基于遺傳算法的復雜無源濾波器參數設計

提出了一種基于計算機數值計算的復雜無源濾波器參數設計的新方法,首先把求解電路參數的問題數學化為性能指標優化模型,然后采用遺傳算法求得特性符合要求的電路參數值,數值實驗表明了此方法的有效性。

??? 關鍵詞：無源濾波器 參數優化設計 遺傳算法

??? 無源濾波器在電子技術領域有著廣泛的應用。針對某一應用的復雜無源濾波器,往往結構容易確定,參數調整卻十分困難。其原因是：結構中的組成元件?電阻、電容、電感?個數較多,頻率特性與元件參數的關系是一個高階的非線性函數,相互間對頻率特性的影響存在著高度的耦合,因而欲達到頻率特性優良的設計目的,無論采用實驗手段還是常規數學手段,都需花費大量的時間與精力。

??? 近年來,模擬生物進化過程的遺傳算法作為求解優化問題的有效手法而倍受關注。正如Ｔｈｏｍａｓ Ｂａｃｋ等人指出?１?,同其他手法相比,其優點在于：處理問題的靈活性、適應性、魯棒性,能取得全局解,對模型要求低,針對不同問題設計的不同遺傳算法,不僅能提高現有解的優化品質,還能攻克某些難度大的優化問題。

??? 本文以遺傳算法的應用為出發點,提出了一種新的無源濾波器參數設計方法。它能有效克服上述無源濾波器參數設計的困難,十分方便地取得滿足性能指標要求的參數設計值。

１ 優化模型的建立

??? 典型的無源濾波器電路組成元件一般按Ｔ型結構連接,如圖１所示。濾波器的頻率特性可以用功率傳輸函數來定義,即：





??? 其中,Ｘ＝[Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘｎ],為電路的元件參數值矩陣,ｎ為元件總個數,Ｗ為頻率。若Ｘ已知,頻率采樣點Ｗｉ對應的頻率特性Ｌｉ可按下述方法計算：

設 Ｉ１＝ＩＬ＝０．１,

??? Ｖ１＝ＩＬＲＬ＋０＝ＶＬ

??? Ｉ２＝Ｖ１Ｙ１＋ＩＬ

??? Ｖ３＝Ｉ２Ｚ２＋Ｖ１

??? Ｖ２ｎ＋１＝Ｉ２ｎＺ２ｎ＋Ｖ２ｎ－１

??? Ｉ２ｎ＋２＝Ｖ２ｎ＋１Ｙ２ｎ＋１＋Ｉ２ｎ

??? Ｅｓ＝ＲｓＩ２ｎ＋２＋Ｖ２ｎ＋１

??? 用簡易的迭代程序求得Ｅｓ,代入式(１)即可求得Ｌｉ。

??? 濾波器的結構已知后,先確定結構中的參數取值范圍,選擇的條件可以比較寬松,然后按預期的性能指標要求,選定適當個頻率采樣點Ｗ１,Ｗ２,．．．,規定其對應功率傳輸函數幅度界限值,迫使它調整后經過采樣點時,滿足幅度界限要求（大于、小于或介于）。由此獲得的新設計參數Ｘ*即是滿足預期性能指標的設計值。為求得Ｘ*,建立如下優化模型：



??? 其中,Ｘ的定義同前,Ｔ＝[Ｔ１,Ｔ２,．．．]為幅度界限值矩陣,Ｓ＝[Ｓ１,Ｓ２,．．．]為加權系數矩陣,Ｕ＝[Ｕ１,Ｕ２,．．．]為裕度矩陣,ＸＬ、ＸＵ分別為設計參數的上下界限矩陣。ｐ為偶次方,ｍ為采樣點總數,Ｒｉ稱為余差,具體表達式為：

??? 下界 Ｒｉ＝Ｓｉ×Ｍｉｎ（＋[Ｌｉ－Ｔｉ]－Ｕｉ,０）

??? 上界 Ｒｉ＝Ｓｉ×Ｍｉｎ（－[Ｌｉ－Ｔｉ]－Ｕｉ,０）

??? 顯然,當存在解Ｘ使Ｆ函數最小時,Ｌｉ的值應能控制在Ｔｉ的要求范圍內,從而使頻率特性滿足指標要求,因此該解即可視為Ｘ*。

２ 優化模型的求解

??? 遺傳算法是一個強有力的求優算法,它首先隨機地產生一組潛在的解Ｘ（該解稱為“染色體”,解的特定集合稱為“人口”,解中的變量稱為“基因”）,然后采用生物進化的過程（如染色體交叉?變異?淘汰等）不斷提高解的品質,最后獲得最優解。遺傳算法有兩個重要控制參數——交叉率Ｐｃ和變異率Ｐｍ對算法的收斂速度有較大影響,文獻[３]采用確定不變的Ｐｃ和Ｐｍ?而本文采用隨世代數增加而不斷自動調整的Ｐｃ和Ｐｍ。這樣做的目的在于：在進化的初期,人口的差異一般較大,交叉率大和變異率小有助于加快收斂,而在進化的后期,交叉率小和變異率大有助防止過早陷入局部最優點。公式如下：

