根據朗伯光源的特點，定義近朗伯光源函數，設計LED透鏡的光學模型，求得LED的截面曲線方程，運用龍格庫塔法求解方程并在MATLAB中使用多項式擬合獲得相關數據及修正后的數據，通過Tracepro仿真得到希望的LED近朗伯光源封裝模型數據及仿真效果。提出一種LED近朗伯光源光學模型封裝的簡化設計方法。

　　朗伯光源是自然界廣泛存在的一種光源，太陽、毛玻璃燈罩、積雪、白墻均可看作朗伯光源。LED芯片本身就是朗伯光源，發光光束角2θ1/2為120°，由于光束角較大，其發光強度較低，且早期的芯片光電轉換效率也較低，為獲得較大的光強，需要設計LED的封裝透鏡光學結構，控制LED的出光光束角，將其光束集中在一定的方向，于是便出現了不同光束角如120°、90°、60°、30°等的LED器件。光束角為120°的LED朗伯光型光源各向同性，是較理想的光型。對應其他發光光束角的LED器件，通常設計為近朗伯光源的封裝光學透鏡以期獲得較好的出光光型。

　　目前LED技術飛速發展，大功率LED器件流明發光效率已達到100lm/W的較高水平。這些不同光束角的LED器件作為局部定向信號或照明光源，其應用靈活、可選擇性強，但其性價比仍然偏高。近朗伯光源器件的設計應用可減小LED數量、增加節能效果、降低工程造價、提高LED半導體光源的應用水平。

　　1. 朗伯光源

　　在光度學中，朗伯光源在某一方向上的發光強度Iθ等于該光源發光面垂直方向上的發光強度Io乘以方向角的余弦，如圖1，朗伯體也稱為余弦發射體，朗伯光源又稱為余弦體光源。朗伯光源在θ角方向光強為

　　Iθ=Iocosθ

　　

?

　　在LED的許多應用中，人們希望LED器件發光表現為朗伯光源特征。如LED顯示屏、LED信號燈等，此時要求光源能在各個方向上的亮度一致。據光度學亮度定義如圖2，對應朗伯光型的LED光源在θ角方向亮度為

　　Lθ=Iθ/dscosθ=Io/ds （2）

　　式中，L的單位為尼特，1nt=1cd/㎡；d為透鏡厚度。

　　由式（2）知，任意方向的Lθ=Io/ds為一定值，故人眼在任意方向觀看朗伯光源所感知的亮度是相同的，即所謂朗伯光源是各向同性光源。

　　通常LED行業將LED器件的光束角2θ1/2作為衡量光束發光角度標準。半值角θ1/2是指LED發光強度值為軸向強度值一半時的發光方向與發光軸向（法向）的夾角。由式（1）知，Iθ=Io/2，cosθ=1/2，故朗伯型光源的出光光束角2θ1/2為120°。

　　2. 近朗伯光源

　　在LED一些應用中，要求光束能集中在一定的方向上。如光束角2θ1/2為90°、60°、30°等的LED器件，其光束角2θ1/2不等于120°，此時LED器件發光不能表現為朗伯光源特征，但在LED行業通常用朗伯光源來衡量LED光源配光質量，于是出現了非理想余弦分布的近朗伯光源LED器件，雖然亮度不能各向同性，但近朗伯光源也能表現出符合人眼視覺特征的某些特點，如光強分布曲線可導、亮度連續變化等，其光強分布函數可以表示為

　　Iθ=Iocosmθ （3）

　　根據光束角的定義，可以知道，當θ=θ1/2，有Iθ=Io/2，求解式（3）得

　　m=-ln2/［ln（cosθ1/2）］

　　根據不同的光束角，可以計算出相應的m值，并得到其光強分布函數曲線。當2θ1/2=90°時，m=2，光強分布函數為：Iθ=Iocos2θ；當2θ1/2=60°時，m=4.82，光強分布函數為：Iθ=Iocos4.82θ。依此類推，同樣可以求得較常用的45°、30°等近朗伯光源的m值并獲得其光強分布函數，圖3是光束角2θ1/2分別為120°的朗伯，90°、60°近朗伯光源發光強度矩形分布圖。

　　3. 近朗伯光型LED透鏡設計

　　在LED器件外封設計時，理想情況下，通常假定LED芯片發光為朗伯光源，不考慮透鏡材料的吸收，透鏡的光反射、散反射、散透射等因數，則LED的出光特性主要是由封裝材料的折射率、透鏡的幾何形狀、芯片與透鏡的相對位置來決定。基本光學模型及光路圖見圖4。

