1、 引言

隨著數(shù)字信號處理理論及應(yīng)用技術(shù)的迅速發(fā)展，在一個數(shù)字系統(tǒng)中只用一個采樣頻率已 經(jīng)很難滿足要求。在實(shí)際的應(yīng)用中，經(jīng)常會遇到采樣率的轉(zhuǎn)換問題，即要求一個數(shù)字系統(tǒng)能 工作在“多采樣率”狀態(tài)。近年來，建立在采樣率轉(zhuǎn)換基礎(chǔ)上的“多采樣率數(shù)字信號處理” 已成為數(shù)字信號處理學(xué)科中的主要研究內(nèi)容之一。直觀地考慮，首先將以采樣率 F1 采集的數(shù)字信號進(jìn)行數(shù)模轉(zhuǎn)換，這樣就變成模擬信號，再按采樣率 F2 進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換，從而實(shí)現(xiàn)了從F1 到F2 的采樣率轉(zhuǎn)換，這就是變換采樣率的最簡單方法。但是這樣較麻煩，且易使信號受到損傷，所以在實(shí)際應(yīng)用的變采樣系統(tǒng)中，改變采樣頻率并不經(jīng)過模擬信號，而是完全 在數(shù)字域中實(shí)現(xiàn)的。在數(shù)字信號處理中，濾波占有極其重要的作用，適用于變采樣率系統(tǒng) 中的數(shù)字濾波器就是本文要談?wù)摰闹饕獌?nèi)容。

2、 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程及結(jié)構(gòu)

數(shù)字濾波器根據(jù)其沖擊響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種：無限長沖激響應(yīng)（IIR）濾波器和有限長沖激響應(yīng)（FIR）濾波器。FIR 濾波器被廣泛應(yīng)用于各類數(shù)字信號處理系統(tǒng)， 它的系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，可以滿足濾波器對幅度和相位特性的嚴(yán)格要求，避免模擬濾波器溫漂 和噪聲等問題，易實(shí)現(xiàn)線性相位且易用硬件實(shí)現(xiàn)，這些都是FIR 系統(tǒng)的突出優(yōu)點(diǎn)，也是IIR 系統(tǒng)不易實(shí)現(xiàn)的。盡管IIR 濾波器系統(tǒng)比FIR 濾波器系統(tǒng)易取得較好的通帶和阻帶衰減特性，F(xiàn)IR 系統(tǒng)若要取得較好的衰減特性，一般要求系統(tǒng)函數(shù)H（z）階次要高，也即濾波器長度M 要大。綜合以上考慮，本文選用FIR 濾波器來完成設(shè)計(jì)。

2.1FIR 數(shù)字濾波器的基本原理及設(shè)計(jì)基礎(chǔ)

FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

由系統(tǒng)函數(shù)可直接寫出描述輸入x（n）和輸出y（n）之間關(guān)系的差分方程。設(shè)x（n）是一個M點(diǎn)序列，則得：

就硬件實(shí)現(xiàn)而言，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)是一個分節(jié)的延時(shí)線，每一節(jié)的輸出加權(quán)累加，得到濾波器的輸出。

圖1 FIR濾波囂基本結(jié)構(gòu)

圖1 中x（n）是輸入信號，x（n-i）是延時(shí)了i 個采樣周期的輸入信號，h（i）（i = 0，1，…，n-1）是第i 個延時(shí)節(jié)的加權(quán)值（即濾波器系數(shù)），y（n）是時(shí)刻t = nT 時(shí)濾波器的輸出信號。

FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般要經(jīng)過三步：確定目標(biāo)、逼近和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。通常在設(shè)計(jì) 濾波器之前，應(yīng)該先根據(jù)具體的應(yīng)用確定一些技術(shù)指標(biāo)。指標(biāo)的形式一般在頻域中給出幅度 和相位響應(yīng)。幅度指標(biāo)主要有2 種方式，分別是絕對指標(biāo)和相對指標(biāo)。在確定了技術(shù)指標(biāo)之 后，就可以根據(jù)數(shù)學(xué)知識和濾波器的基本原理確定濾波器的模型來逼近給定的指標(biāo)。上兩步 的結(jié)果通常是得到以差分或系數(shù)函數(shù)或沖擊響應(yīng)描述的濾波器，根據(jù)這個描述用硬件或軟件 實(shí)現(xiàn)并分析其頻率特性和相位特性。至此完成了一個濾波器設(shè)計(jì)的全過程。

2.2 利用Matlab 實(shí)現(xiàn)FIR 數(shù)字濾波器

Matlab 是一個交互式的以矩陣為基礎(chǔ)的軟件，它被廣泛應(yīng)用與教學(xué)、科研和工程設(shè)計(jì) 等各個領(lǐng)域。隨著Matlab 軟件的發(fā)展，尤其是Matlab 的信號處理工具箱的不斷完善，不僅 數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)有了可能，而且還可以使設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)化。

在數(shù)字信號處理領(lǐng)域里，采樣頻率轉(zhuǎn)換就是將信號采樣頻率從一個給定的頻率F1=1/T1 轉(zhuǎn)換到另一頻率F2=1/T2 的過程，它是一個非線性過程。當(dāng)新的采樣頻率高于原始頻率，即 F2 》 F1 時(shí)，稱為升采樣率或插值；反之，當(dāng)新的采樣頻率低于原始頻率，稱為降采樣率或 抽取。

設(shè)對某限帶時(shí)間波形x（t），以采樣率fs（在滿足采樣定理的條件下）進(jìn)行采樣，得到時(shí)間列x（k）．對x（k）進(jìn)行采樣率變換，如升采樣率，即提高采樣率L（正整數(shù)）倍，升采樣后的序列用Y（m）表示，那么，升采樣前后序列的關(guān)系為：

該式表明對輸入信號采樣數(shù)據(jù)每相鄰兩點(diǎn)之間插入L-1個零．即可實(shí)現(xiàn)升采樣率變換。因?yàn)槌槿∈莾?nèi)插的對偶系統(tǒng)，相應(yīng)地，降采樣前后序列的關(guān)系為：

該式表明只要對輸入信號每隔M樣點(diǎn)抽取一個樣點(diǎn)，即可實(shí)現(xiàn)降采樣率變換。

變采樣率FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)分為內(nèi)插FIR濾波器設(shè)計(jì)和抽取FIR濾波器設(shè)計(jì)。對內(nèi)插和抽取濾波器的設(shè)計(jì)以半帶濾波器為基礎(chǔ)。下面便是設(shè)計(jì)實(shí)例：

半帶濾波器是一種特殊的FIR濾波器，其特征如下：

（1）半帶濾波器的沖激響應(yīng)除了零點(diǎn)不為零外，在其余偶數(shù)點(diǎn)均為零；

（2）半帶濾波器所要求的濾波器模板必須關(guān)于f/4對稱．即H（ejπ/2）=0.5，而且濾波器的參數(shù)個數(shù)必須為奇數(shù)；

（3）濾波器的頻率響應(yīng)以似中心對稱，即

基于半帶濾波器的優(yōu)點(diǎn)，在半帶濾波器的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)FIR 濾波器一般采用等波紋逼近法，該方法對同樣的技術(shù)指標(biāo)，能使誤差均勻分布在整個頻帶，而且這種逼近法需要的濾波器階數(shù)低，且最大誤差最小。

給定半帶濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：

通帶截止頻率為20KHz，采樣頻率為88.2KHz，通帶波紋為0.001，阻帶衰減70dB。

根據(jù)上述指標(biāo)，結(jié)合其優(yōu)點(diǎn)，利用Matlab 的信號處理工具中的remez 函數(shù)進(jìn)行FIR 濾 波器的設(shè)計(jì)。remez 函數(shù)利用Parks-McClellan 算法，該算法利用remez 交換算法和切比雪夫逼近理論來設(shè)計(jì)濾波器，使實(shí)際濾波器的幅頻響應(yīng)最優(yōu)地?cái)M合理想濾波器的幅頻響應(yīng)，使它們之間最大誤差最小化。

