摘要：今天的低功耗微控制器(μC)也開(kāi)始集成原先只存在于大型微處理器、ASIC和DSP中的外設(shè)功能，使我們有可能以很低的功耗實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的算術(shù)運(yùn)算。本文討論一種快速傅立葉變換(FFT)應(yīng)用，并在一個(gè)含有單周期硬件乘法器的低功耗μC上實(shí)現(xiàn)該應(yīng)用。

這個(gè)FFT應(yīng)用實(shí)時(shí)計(jì)算一路輸入電壓(圖1中的VIN)的頻譜。為完成該任務(wù)，用一片模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)對(duì)VIN進(jìn)行采樣，獲得的采樣傳送給μC。然后，μC對(duì)這些采樣執(zhí)行256點(diǎn)FFT運(yùn)算，獲得輸入電壓的頻譜。為便于檢測(cè)，μC將計(jì)算出的頻譜數(shù)據(jù)傳送給PC，由PC實(shí)時(shí)顯示出來(lái)。


圖1. 利用FFT應(yīng)用計(jì)算輸入電壓的頻譜。

該FFT應(yīng)用的固件針對(duì)MAXQ2000系列中的一款16位、低功耗μC用C語(yǔ)言編寫(xiě)。有興趣的讀者可以下載(ZIP，2.4kb)該項(xiàng)目的固件和電路原理圖。

背景知識(shí)

為確定輸入信號(hào)采樣的頻譜，我們需要對(duì)這些輸入采樣進(jìn)行離散傅立葉變換(DFT)。DFT的定義如下：



其中N是采樣的數(shù)量，X(k)是頻譜，x(n)是一組輸入采樣。利用歐拉等式展開(kāi)求和符，并分離輸入采樣和頻譜的實(shí)部和虛部，得到以下等式：





式2和3中，求和符中第二項(xiàng)的消失是由于輸入采樣全部為實(shí)數(shù)。假定我們有N個(gè)采樣，直接計(jì)算式2和3需要2N2次乘法和2N(N - 1)次加法。這樣，我們的256點(diǎn)輸入采樣DFT將需要進(jìn)行131,072次乘法和130,560次加法運(yùn)算。我們還是將注意力轉(zhuǎn)向FFT吧！

有多種FFT算法可供使用。本應(yīng)用采用普通的radix-2算法，繼續(xù)將DFT分解為兩個(gè)更小的DFT。為此，N必須是2的指數(shù)。這種radix-2 FFT算法的步驟可歸納如圖2所示的蝶型運(yùn)算。觀察這些蝶型運(yùn)算我們可以發(fā)現(xiàn)，radix-2算法僅需(N / 2)log2(N)次乘法和Nlog2(N)次加法。圖2中用到的參數(shù)WN就是通常所謂的“旋轉(zhuǎn)因子”，可以在執(zhí)行算法前預(yù)先計(jì)算出來(lái)。


圖2. 利用蝶型運(yùn)算實(shí)現(xiàn)N = 8的FFT。

在圖2中，F(xiàn)FT的輸入顯示為一種特殊的排列順序，這種序列是對(duì)原始序列索引號(hào)的二進(jìn)制位反轉(zhuǎn)后得到的。因此，當(dāng)我們對(duì)N = 8個(gè)采樣執(zhí)行radix-2 FFT算法時(shí)，需要將輸入數(shù)據(jù)的原始序列：

0 (000b), 1 (001b), 2 (010b), 3 (011b), 4 (100b), 5(101b), 6(110b), 7(111b)

重新排列為：

0 (000b), 4, (100b), 2 (010b), 6 (110b), 1 (001b), 5 (101), 3 (011), 7 (111)

FFT輸出則以正確的順序排列。圖2還說(shuō)明，每個(gè)單獨(dú)的蝶型運(yùn)算所得的結(jié)果，是下一級(jí)FFT運(yùn)算所需的唯一數(shù)據(jù)。由于運(yùn)算過(guò)程可“即位”進(jìn)行，新值可替代舊值，這樣，計(jì)算N個(gè)采樣的FFT只需要2N個(gè)變量(因?yàn)槊總€(gè)數(shù)據(jù)都包括實(shí)部和虛部?jī)刹糠?。

FFT完成后，結(jié)果為復(fù)數(shù)形式。式4和5將結(jié)果轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方式后表示為：





有關(guān)DSP的文獻(xiàn)中可以找到很多優(yōu)化方法，可使上述DFT/FFT算法更小或更快。其中最重要的一種優(yōu)化方法(可能也是最容易實(shí)現(xiàn)的)源于這樣一個(gè)事實(shí)，那就是作為一個(gè)實(shí)數(shù)信號(hào)，其DFT幅度是相關(guān)于X(N / 2)對(duì)稱(chēng)的，因此：



