單精度是什么意思

單精度數是指計算機表達實數近似值的一種方式。VB中Single（單精度浮點型）變量存儲為 IEEE 32 位（4 個字節）浮點數值的形式，它的范圍在負數的時候是從 -3.402823E38 到 -1.401298E-45，而在正數的時候是從 1.401298E-45 到 3.402823E38 。

雙精度是什么意思

在計算機里實數中的浮點數是以科學計數法存儲，所以在存儲和讀取的時候需要考慮精度的問題，但是，由于數據的使用需要，也會有不同精度的需要，例如存儲身高信息和存儲衛星的飛行信息要求的精度必要是不一樣的，再者，考慮存儲信息的效率問題，同樣大小的存儲介質存儲高精度的信息必然比低精度的信息要多，為了平衡，所有就有單精度float和雙精度double，同樣是61.1126537這個數，經過計算機處理后用float存儲和賭博了存儲是不一樣的。

浮點數的表示和精度

如果a》0，那么1+a一定大于1嗎？在數學上，答案是肯定的。但在計算機上，答案就與a的大小和浮點數的精度有關了。在matalb上，可以作以下計算：

》》 a=1/2^52

a =

2.220446049250313e-016

》》 1+a》1

ans =

1

》》 a=1/2^53

a =

1.110223024625157e-016

》》 1+a》1

ans =

0

可見，當a等于1/2^53時，1+a》1是不成立的。

1 浮點數

IEEE754定義了單精度浮點數和雙精度數浮點數，即float和double。float有32bit，double有64bit。它們都包括符號位、指數和尾數。

符號位有1bit，0表示正、1表示負。設一個數的指數是e，指數部分的值是bias+e。加上一個bias是為了表示負數。 float的bias是127，double的bias是1023。指數全0或全1有特殊含義，不算正常指數。

float的指數部分有8bit，可以取值1~254，減掉127，得到對應的指數范圍-126~127。

double的指數部分有11位，可以取值1~2046，減掉1023，得到對應的指數范圍-1022~1023。

這里的指數是以2為底的，同樣尾數也是二進制的。IEEE754要求浮點數以規范形式存儲，即小數點前有1位非零數字。 對于二進制數，非零數字只有1。所以IEEE754在存儲時省略了這個小數點前面的1，只存儲小數點后面的位。

2 誤差

看個例子，設：

double a=0.2;

在PC上，我們可以看到a對應的存儲區數據是：

9A 99 99 99 99 99 C9 3F

PC的數據是小尾的，即低位字節在后，將其寫成高位字節在前，得到：

3F C9 99 99 99 99 99 9A

可見符號位為0。指數位是0x3FC，即1020，減掉1023，得到指數-3。尾數是999999999999A。所以完整的數字就是16進制的1.999999999999A乘上2^-3。即：

a=（1+9*（1/16+1/16^2+.。.+1/16^12）+10/16^13）*2^-3

（1/16+.。.+1/16^12）可以用等比級數求和公式a1*（1-q^n）/（1-q）計算，其中a1=1/16，q=1/16，n=12，因此：

a=（1+9*（1-1/16^12）/15+10/16^13）*2^-3

用windows的計算器計算上式，得到

a=0.2000 0000 0000 0000 1110 2230 2462 5157

這也不是精確解，但已經可以看到用double表示0.2時存在的誤差。這個例子說明在用有限字長的二進制浮點數表示任意實數a可能引入誤差。 設實數a的指數為e，尾數位數為n，顯然：

誤差《（1/2^n）*2^e

3 精度

可以把機器精度定義為滿足條件

fl（1+ε）》1

的最小浮點數ε。其中fl（1+ε）是1+ε的浮點表示。顯然double的機器精度是1/2^52。float的機器精度是1/2^23。 matlab內部采用double，1+1/2^53對double來說就是1，所以1+1/2^53不會大于1。

對于規范數來說，因為小數點前默認有個1，所以float的有效數字是24bit，對應8位十進制有效數字； double的有效數字是53bit，對應16位十進制有效數字。

4 特殊的浮點數

前面提到浮點數的指數全0或全1有特殊含義，讓我們來看看這些特殊的浮點數：

指數和尾數都是全0表示0。根據符號位不同可以分為+0和-0。

指數全0，尾數不為全0，這些數是非規范數，即尾數部分不假設前面存在小數點前的1。 或者說這些數太接近0了，因為指數已經不能再小，所以這些數不能寫成規范形式。 例如：double數0000 0000 0000 0001的尾數是0 0000 0000 0001，即1/2^52，對應的數是1/（2^52）*2^-1022，即4.9406564584124654e-324。

指數全1，尾數全0表示無窮大，即inf。根據符號位不同可以分為+inf和-inf。

指數全1，尾數不為全0表示NaN，即Not a Number，不是數。尾數最高位為1的NaN被稱作QNaN（Quiet NaN）。 尾數最高位為0的NaN被稱作SNaN（Signalling NaN）。通常用QNaN表示不確定的操作，用SNaN表示無效的操作。

在計算機內部，double就是一個64位數。從0x0000 0000 0000 0000~0xFFFF FFFF FFFF FFFF，每個64位數都對應一個浮點數或NaN。 我寫了一個小程序，按照64位無符號整數的順序打印出典型的浮點數。 表格的第一列是浮點數的內部表示。為了便于閱讀，按大尾順序輸出。第二列是對應的浮點數。 第三列是注釋，對于非規范數和規范數給出了由內部表示計算數值的matlab算式。 注意在C/C++中，2^52要寫成pow（2.0，52.0）。

從表中可以看到，double內部表示的設計是很有規律的，按照對應64位數的順序依次為 +0、正非規范數、正規范數、正無窮大、符號位為正的NaN、-0、負非規范數、負規范數、負無窮大、符號位為負的NaN。

double內部表示的設計保持了浮點數的有序性。即：如果正double數a《正double數b，則a對應的64位無符號整數《b對應的64位無符號整數。 負數因為差了個符號，所以浮點數與對應整數的順序相反。 float也有類似的規律。

float和int都是32bit，但float的尾數只用了23bit。int的精度高于float，float的表示范圍大于int。float犧牲精度換取了更大的表示范圍。 double的尾數是52bit，高于32bit的int，所以用dobule表示int不會有精度損失。 double是科學計算的常用類型，了解double的內在和限制，有助于我們更好地使用它。