Power system short-term load forecast by Kalman filter

Li Ming-gan, Sun Jian-li, Liu Pei

(Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074, China)

　　Abstract: Kalman filter algorithm is introduced in this paper firstly, and a set of formula is presented. Then Kalman filter model is used in short-term load forecast. And the model is revised by a approach aims at the specialty of load forecast. Application of these algorithms gains preferably results.
　　Key words: Kalman filter; power load forecast; forecast model

0 前言
　　短期負荷預測是電力系統運行調度中一項非常重要的內容，它是電網安全經濟運行的前提，也是調度安排開停機計劃的基礎，對電網調度自動控制非常重要，其預測精度直接影響電力系統的經濟效益。隨著電力改革的深化，電力市場的進一步開放，高質量的短期負荷預測愈顯得重要和迫切。
　　負荷預測的方法較多，傳統的方法有回歸分析法[1]和最小二乘法[2]等，這些方法算法比較簡單，技術成熟，但因其模型過于簡單，難以將電力系統運行過程中負荷變化的新的信息反映到模型中去，因而預測精度不盡如人意。近年來人們不斷致力于將新的理論與方法應用于負荷預測，并取得了很大進展，提出了混沌模型方法[3]、神經網絡（RBF）[4]、模糊神經網絡方法[5]、專家系統方法[6]等。這些方法取得了比傳統方法更好的預測結果。
　　卡爾曼濾波（KF）是Kalman于1960年提出的，是采用狀態方程和觀測方程組成的線性隨機系統的狀態空間模型來描述濾波器，并利用狀態方程的遞推性，按線性無偏最小均方差估計準則，采用遞推算法對濾波器的狀態變量做最佳估計，從而求得慮掉噪聲的有用信號的最佳估計。卡爾曼濾波理論不僅有濾波器模型，它還有預報器模型[7]，通過對模型參數的估計，實現對觀測序列的預報，因此卡爾曼濾波適合于短期負荷預測。
　　將卡爾曼濾波用于短期負荷預測在國外已有研究，M.Huelsemann, M.D. Seiser等人1998就對用卡爾曼濾波和自相關進行負荷預測進行了探討[8]，提出了用卡爾曼濾波進行負荷預測的思路，取得了理論上的突破。隨后，Ngan, H.W. 等人也對此方法進行了探討[9]，并取得了一定的進展。國內，雖有將卡爾曼濾波其他方面的預測，但用于負荷預測研究的尚屬初探。筆者利用卡爾曼濾波理論建立了電力系統短期負荷預測模型，利用歷史數據中的負荷數據和氣象數據等相關數據，進行了短期負荷的預測。

1 卡爾曼濾波模型簡介
　　考慮線性離散時間系統：
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式中：x是n維狀態變量，Φ(t+1,t)是n×n的狀態轉移矩陣，B(t)是n×r的輸入噪聲轉移矩陣，w(t)是p維的輸入噪聲；y(t)是m維的測量向量，H(t)是m×n維測量矩陣，v(t)是m維的測量噪聲。
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式中：E表示數學期望，p×p階的輸入噪聲協方差陣Q(t)是對稱正定的；m×m階的測量噪聲協方差陣R(g)是對稱正定的。
??? 又設初始狀態x(0)獨立于w(t)和v(t)，且已知其統計特性為：
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??? 詳細推導過程見[7]。