編寫(xiě)FFT代碼絕非易事。低功耗μC的一些局限又進(jìn)一步使該任務(wù)復(fù)雜化。

存儲(chǔ)器：我們所選的μC有2kB的RAM。已經(jīng)知道該算法需要用到2N個(gè)16位變量來(lái)存儲(chǔ)FFT數(shù)據(jù)，這樣，我們的μC可以執(zhí)行N最高為512的FFT。然而，固件的其他部分也要用到一些RAM。因此，在此項(xiàng)目中，我們限制N于256。若采用16位變量來(lái)表示每個(gè)值的實(shí)部和虛部，F(xiàn)FT數(shù)據(jù)總共需要1024字節(jié)的RAM。

速度：低功耗μC盡管具有高M(jìn)IPS/mA性能，仍然需要一些優(yōu)化手段來(lái)使運(yùn)行FFT的指令數(shù)盡可能少。好在本應(yīng)用所用的C編譯器(IAR的Embedded Workbench for MAXQ，見(jiàn)www.iar.com)可提供多種級(jí)別的優(yōu)化和設(shè)置。高效地使用硬件乘法器可使代碼優(yōu)化到可以接受的水平。

無(wú)浮點(diǎn)能力：所選的μC不具備浮點(diǎn)能力(低功耗產(chǎn)品一般都不具備浮點(diǎn)能力)。因此，所有運(yùn)算都必須采用定點(diǎn)算法。為了表示小數(shù)，固件采用帶符號(hào)的Q8.7表示法。這樣，在固件中假定：

• 第0位至第6位代表小數(shù)部分
• 第7位至第14位代表整數(shù)部分
• 第15位代表符號(hào)位(二的補(bǔ)碼)

這樣的安排對(duì)于加法和減法沒(méi)有影響，但在做乘法時(shí)必須注意將數(shù)據(jù)按照Q8.7格式對(duì)齊。



所選的數(shù)據(jù)表示法還要適應(yīng)FFT算法可能遇到的最大數(shù)值，同時(shí)又要提供足夠的精度。例如，我們的ADC可提供帶符號(hào)的8位采樣，以二的補(bǔ)碼表示。如果輸入為最大幅度(對(duì)于帶符號(hào)8位采樣為127)的直流電壓，則其能譜全部包含于X(0)中，用Q8.7表示為32512。這個(gè)數(shù)值能夠由單個(gè)帶符號(hào)的16位數(shù)據(jù)表示。

固件

以下部分討論在低功耗μC上執(zhí)行radix-2 FFT的固件實(shí)現(xiàn)。信號(hào)采樣由ADC讀出后被存儲(chǔ)在x_n_re數(shù)組中。這個(gè)數(shù)組代表x(n)的實(shí)部。虛部存儲(chǔ)在x_n_im數(shù)組中，在開(kāi)始運(yùn)行FFT前初始化為零。完成FFT后，計(jì)算結(jié)果取代原始采樣數(shù)據(jù)，被存儲(chǔ)在x_n_re和x_n_im中。

獲取采樣

FFT算法假定采樣是以固定的取樣頻率獲得的。在為FFT獲取采樣時(shí)如果不加小心將會(huì)產(chǎn)生一些問(wèn)題。例如，采樣間隔的抖動(dòng)就會(huì)給FFT結(jié)果引入誤差，應(yīng)盡力減小之。

ADC采樣循環(huán)中的判決語(yǔ)句會(huì)造成采樣間隔的抖動(dòng)。例如，我們的系統(tǒng)從ADC讀取帶符號(hào)的8位采樣，并將其存儲(chǔ)在一組16位變量中。在下面的程序清單1中給出了兩種偽碼算法，執(zhí)行這種ADC讀取-存儲(chǔ)功能。算法1給出的方法會(huì)造成采樣間隔的抖動(dòng)，因?yàn)樨?fù)采樣比正采樣需要更多的時(shí)間來(lái)讀取并存儲(chǔ)。

清單1. 兩種ADC采樣偽碼算法。第二種算法避免了第一種的問(wèn)題――采樣間隔抖動(dòng)。

// ALGORITHM 1: INCONSISTENT SAMPLING FREQUENCY - BAD!
// sample[] is an array of 16-bit variables
for i = 0 to (N-1)
begin
     doADCSampleConversion()             // Instruct ADC to sample Vin
     sample[i] = read8BitSampleFromADC() // Read 8-bit sample from ADC

     if (sample[i] & 0x0080)             // If the 8-bit sample was negative
          sample[i] = sample[i] + 0xFF00 // Make the 16-bit word negative
end

