圖1　發射頻率變化規律

　　在0-T1時段內系統發射單頻脈沖，完成多卜勒頻移測量.在T1-T時段內，系統發射高線性度FMCW信號，接收機根據0-T1時段的頻移測量，在回波信號中扣除頻移影響，完成時延的高精度測量，實現目標幾何中心定位，而后利用回波譜寬估算細柱狀目標長度，并求出目標速度矢量.
　　文中假定測量周期T在ms量級，在這段時間內近似認為目標速度是不變的.同時考慮系統的實時性要求，本文將不討論目標細節的識別，而是根據近程環境特點僅僅估計細柱狀目標長度.文中所采用的算法也都是能一次完成計算的解析算法.

二、幾何中心定位算法
　　多站系統的幾何布局如圖2所示.在T1-T時段內，t時刻的發射頻率為

νT=ν0+kt　(1)

t時刻經目標幾何中心到達Si的信號頻率為

　(2)

式中RT,Ri分別為目標幾何中心與ST及Si的距離，k為FMCW線性調頻的速率.t時刻直達Si的信號頻率為

　(3)

RTSi為發射機直達Si的距離.假設已根據0-T1時段測出的目標多卜勒頻移，并在式(2)、(3)中扣除了該頻移的影響.這時，Si對νTSi與νTOSi進行相關處理，求得頻差νdi

　(4)

圖2　多站雷達系統布局

圖3　多站系統的收發頻率關系

假設目標坐標為(x,y,z)，發射機布在S3處.并設di為LTi與LT3之差，即

di=LTi-LT3=Ri-R3,i=1,2,3　(7)

　　根據距離關系，將站坐標Si(xi,yi,zi)和目標坐標代入式(7)展開整理并求解可得

rh=［x　y］T=W-1(β-d)
ra=［x　y　z］T=［f1(η)　f2(η)　f3(η)］T　(8)

式中　a=1+dTWTW-1d；
b=2rTh3W-1d-2dTW-TW-1β-2z3;
c=βTW-TW-1β-2rTh3W-1β-β3,

x3j=x3-xj,y3j=y3-yj,z3j=z3-zj,j=1,2
β3j=0.5(d2j+2djR3-ρ2j+ρ23),j=1,2
這里ρi與Si與原點的距離.
η=［d1　d2　R3］T=［η1　η2　η3］T.只要三個雷達站沒有布局在同一直線上，W就是非奇異的，式(8)有確定的解.式中正負號的選取可參考文獻［3］，但通過合理選擇坐標系可以將目標置于上半球或下半球，從而使符號選取簡化.

三、定位性能分析
　　1.定位坐標偏移量
　　當TR-R系統對目標定位時，直接測得量的d1,d2,R3，設測量誤差矢量為

δη=［δd1　δd2　δR3］T=［δη1　δη2　δη3］T　(9)

目標定位誤差矢量為

δra=ra-r0=［δx　δy　δz］T　(10)

其中r0為目標的真實位置矢量，由式(7)得

δηi=δLTi-δLT3=δLTi-2δR3　(11)

上式表明，δηi之間不獨立.
　　設各雷達站對頻率的測量相互獨立，頻率測量誤差符合零均值正態分布.則各雷達站對距離的測量相互獨立，且測量誤差δLTi及δR3都符合零均值正態分布.而δηi與δLTi及δR3是線性關系，因而δηi也符號零均值正態分布，這時有

E［δηi］=E［δLTi］-2E［δR3］=0　(12)

但是，由于目標幾何中心定位坐標與ηi的函數關系是非線性的，因此δηi將使定位坐標產生偏移.即使E［δra］≠0，偏移量的期望值可通過式(8)估算.
　　為求δra的數學期望，將ra=f(η)在r0附近展為η的Taylor級數，保留到二階偏微分項，并考慮到δηi的相關性，可得定位坐標偏移量期望值的表達式

　(13)

式中σ2為單站雷達測距方差，b1，b2，b3分別表示坐標偏移量bx,by,bz.
　　2.目標定位誤差的GDOP因子
　　一階近似情況下，δra的協方差矩陣P為
p=E{(δra-E［δra］［δra-E［δra］］T)}=FSFT-bbbTb　(14)
其中　　bb=［bx　by　bz］T，

P的對角線元素為定位坐標方差σ2x,σ2y,σ2z.目標定位誤差的GDOP因子為

　(15)

四、目標速度測量
　　在0-Ti時段系統發射單頻脈沖，已經測得運動目標回波的多卜勒頻移，由此可求得目標速度在相應方向的投影，將這些投影看做空間矢量，就可估計目標速度.
　　在TR-R2多站雷達系統中，S3構成單站雷達的同時還分別與S1，S2構成雙基地系統.根據單站與雙基地系統多卜勒關系得到方程