調(diào)用remezord 和remez 函數(shù)設(shè)計(jì)此濾波器， 由調(diào)用格式 ［N，fo，ao，w］=remezord（f，m，，rip，F(xiàn)s）知道，首先根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)確定remezord 函數(shù)的調(diào)用參數(shù)，估算出濾波器的最低階數(shù)N ，其返回函數(shù)再作為remez 函數(shù)的調(diào)用參數(shù)，再直接編寫程序調(diào)用remez 函數(shù)得到濾波器單位脈沖響應(yīng)h（n），得到如圖2 所示的幅頻響應(yīng)：

圖2變采樣率FTIR濾波器的幅頻響應(yīng)

通過分析該半帶濾波器的幅頻響應(yīng)，可以發(fā)現(xiàn)該濾波器的通帶和阻帶波紋俱在 0.0015dB 以內(nèi)，阻帶衰減達(dá)到了70dB。

程序運(yùn)行結(jié)果顯示，濾波器階數(shù)N=43，基本符合設(shè)計(jì)要求。

3、 FIR 數(shù)字濾波器的FPGA硬件實(shí)現(xiàn)

由前面的Matlab 設(shè)計(jì)已經(jīng)求得了要求的FIR 濾波器的濾波系數(shù)及階數(shù)，下面利用FPGA來完成濾波器的硬件實(shí)現(xiàn)。FIR 濾波器主要是由乘加單元組成，如果按照直觀結(jié)構(gòu)直接構(gòu)造 FIR 濾波器會占用大量資源，這顯然是不經(jīng)濟(jì)的。現(xiàn)提出一種利用FPGA 硬件實(shí)現(xiàn)濾波的 TOP-DOWN 結(jié)構(gòu)圖，如圖3所示。它采用串行結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)硬件即將輸入數(shù)據(jù)直接與其對應(yīng)的濾波系數(shù)相乘，但不需像并行結(jié)構(gòu)中那樣，必須所有的數(shù)都相乘完才能相加，而是將前一級乘積鎖存，直接與后一級乘積累加，這樣就可以極大地節(jié)約硬件資源，提高執(zhí)行速度。FIR 數(shù)字濾波器系統(tǒng)主要分為數(shù)據(jù)存儲和數(shù)據(jù)運(yùn)算兩大模塊。數(shù)據(jù)存儲模塊主要功能是以時(shí)鐘去控 制片選信號和地址譯碼，在ROM 查找表中讀出與ROM 地址相對應(yīng)的數(shù)據(jù)，即為濾波系數(shù)，并 將它與對應(yīng)的輸入信號同步輸出至數(shù)據(jù)運(yùn)算模塊。數(shù)據(jù)運(yùn)算模塊主要功能就是完成輸入信號與對應(yīng)濾波系數(shù)的相乘和累加。

圖3 FIR濾波囂硬件實(shí)現(xiàn)top-down結(jié)構(gòu)圖

4、 結(jié)論

由于FPGA具有速率高，面積小，性能可靠等特點(diǎn)，成為數(shù)字濾波器工作在很高頻率上的首先硬件實(shí)現(xiàn)方案。本文利用Matlab 設(shè)計(jì)了一個給定指標(biāo)的適用于變采樣率FIR 濾波器， 并對它進(jìn)行了FPGA 硬件實(shí)現(xiàn)。

本文的創(chuàng)新點(diǎn)：提出一種基于FPGA 實(shí)現(xiàn)變采樣率FIR 數(shù)字濾波器的硬件實(shí)現(xiàn)方案，節(jié)約了硬件資源，降低設(shè)計(jì)成本，具有實(shí)用價(jià)值。

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