// ALGORITHM 2: FIXED SAMPLING FREQUENCY - GOOD!
// sample[] is an array of 16-bit variables
for i = 0 to (N-1)
begin
     doADCSampleConversion()             // Instruct ADC to sample Vin
     sample[i] = read8BitSampleFromADC() // Read 8-bit sample from ADC
end

for i = 0 to (N-1)
begin
     if (sample[i] & 0x0080)             // If the 8-bit sample was negative
          sample[i] = sample[i] + 0xFF00 // Make the 16-bit word negative
end

三角函數(shù)表

本FFT算法通過(guò)查表(LUT)而非計(jì)算得到正弦或余弦函數(shù)值。程序清單2給出了對(duì)于正弦和余弦LUT的申明。實(shí)際固件的注釋中包含了自動(dòng)生成這些LUT的源代碼，可由程序調(diào)用。兩個(gè)LUT均含有N / 2分量，因?yàn)樾D(zhuǎn)因子的索引號(hào)變化范圍為從0至N / 2 - 1 (見(jiàn)圖2)。

清單2. 正弦和余弦函數(shù)LUT。

const int cosLUT[N/2] = {+128,+127,+127, ... ,-127,-127,-127};
const int sinLUT[N/2] = {+0  ,+3  ,  +6, ... ,+9  ,  +6,  +3};

這些LUT中的數(shù)組被聲明為const，強(qiáng)制編譯器將它們存儲(chǔ)于代碼空間而非數(shù)據(jù)空間。由于LUT數(shù)值須采用Q8.7表示法，它們由正弦和余弦的實(shí)際值乘以27后得到。

位反轉(zhuǎn)

位反轉(zhuǎn)排序(N已知)可在運(yùn)行時(shí)通過(guò)計(jì)算、查表或直接利用展開(kāi)循環(huán)編寫(xiě)。所有這些方法都需要在源代碼的尺寸和運(yùn)行速度間進(jìn)行折衷。本FFT應(yīng)用利用展開(kāi)循環(huán)進(jìn)行位反轉(zhuǎn)，其源代碼較長(zhǎng)，但運(yùn)行速度快。程序清單3顯示了該展開(kāi)循環(huán)的實(shí)現(xiàn)。本應(yīng)用固件的注釋中包含了用于程序自動(dòng)生成展開(kāi)循環(huán)的源代碼。

清單3. 用于實(shí)現(xiàn)N = 256的位反轉(zhuǎn)的展開(kāi)循環(huán)。

i=x_n_re[  1]; x_n_re[  1]=x_n_re[128]; x_n_re[128]=i;
i=x_n_re[  2]; x_n_re[  2]=x_n_re[ 64]; x_n_re[ 64]=i;
i=x_n_re[  3]; x_n_re[  3]=x_n_re[192]; x_n_re[192]=i;
i=x_n_re[  4]; x_n_re[  4]=x_n_re[ 32]; x_n_re[ 32]=i;
...
i=x_n_re[207]; x_n_re[207]=x_n_re[243]; x_n_re[243]=i;
i=x_n_re[215]; x_n_re[215]=x_n_re[235]; x_n_re[235]=i;
i=x_n_re[223]; x_n_re[223]=x_n_re[251]; x_n_re[251]=i;
i=x_n_re[239]; x_n_re[239]=x_n_re[247]; x_n_re[247]=i;

Radix-2 FFT算法

采樣按照位反轉(zhuǎn)方式重新排序后就可進(jìn)行FFT運(yùn)算了。本radix-2 FFT應(yīng)用的固件通過(guò)三個(gè)主循環(huán)執(zhí)行圖2所示的蝶型運(yùn)算。外循環(huán)計(jì)數(shù)log2(N)級(jí)FFT運(yùn)算。內(nèi)循環(huán)執(zhí)行每一級(jí)的蝶型運(yùn)算。

FFT算法的核心部分是執(zhí)行蝶型運(yùn)算的一小塊代碼。程序清單4給出了這一塊代碼，遺憾的是，它是本應(yīng)用中唯一“不可移植”的固件。宏MUL_1和MUL_2利用μC的硬件乘法器執(zhí)行單指令周期乘法運(yùn)算。這些宏的內(nèi)容專(zhuān)用于MAXQ2000，可在實(shí)際固件中全部看到。

清單4. 用C編寫(xiě)的蝶型運(yùn)算。

/* (1) Macro MUL_1(A,B,C): C=A*B      (result in Q8.7)*/
/* (2) Macro MUL_2(A,C)  : C=A*last_B (result in Q8.7)*/
MUL_1(cosLUT[tf],x_n_re[b],resultMulReCos);
MUL_2(sinLUT[tf],resultMulReSin);
MUL_1(cosLUT[tf],x_n_im[b],resultMulImCos);
MUL_2(sinLUT[tf],resultMulImSin);
         
x_n_re[b] = x_n_re[a]-resultMulReCos+resultMulImSin;
x_n_im[b] = x_n_im[a]-resultMulReSin-resultMulImCos;
x_n_re[a] = x_n_re[a]+resultMulReCos-resultMulImSin;
x_n_im[a] = x_n_im[a]+resultMulReSin+resultMulImCos;