　(16)

vi為目標速度在Si——目標視線上的投影，νdi為Si中測得的目標多卜勒頻移，i=vi+v3.由式(16)解得vi,并以矢量

v=［q1　q2　q3］T　(17)

表示目標速度，利用Si——目標視線的方向余弦(cosαi,cosβi,cosγi)，將vi表示為

vi=q1cosαi+q2cosβi+q3cosγi,i=1,2,3　(18)

整理后寫成矩陣形式解得

V=Φ-1μ　(19)

式中

Φ為已知，因此可求得速度v，速度的數值由下式計算

　(20)

五、速度測量性能分析
　　當各雷達站的頻率測量相互獨立，測量誤差符合具有相同方差的零均值正態分布時，由于1與νdi是線性關系，則i也是正態分布的

　(21)

式中σ2v為1的方差，0i為i的均值，式(16)表明vi與i是線性關系，故目標在各雷達站方向的速度投影vi也符合正態分布.同樣式(19)表明qi與vi也是線性關系，因此qi也符合正態分布，其概率密度公式為

　(22)

其中，，為qi的均值，σ2qi=［k21i+k22i+1/4(k1i+k2i-k3i)2］σ2v為qi的方差,而kij=Δ′ij/Δ′,Δ′=det(Φ)，Δ′ij為Δ的代數余子式.
　　根據式(22)寫出q1，q2，q3的聯合概率密度函數

　(23)

式中B為qi的協方差矩陣，其元素為

B(i,j)=E［(qi-q0i)(qj-q0j)］,μt=［q01　q02　q03］T

為求v的概率密度函數，對式(23)作如下的變量代換,令

q1=ξcosθcosφ,q2=ξcosθsinφ,q3=ξsinθ.

變換后的變量取值范圍相應變為

此變換的Jacobian行列式為J=ξ2cosθ,這樣ξ即v的概率密度函數可以寫成

　(24)

目標速度期望值及其方差分別為

　(25)
　(26)

六、定位誤差對速度測量的影響
　　目標速度估算是在定位之后完成的.由于速度估算公式中要用到Si——目標視線的方向余弦，這些方向余弦的精度取決于目標幾何中心定位誤差.因此，定位精度將直接影響速度測量精度.為便于分析，下面在考慮定位誤差影響時，不考慮其它因素.
　　令δv為因定位誤差所產生的速度誤差，將速度v展為定位坐標的Taylor級數，在一階近似條件下求得其偏移量計算式為

　(27)

速度估計方差為

　(28)

其中ε2i=2σ2

七、細柱狀目標長度估計
　　雷達發射FMCW波形時，體目標回波頻譜將占據一定的帶寬，對回波信號作頻譜分析則可以提取到此頻寬信息.
　　設細柱狀目標的長度為m,接收機Si的接收信號譜寬為Δνi，目標在Si方向的投影為mi，則有如下關系成立

　(29)

這里，目標投影及頻譜寬度均應有正負號，符號的選取由目標相對各雷達站的位置關系及目標的空間取向確定.位置關系取決于幾何中心坐標，而空間取向可由目標回波的頻譜特性或速度的方向判別.將投影mi以矢量mi表示，其方向由相應雷達站Si——目標視線的方向余弦確定，即

mi=mi［cosαi　cosβi　cosγi］T　(30)

再將細柱狀目標以空間矢量M表示，其在三個坐標軸上的投影分量分別為X1，X2，X3，利用矢量關系求得

M=Φ-1δ　(31)

式中δ=［m1　m2　m3］T.目標長度的估計式為

　(32)

八、目標長度估計性能分析
　　因各雷達站對頻率的測量相互獨立，且頻率測量誤差符合具有相同方差的零均值正態分布，則Δνi是正態分布的.而i與Δνi是線性關系，因此i正態分布.其概率密度函數為

　(33)

式中0i為i的均值.式(29)表明mi與i是線性關系，故mi也符合正態分布.同樣式(31)表明Xi與mi也是線性關系，故Xi也符合正態分布.即

　(34)

式中，為Xi的均值，σ2Xi=σ2［k21i+k22i+1/4(kli+k2i-k3i)2］為Xi的方差.根據式(34)可寫出X1,X2，X3的聯合概率密度函數

　(35)