　　設芯片在A點，光線AB與光軸Z夾角為θ，B點是θ角光線在透鏡中的光出射點，B點坐標（z2，y2），Y、Z軸是距離為L的目標光場坐標軸，d為透鏡厚度，設透鏡折射率為n，空氣折射率為l，根據折射定律，有：sinθ1=nsinθ1。曲線斜率即曲線的導數dy2/dz2=tanβ，結合折射定律，有

　　dy2/dz2=-（ncos:-cosu）/（nsin:-sinu） （4）

　　由圖4可知y2=（d+z2）tanθ （5）

　　式（5）兩端微分得y2值和θ值的關系

　　將u代入式（7），可以得到z2與θ的一一對應關系。dz2/dθ是一個復雜的微分方程。為得到z2=f（θ），需要運用數學方法進行處理，由圖4可知，有初始條件θ=0，z2=0，根據初始條件以及已知的dz2/dθ方程式，在給定A以及透鏡厚度d以后，以θ為自變量，設定一定的步長Aθ，運用龍格庫塔法或其他數學算法可解出一系列θ0，θ1，。..。，θn，以及與它們一一對應的z2值。再通過式（5）得到對應的y2值。在得到一系列的（z2，y2）以后，使用多項式擬合可得到平凸透鏡的非球面截面曲線方程表達式

　　式中，c為多項式的常數項；i值大小視曲線擬合精度選取。確定ai值后導入tracepro軟件可獲得希望的光學模型及配光效果，下面是一個設計實例。

　　設封裝高度即透鏡厚度d=3.5mm，材料折射率n=1.53419，設計要求LED器件的光束角2θ1/2為90°。運用龍格庫塔法，在MATLAB中可以解出符合光束角2θ1/2=90°的光學模型截面曲線點數據集（z2，y2）見圖5，截面曲線如圖6。

　　從圖5數據及圖6可以發現y坐標存在內拐的情況。不難看出曲線的末端部分向內拐，在（z2，y2）數據集中，y值在到達ymax=y19后開始回歸，按照這種結構設計的LED塑封雖可達到希望的配光效果，但工藝上無法脫模。需要對曲線進行修正，去除內拐并給予一定的脫模斜度。修正后截面曲線見圖7，此時LED的出光分布發生了一些變化，不再與圖3對應的配光曲線圖嚴格吻合，而且角度越小，偏離得越多。這時需要對預期的出光分布進行修正，加入更多的朗伯影響因素，預期出光分布修正為

　　修正后重新運用龍格庫塔法計算，得到一組（z2，y2）的數據如圖8。對圖8數據進行處理取c=0，i=8，使用式（8）在MATLAB中求解擬合多項式系數為：a1=-0.1729；a2=-0.0895；a3=0.1198；a4=-0.008289；a5=0.0304；a6=-0.006113；a7=0.0006357；a8=-2.679e-005。擬合曲線如圖9，將所得數據代入TracePro中進行光學模擬。并對封裝高度3。5mm做一定的微調，所得到配光曲線如圖10所示。可以看出，所得到的光束角2θ1/2約90！，與上面的理想曲線基本相符合。

　　4. 近朗伯光型LED的簡化設計方法

　　根據LED光學模型并利用數學處理方法，可得到精確的LED包封結構設計數據，通過光學仿真和樣板制作能達到預期的設計效果，然而以往的設計經驗表明，可以通過簡化光學模型，用球面取代復雜的非球面設計以得到更快速、更好控制的LED模型數據。分析所得（z2，y2）數據集和擬合曲線可發現，曲線有近似圓的軌跡特征。用公式R=（z2+y2）/（2z）可求出各點圓半徑R，雖然R大小不一致，卻都趨向一個值。所以不妨采用球半徑R的球面代替非球面，相信可以達到同樣的效果，按照上述想法建立的LED球面簡化模型見圖11。當芯片大小以及LED外封的材料確定以后，影響其出光分布的就是頂部半球的球半徑R以及底部高度h。下面對半球半徑R對出光的影響進行分析，設定LED外封微調后的總高度為3。7mm，R=2.6，h=1.1，在TracePro中建立一個圖11所示的光學模型，運用TracePro對其模型進行光學仿真結果見圖12，仿真所得的光束角2θ1/2約90°，與理想模型基本一致。

　　同樣的方法也可以用到其他出光角度的LED包封設計，使用簡化模型方法設計方便快捷，早期的LED包封一般都是半球結構，工藝上易于實現，該法是LED行業廣泛使用的一種LED器件配光結構設計方法。

　　5. 結束語

　　朗伯及近朗伯光型是LED行業通用標準的LED封裝配光光型，文中介紹了這種光源的LED外封設計光學模型及數據處理方法，通過光學仿真能獲得較好的設計效果。但實際LED器件設計要考慮許多非理想條件，如芯片尺寸、安放位置偏差、材料吸收率、界面散射、反射、外封表面質量等因素，故實際結果與理論設計有一定的差異。通常需要對設計作出適當調整后才能得到準確的實際數據。