復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

為了便于確定VIN頻譜的幅度，我們須要將復(fù)數(shù)形式的X(k)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式。實(shí)現(xiàn)該轉(zhuǎn)換的固件示于程序清單5。幅度值取代了原始的FFT結(jié)果，因?yàn)楣碳辉傩枰@些數(shù)據(jù)。

清單5. FFT結(jié)果從復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式。

const unsigned char magnLUT[16][16] =
{
{0x00,0x10,0x20, ... ,0xd0,0xe0,0xf0},
{0x10,0x16,0x23, ... ,0xd0,0xe0,0xf0},
                 ...
{0xe0,0xe0,0xe2, ... ,0xff,0xff,0xff},
{0xf0,0xf0,0xf2, ... ,0xff,0xff,0xff}
};
                 ...
                 ...
/* Compute x_n_re=abs(x_n_re) and x_n_im=abs(x_n_im) */
                 ...
                 ...
x_n_re[0] = magnLUT[x_n_re[0]>>11][0];

for(i=1; i>11][x_n_im[i]>>11];

x_n_re[N_DIV_2] = magnLUT[x_n_re[N_DIV_2]>>11][0];

頻譜幅度并非根據(jù)式4計(jì)算得到，而是通過(guò)一個(gè)二維LUT查表得到。第一索引為頻譜實(shí)部的高4位(MSB)，第二索引為頻譜虛部的高4位。為得到這些數(shù)據(jù)，可將帶符號(hào)的16位數(shù)據(jù)右移11次。在從頻譜的實(shí)部和虛部取得索引號(hào)前，需首先將它們轉(zhuǎn)換為絕對(duì)值。因此，符號(hào)位為零。

從式6我們已經(jīng)知道，頻譜的幅度是關(guān)于X(N / 2)對(duì)稱(chēng)的，因此我們只需將前(N / 2) + 1個(gè)頻譜數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式。還有，我們可以看到，對(duì)于實(shí)數(shù)輸入采樣，X(0)和X(N / 2)的虛部總為零。因此這兩條譜線的幅度被單獨(dú)計(jì)算。本項(xiàng)目實(shí)際固件的注釋中包含了用于自動(dòng)生成該LUT的源代碼，可由程序調(diào)用來(lái)計(jì)算X(k)的幅度。

Hamming或Hann窗

此項(xiàng)目固件還包括了對(duì)輸入采樣加Hamming或Hann窗的LUT (Q8.7格式)。加窗函數(shù)可有效降低對(duì)時(shí)域采樣x(n)的舍入操作所引起的頻譜泄漏。Hamming和Hann窗函數(shù)分別如式7和8所示。





程序清單6給出了實(shí)現(xiàn)這些函數(shù)的代碼。同樣，本項(xiàng)目實(shí)際固件的注釋中包含了用于自動(dòng)生成這些LUT的源代碼，可由程序調(diào)用來(lái)實(shí)現(xiàn)這些窗函數(shù)。

清單6. 用來(lái)實(shí)現(xiàn)Hamming和Hann窗函數(shù)的LUT。

const char hammingLUT[N] = {+10, +10, +10, ... ,+10, +10, +10};
const char hannLUT[N]    = { +0,  +0,  +0, ... , +0,  +0,  +0};
...
...
for(i=0; i<256; i++)
{
   #ifdef WINDOWING_HAMMING
      MUL_1(x_n_re[i],hammingLUT[i],x_n_re[i]); // x(n)*=hamming(n);
   #endif
   #ifdef WINDOWING_HANN
      MUL_1(x_n_re[i],hannLUT[i]),x_n_re[i]);   // x(n)*=hann(n);
   #endif
}

測(cè)試結(jié)果

為了測(cè)試該FFT應(yīng)用的性能，固件將X(k)幅度通過(guò)μC的UART端口上傳給PC。專(zhuān)門(mén)編寫(xiě)的FFT Graph軟件(隨該項(xiàng)目固件一起提供)用于從PC串口讀取這些幅值，并以圖形方式實(shí)時(shí)顯示頻譜。圖3顯示了μC以200ksps采樣四種不同輸入信號(hào)并處理后，由FFT Graph所顯示出來(lái)的結(jié)果：

1. 4.3V直流信號(hào)
2. 50kHz正弦信號(hào)
3. 70kHz正弦信號(hào)
4. 6.25kHz方波

圖3. FFT Graph軟件顯示的由低功耗μC計(jì)算出的頻譜。