式中H為Xi的協方差矩陣，其元素為

h(i,j)=E［(Xi-X0i)(Xj-X0j)］;
εt=［X01　X02　X03］T

九、計算機仿真結果
　　選擇一種代表性的情況模擬各種參數對系統性能的影響.將三個站分別布在XOY平面內半徑為L(稱為布站半徑)的圓周上，坐標分別為(-L/2,-L/2,0),(L/2,-L/2,0),(0,L,0).在假定目標始終指向坐標原點的情況下模擬目標數據，分析探測性能.假定目標真實長度為3m，速度500m/s，單站測距均方根誤差0.5m，測速均方根誤差20m.
　　1.目標幾何中心定位
　　(1)定位坐標偏移量　圖4給出幾種不同情況下目標定位坐標偏移量分布，由圖看出，當目標高度在200m以下時，坐標估計偏移量較大.目標在200m以上時坐標偏移量已很小，一般可以忽略.同時系統布站半徑L越大坐標偏移量越小.

圖4　不同情況下定位坐標估計偏移量分布

　　(2)定位誤差的GDOP因子　圖5圖6分別給出了定位誤差的GDOP因子與目標高度及系統布站半徑的關系.顯然，目標越高定位誤差的GDOP因子越小.而增大統布站半徑時，GDOP因子越小.而增大統布站半徑時，GDOP因子先是減小，然后又增大，這種變化不是單調的.當考慮中心附近2km見方的近程區域時，L=2km的情況為最好.

圖5　高度不同時的GDOP曲線(L=2km)

圖6　不同布站半徑時的GDOP曲線(z=500m)

　　2.目標速度測量
　　(1)目標速度估計期望值　分析圖7圖8給出的目標速度期望值與高度及布站半徑的關系可以看出，由于式(23)的非線性關系，估計目標速度時也會產生偏移量，此偏移量的大小隨目標高度的增加而減小.同時當系統布站半徑增大時，偏移量先是減小隨后又增大.在L=2km時，效果最好.
　　(2)目標速度估計均方根誤差　速度估計均方根誤差分析結果如圖9圖10，可以看出，目標越高速度均方根誤差越小，而L增大時中心區域的速度均方根誤差也增加.

圖7　速度期望值與高度的關系(L=2km)

圖8　速度期望值與布站半徑的關系(z=500m)

圖9　速度均方根誤差與高度的關系(L=2km)

圖10　速度均方誤差與布站半徑的關系(z=500m)

　　(3)定位誤差對速度測量的影響　分析表明，高精度定位情況下定位誤差對速度測量的影響很小.目標定位誤差引起的速度估計偏移量及均方根誤差遠小于因單站雷達多卜勒測速誤差產生的測速偏移量及均方根誤差，一般可以忽略.但是，當定位誤差增大時，其對速度測量的影響會迅速增大，這時定位誤差的影響就不能忽略了.
　　3.細柱狀目標長度
　　細柱狀目標長度估計的分析結果如圖11，12所示，可以看出，z越大偏移量越小，L增大時偏移量先是減小接著又增大，變化關系不是單調的，L=2km時性能最好.目標長度均方根誤差與高度及布站半徑的關系也有相同的變化規律.

圖11　目標長度期望值分布(z=500m)

圖12　目標長度期望值分布(L=2km)

　　另外，按第六節的方法分析定位誤差對目標長度估計的影響，結果表明高精度定位情況下，定位誤差對目標長度估計的影響也可以忽略不計.如果不是高精度定位，只需要考慮定位誤差的影響.

十、結　　論
　　本文將FMCW波形和單頻脈沖波形引入多站雷達系統，在考慮時延和頻移解耦，選擇合適發射波形的基礎上，就近程應用情況下TR-R2系統對目標幾何中心定位，目標速度測量及細柱狀目標長度估計等問題進行了全面的分析與仿真.得出了一些對工程實踐有一定指導意義的結論.特別是文中所討論的解耦方法具有普遍適用的意義.
　　對系統性能所進行的分析表明，系統性能既與目標位置有關，又與系統布局的幾何參數有關.
　　由于存在非線性關系，多站系統在對目標進行定位，測量目標速度及估計目標長度時都會產生偏移量.當目標高度較低時偏移量較大，目標較高時偏移量較小.另外，目標定位誤差的GDOP因子，速度以及目標長度估計均方根誤差也都隨高度的增加而減小.
　　系統布局對性能的影響主要表現為系統布站半徑的影響.布站半徑越大，定位坐標偏移量越小，目標速度及長度偏移量隨布站半徑的變化不是單調的，GDOP因子的變化也不是單調的，在本文分析的情況下，L=2km時系統性能最好.
　　高精度定位情況下，定位誤差對目標長度及速度測量的影響很小，可以忽略不計.