你啥電路都見過的嗎？下面這個電路可以用作隨機數發生器，混沌現象的真實演示器，來瞧一瞧吧！

　　下圖所示的設計實例是迭代單峰映射的一種簡單實現，讓人想起研究非線性動力學時遇到的邏輯斯諦映射或費爾哈斯（Verhulst）映射。它可以用來向學生展示混沌離散時間動力學，或作為隨機數發生器。具體的電路實現是：Vk+1 = rF（Vk），其中F是用圖中灰線框內的電路實現的非線性單峰函數（一個“凸塊”）。這個電路的響應顯示在Vout與Vin關系圖中。

圖1：Q1單峰函數電路的響應

　　r是U1b提供的增益因子。U1a和U3a只是緩沖器。在時鐘信號的低電平期間，這個非線性函數的輸出電壓存儲在C1上。當時鐘切換到高電平時，這個電壓將被傳遞到C2，然后用作單峰函數的下一個輸入。電路的供電電壓是12V。S3 （? 4066）用作反相器。

圖2：原理圖

　　在低增益設置（r）情況下，迭代將初始的零電壓作為穩定平衡態：V* = rF（V*）。通過提高增益，電路從穩定平衡態轉向n周期振蕩。n周期振蕩的迭代反復可以看作n次迭代映射的平衡態，比如對3周期振蕩來說V* =rF（rF（rF（V*）））。第一個示波器的屏幕截圖顯示了r=4.7時的情況。

圖3：r=4.7時的行為（紅線：Vk，藍線：時鐘）

　　進一步提高增益將導致混沌現象。理論上每個初始狀態或起始電壓都將導致永不重復的迭代順序。對這種迭代式混沌系統來說邏輯斯諦映射xn+1 = rxn（1-xn）是已知最好的模型，它使用的是拋物線函數。然而事實表明，任何單峰映射，包括像模映射這樣的非連續映射或像帳篷映射那樣的非平滑映射，都會導致混沌現象，因此需要使用晶體管Q1周邊的簡單電路。

圖4：r=6.7時的行為，需要將示波器持續時間設為無限，并在盡可能接近所獲電壓峰值時觸發

　　圖4顯示了確定性混沌事件的關鍵屬性：對初始狀態的敏感依賴。接近（但稍稍不等于）的起始條件（觸發電壓）在經過幾次更新后將導致分散的迭代序列。一般來講，存在一種“事件視界”。預測下一次迭代很容易，但預測當前狀態之后的第二十次迭代幾乎是不可能的，因為我們到時必須很精確地知道起始條件。重要的是，即使這個系統可以做到沒有噪聲（就像理論上的邏輯斯諦映射一樣），它還是會輸出一個混沌序列。

　　至于應用，這個電路可以用作隨機數發生器，混沌現象的真實演示器，還可以讓那些聲稱啥電路都見過的書呆子們開開眼。