??? Ｐｃ(ｇｅｎ)＝Ｐｃ(ｇｅｎ－１)－[Ｐｃ（０）－０．３]／ＭＡＸＧＥＮ

??? Ｐｍ（ｇｅｎ）＝Ｐｍ（ｇｅｎ－１）＋[０．３－Ｐｍ（０）／ＭＡＸＧＥＮ

??? 其中,ｇｅｎ表示世代數,ＭＡＸＧＥＮ表示最大世代數,具體算法如下：

第１步,全局參數設定

給出ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ（人口數）、Ｐｃ（０）、Ｐｍ（０）、ＭＡＸＧＥＮ和設計次數ｄｃｎｔ的大小或范圍。

第２步,人口的產生及初使化

設世代數ｇｅｎ＝１。以設計參數為變量,組成矩陣Ｘ＝[Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘｎ]。第一代人口由ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ個染色體構成,每個染色體的基因（即設計參數）在參數各自取值范圍內隨機產生。

第３步,染色體評價

為了評價代世代中染色體Ｘ的優劣,建立染色體適應性評價函數ｅｖａｌ（Ｘ）：

ｅｖａｌ（Ｘ）＝｛F（X,T,S,U）;當X滿足約束條件??? M,M為一大正數;當X不滿足約束條件

對本問題,評價函數越小越好。

第４步,基因操作

??? 通常基因操作有交叉、變異、選擇三種(２)。

??? 基因交叉：設交叉計數器ｃｃｎｔ＝０,從[０,１]范圍內產生隨機數ｒｋ（ｋ＝１,２,．．．,ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ）,如果ｒｋ＜Ｐｃ（ｇｅｎ）,則選擇Ｘｋ為交叉用;使交叉染色體配對進行如下位交叉操作：

Ｘｊ＝[Ｘ１ｊ,Ｘ２ｊ,．．．,Ｘｐｊ,．．．,Ｘｎｊ]????? Ｘｊ′＝[Ｘ１ｊ,Ｘ２ｊ,?．．．,Ｘｐｌ,．．．,Ｘｎｌ??


Ｘｌ＝[Ｘ１ｌ,Ｘ２ｌ,．．．,Ｘｐｌ,．．．,Ｘｎｌ]????? Ｘｌ′＝[Ｘ１ｌ,Ｘ２ｌ,．．．,Ｘｐｊ,．．．,Ｘｎｊ]

??? 其中Ｘｊ、Ｘｌ為配對染色體,Ｘｊ′、Ｘｌ′為交叉后染色體。ｐ為隨機選擇的交插位,接受交叉操作的染色體個數記入ｃｃｎｔ中。

??? 基因變異：設變異計數器ｍｃｎｔ＝０,從[０,１]范圍內產生隨機數ｒｋ(ｋ＝１,?２,．．．,ｎ×ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ＋ｎ×ｃｃｎｔ),如果ｒｋ＜Ｐｍ(ｇｅｎ),則第ｋ個基因進行變異操作,并使ｍｃｎｔ＝ｍｃｎｔ＋１。新基因Ｘｋ′隨機產生于區間[(１－α)Ｘｋ,(１＋α)Ｘｋ];其中１≤ｉ≤ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ,α為[０,１]范圍內選定常數。

??? 染色體選擇：計算新生染色體Ｘｎ′的評價函數ｅｖａｌ(Ｘｎ′)(ｎ＝１,２,．．．,ｃｃｎｔ＋ｍｃｎｔ?和父代染色體Ｘｎ的評價函數ｅｖａｌ?Ｘｎ??ｎ＝１?２?．．．?ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ?,并按適應性大小排列,選出其中適應性最強的ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ個染色體構成新一代人口并保留上述過程中最佳染色體Ｖ*,這個過程稱為“適者生存”選擇。

