流的 30% 左右。本文引入表達電感紋波電流和其平均電流的比值的紋波系數的概念并由它導出電感尺寸的表達式。通過利用面積積的概念和方法來設計電感，可以獲得一個優化的紋波系數范圍，這對進行轉換器設計時選擇合適的電感具有很大的幫助。

1. 介紹

Buck 轉換器被廣泛應用于大量的降壓應用中，板上負載點轉換器是這種應用的典型例子。從原理上看，它就是用一個功率開關和一個自動運行的續流二極管構成一個斬波電路將輸入電壓變成一個矩形波，再通過一個低通 LC 濾波器濾除高頻開關紋波和噪聲以后生成一個基本上是純粹直流電壓供給負載使用的電路。圖1 顯示了典型的Buck 電路和他的開關波形。

圖1. (a) 典型的 Buck 電路 (b) 開關波形

當功率開關 Q1 導通時，續流二極管反向偏置，輸入電流直接通過 LC 濾波器流向負載；當 Q1 關閉時，電感電流 iL 強制 D1 正向偏置導通。開關電壓波形如圖1所示為矩形脈沖。經過 LC 濾波以后，假設 LC 濾波器的轉折頻率遠低于開關工作頻率，輸出電壓基本上是純粹的直流狀態。

從濾波器理論很容易理解到，增加電感、減小電容可以導致同樣的輸出紋波效果，但是大電感會導致大體積和高成本的結果，反之，使用小電感則要求使用大電容，這并不是一個純粹的設計取舍問題。

為了探討此問題，讓我們從穩態下的電感電流開始思考。

當功率開關導通 (ON) 時，加在電感上的電壓是輸入電壓和輸出電壓之間的電壓差：

電感電流將從 iL(0) 開始線性增加：

當功率開關截至 (OFF) 時，加在電感上的電壓與輸出電壓相同，但極性相反：

在此期間，電感電流將以斜率從 iL(Ton) 開始線性減少：

根據電感伏秒平衡的特性，很容易從式 (1) 和 (3) 得到電壓傳輸比：

這也就是占空比。與圖1(b) 進行比較，LC 濾波器工作起來就像一個平均函數，而占空比 D 就定義為開關管的導通時間和一個開關周期的比。

2. 紋波系數
圖2 所示為電感電流波形。因為電感所受電壓是矩形脈沖波，所以電感電流是包含一個支流分量的三角波。

圖2. 電感電流波形電感紋波電流值被定義為

很明顯，負載電流可表達為

紋波系數可被定義為

當紋波系數小于2時，轉換器工作在連續導通模式 (Continous Conduction Mode, CCM)，否則就是非連續導通模式 (Discontinuous Conduction Mode, DCM)。由于連續導通模式下功率元件所受電流應力較低，工作在滿載狀態下的 Buck 轉換器一般都被設計成工作在這種模式下。因此，本文也只對連續導通模式進行討論。

等式(8)可以被表現為電壓相關的形式：

對于一個固定的電感量而言，輸入電壓越高，紋波系數就越高。當輸入電壓固定時，電感量越小，紋波系數就越高。紋波系數越高，意味著流過電容的紋波電流越大，對于相同的紋波電壓需求來說，就需要更大的電容量。

3. 電感的面積積
從前面的描述中我們已經知道，開關導通期間電感儲存能量，開關截至期間電感釋放能量。從原理上講，負載電流會流過電感，所以足夠的線圈空間是必須的。假如設計了較低的紋波系數（或是較高的電感量），較多的線圈匝數就是必須的，這將導致更大的電感尺寸。我們要在這里引入一個面積積 (Area Product, AP) 的概念來表征電感尺寸，它是磁芯的有效橫截面積和線圈窗口面積的乘積，其單位是 m4 而不是表達體積的 m3，但面積積是和磁芯的體積成正比的。

根據法拉第定律電感量 (L)、峰值電流 (ipk) 個磁芯之間的關系可以表達為

其中，ipk = io + 1/2 ΔiL，N 是線圈匝數，Bm 是磁芯的最大磁通密度，AC 是磁芯的有效橫截面積對于線圈，有下列等式成立

其中，AWT 線圈導體的橫截面積，J 導體中的電流密度，kW 是磁芯的填充系數，Wa 是線圈窗口面積。結合 (10) 和 (11) 式，我們可以得到

電感的電流有效值可用它的直流分量和交流分量來表達：

等式 (12) 可被重寫為

圖3 顯示了磁芯在不同占空比下的歸一化尺寸和紋波系數之間的關系。

圖3. 不同占空比下紋波系數和電感尺寸之間的關系

當紋波系數很低時，磁芯尺寸顯著地增加；當紋波系數較高時，磁芯尺寸幾乎沒有什么變化。這意味著在曲線拐彎的區域存在一個最優化的地帶。從原則上講，高紋波系數意味著濾波電容也要大，反之亦然。舉例言之，當D= 0.3 時，紋波系數可以設定在 0.2~0.4 之間，這樣可以得到比較合適的磁芯尺寸和電容尺寸。

4. 一個設計示例
一個開關工作頻率為 300kHz 的 Buck 轉換器要在下列條件下工作：
Vin = 4 ~ 12V, Vout = 1.8V, Io = 6A, ΔVo = 10mV （輸出電容上的紋波電壓）。設計中假設功率開關和續流二極管都是理想的，表1 顯示了用傳統方法按照 30% 紋波系數計算出的電感量，而按照本文提案的面積積方法得出的經過優化的計算結果在表2 中列出。

表1. 傳統方法 30% 紋波系數計算結果

表2. 優化后方法計算結果

在表1中，傳統的計算方法設定了相同的紋波電流值，因而輸入電壓較高時電感值就較大；而在表2中應用的是面積積的計算方法，不同輸入電壓下的電感量基本上是相同的，但輸入電壓較高時紋波電流也較大。在實際的高頻設計實踐中，常常采用 POCAP 或 MLCC 作為輸出電容，它們都具有極低的串聯等效電阻，因此要得到紋波電壓指標是很容易的。

5. 總結
本文提出了一種 Buck 轉換器設計中電感尺寸和紋波電流之間關系的理論分析方法，利用面積積方法可在不同輸入電壓下得到優化的紋波系數范圍，可作為 Buck 轉換器設計中優化電感設計的指南予以利用。