2 卡爾曼濾波負荷預測模型
??? 以連續若干天的同一時刻作為一組時間序列，來預測該時刻的下一個負荷值。通常，負荷值可以分為幾個部分：
　
刻的基本負荷，Lpk(t)為前一天同時刻的的負荷值，LTk(t)為該時刻的氣溫，Vk(t)為誤差，HNk(t)、HPk(t)、HTk(t)均為參數矩陣。由于預測的是某個時刻的值，所以式中的各個量都是一維的。
　　為方便應用卡爾曼濾波理論進行狀態預測，特作如下變換：
　
式中：yk(t)是觀測值，Hk(t)為觀測矩陣，Φk(t)為狀態轉移矩陣，Wk(t)為狀態誤差。由于在本文中狀態變量是連續若干天的同一時刻的溫度，它在短期的負荷預測中可以看成是緩變狀態，因此可令Φk(t)=I,I為單位陣。
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2．1改進模型
??? 在實際預測過程中，一般可以提供預測時刻的氣溫預報值，或者通過幾個點的預報值通過插值獲得其他點的氣溫值。本文提出了預測值修正方法，即在此預測值的基礎上加上溫度修正值的負荷預測方法。
??? 設待預測的第(t+1)天時刻負荷的卡爾曼濾波預測值為yk(t+1|t)，該時刻的狀態估計值為LTK(t+1|t),，而該預測時刻的氣溫預報值為Tk。狀態估計值是卡爾曼濾波器通過歷史負荷得到的對系統下一個時刻的狀態的最佳估計，而預報獲得的系統的新的狀態值則反映了系統的未來狀態，因此他們的組合能夠讓預測模型獲得更多的信息，從而得到更加準確的預測值。為利用此信息，可以對預測得到的值進行修正，即在[Tk-LTK(t+1|t)]前乘以一個修正系數，即：
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式中:bk為修正系數，可以通過試驗獲得，yk(t+1)為該時刻修正后的負荷預測值。

3 短期負荷的預測實例
??? 用卡爾曼濾波以及改進后的模型對武漢地區電力負荷進行預測實例計算。在實踐中初始狀態xk(0|0)，Pk(0|0)很難準確掌握。但由于卡爾曼濾波在遞推過程中不斷用新的信息對狀態進行修正，所以當濾波時間充分長時，狀態初值xk(0|0)對xk(t+1|t)的影響將衰減至近于零，初始協方差陣Pk(0|0)對濾波估計協方差陣Pk(t+1|t)的影響也將衰減至于零。因此，濾波的初始條件可以近似確定。
??? 每一次遞推運算中，要先求出預測值xk(t+1|t)，然后根據預測值計算出預測誤差的方差Pk(t+1|t)，由最佳濾波規則計算卡爾曼增益Kk(t+1)，經過卡爾曼增益的誤差補償后獲得最佳濾波值xk(t+1)，再由預測方程計算負荷預測值。
??? 其中溫度參數在待預測天以前由歷史數據獲得，并對其進行濾波估計，而待預測天的溫度則由當天的溫度預報獲得。
??? 引入誤差指標：
??? 相對誤差：
　
??? 應用卡爾曼濾波模型以及改進后的模型對武漢地區的電力負荷進行實際預測，隨意抽取某一天的預測結果及誤差見下圖(1)、(2)、(3)、(4)。

　　圖1是該天24小時的卡爾曼濾波預測值與實際值的比較，圖2是24點的卡爾曼濾波的預測誤差，其平均絕對相對誤差為3.43％，圖3是用改進的算法計算該天24小時的負荷值與實際值的比較，圖4為改進后的算法的24點的相對誤差，其平均絕對相對誤差為2.94％，由此可見，改進算法是有效的。

4 小結
　　本文運用卡爾曼濾波理論建立了短期負荷預測模型，并進行短期負荷預測，通過算例證實了卡爾曼濾波模型預測的可行性。同時針對負荷預測的特點，通過對卡爾曼濾波算法的改進，提高了預測的精度。
　　由于卡爾曼濾波器在遞推過程中不斷用新息對狀態估計進行修正，所以卡爾曼濾波是漸進穩定的，當時間序列足夠長時，初始狀態的狀態值、協方差陣對估計的影響都將衰減為零。所以卡爾曼濾波模型能夠不斷更新狀態信息，獲得比較準確的估計值。此方法不僅可以用于短期預測，同樣可以用于超短期負荷預測。