第５步,單次過程結束判斷

??? 當Ｆ＜Ｅｒ時(Ｅｒ為一小數量級數值?,Ｘ*＝Ｖ*,輸出Ｘ*,轉第６步。

??? 當Ｆ≤Ｅｒ且ｇｅｎ≥ＭＡＸＧＥＮ時,ｇｅｎ＝ｇｅｎ＋１,返回第３步。

??? 當Ｆ≥Ｅｒ時且ｇｅｎ≥ＭＡＸＧＥＮ時,返回第２步。

第６步,全過程結束判斷

??? ｄｃｎｔ＝ｄｃｎｔ－１;當ｄｃｎｔ＞０時,返回第２步;否則,停機。

３ 數值實驗例

??? 圖２為一帶通無源濾波器電路結構,通頻帶要求在９５０～１０５０ ｒａｄ／ｓ之間。為此,每隔５ ｒａｄ／ｓ作一次采樣,采樣點的幅度大于０．８５;設定低頻截止頻率為８００ ｒａｄ／ｓ,幅度小于１ｅ－５;高頻截止頻率為１３００ｒａｄ／ｓ,幅度小于１ｅ－５。建立如下優化模型：



ｓ．ｔ． ＸＬ＝[０,０,．．．,０]＜Ｘ＜ＸＵ＝[１８,１８,．．．,１８]?

其中

??? Ｘ＝[Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘ１９]＝[Ｌ,Ｃ３,Ｃ４,Ｌ６,Ｌ７,Ｃ７,Ｌ９,Ｌ１０,Ｃ１２,Ｌ１３,Ｃ１３,Ｌ１５,Ｌ１６,Ｃ１８,Ｌ１９,Ｃ１９,Ｌ２１,Ｌ２２,Ｃ２４];

??? Ｒ１＝１０×Ｍｉｎ(＋[１．０ｅ－５－Ｌ１]－０．０,０）,對應Ｗ１＝８００ｒａｄ／ｓ

??? Ｒｊ＝１．０×Ｍｉｎ(＋[Ｌｊ－０．８５]－０．０５,０);ｊ＝２,３,?．．．,２２,對應Ｗｊ＝(５×ｊ＋９４０)ｒａｄ／ｓ

??? Ｒ２３＝１０×Ｍｉｎ(＋[１．０ｅ－５－Ｌ２３]－０．０,０）,對應Ｗ２３＝１３００ｒａｄ／ｓ

??? 在ＮＥＣ４８００／２１０Ⅱ工作站完成上述算法。算法的參數設置為Ｅｒ＝１ｅ－６,α＝０．１,Ｐｃ＝Ｐｃ(０)＝０．６,Ｐｍ(０)＝０．１,ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ＝４０,ＭＡＸＧＥＮ＝２０００,程序語言為ＵＮＩＸ－Ｃ。ｄｃｎｔ取１０,得到１０組設計值,皆能使頻率特性滿足要求。平均世代數為１５０８代,平均時間為９．８ｍｉｎ。其中一組結果為:

??? Ｘ*＝[０．０７９２?１２．６５１４?０．０７５２?１３．０１５７?０．１０５８?３．３１３１?
０．１７９３?１３．３３８６?０．０７２６?０．１３３４?３．３２６?０．１７２２?１５．１２１８?０．０６３３?０．０８７６?１．９２８８?０．３３３３?１０．３１７１?０．０９００]。

??? 按此參數設計后,濾波器頻率特性較好地達到了預期要求,如圖３所示。

??? 本文簡要分析了無源濾波器參數設計存在困難的主要原因。對無源濾波器的常用電路結構,提出了計算頻率特性的簡易迭代法,并將求解滿足指標要求的參數設計值的問題轉化為優化模型的求解過程,使的原來難以描述和解決的設計問題變得明確和簡單。

??? 在遺傳算法方面,我們并不照搬前人的方法[３],例如,把最小目標函數的求解要求轉化為進化的驅動力而不是刻意求得最優解,不僅減少了計算時間,還可提供設計者多種可選擇的方案。在遺傳算法的變異階段,采用的是以現有的基因為中心的左右變異方法,有別于常用的在變量范圍內變異的方法。因本法中心不斷靈活飄移,求解過程出現兩個極端,即快速找到合適解或走入死區——永遠找不到解。我們通過設定最大世代數消除了后者的可能性,總體上提高了效率。
本法有效地克服了無源濾波器參數設計的困難,具有普遍性的價值和意義。其基本思想及原理亦可在電氣、電子、自動化等較復雜系統的參數設計領域得到廣泛的應用。