由 joycha 于 星期二, 2018-09-18 13:42 發表

1. 簡單介紹

在機器學習和認知科學領域，人工神經網絡（artificial neural network，縮寫ANN），簡稱神經網絡（neural network，縮寫NN）或類神經網絡，是一種模仿生物神經網絡(動物的中樞神經系統，特別是大腦)的結構和功能的數學模型或計算模型，用于對函數進行估計或近似。神經網絡由大量的人工神經元聯結進行計算。大多數情況下人工神經網絡能在外界信息的基礎上改變內部結構，是一種自適應系統。現代神經網絡是一種非線性統計性數據建模工具。典型的神經網絡具有以下三個部分：

結構 （Architecture） 結構指定了網絡中的變量和它們的拓撲關系。例如，神經網絡中的變量可以是神經元連接的權重（weights）和神經元的激勵值（activities of the neurons）。

激勵函數（Activity Rule） 大部分神經網絡模型具有一個短時間尺度的動力學規則，來定義神經元如何根據其他神經元的活動來改變自己的激勵值。一般激勵函數依賴于網絡中的權重（即該網絡的參數）。

學習規則（Learning Rule）學習規則指定了網絡中的權重如何隨著時間推進而調整。這一般被看做是一種長時間尺度的動力學規則。一般情況下，學習規則依賴于神經元的激勵值。它也可能依賴于監督者提供的目標值和當前權重的值。

2. 初識神經網絡

如上文所說，神經網絡主要包括三個部分：結構、激勵函數、學習規則。圖1是一個三層的神經網絡，輸入層有d個節點，隱層有q個節點，輸出層有l個節點。除了輸入層，每一層的節點都包含一個非線性變換。

圖1

那么為什么要進行非線性變換呢？

（1）如果只進行線性變換，那么即使是多層的神經網絡，依然只有一層的效果。類似于0.6*(0.2x1+0.3x2)=0.12x1+0.18x2。
（2）進行非線性變化，可以使得神經網絡可以擬合任意一個函數,圖2是一個四層網絡的圖。

圖2

下面使用數學公式描述每一個神經元工作的方式
（1）輸出x
（2）計算z=w*x
（3）輸出new_x = f(z)，這里的f是一個函數，可以是sigmoid、tanh、relu等，f就是上文所說到的激勵函數。

3. 反向傳播(bp)算法

有了上面的網絡結構和激勵函數之后，這個網絡是如何學習參數（學習規則）的呢？

首先我們先定義下本文使用的激活函數、目標函數

（1）激活函數（sigmoid）：

def sigmoid(z): return 1.0/(1.0+np.exp(-z))

sigmoid函數有一個十分重要的性質：，即計算導數十分方便。

def sigmoid_prime(z): return sigmoid(z)*(1-sigmoid(z))

下面給出一個簡單的證明：

（2）目標函數（差的平方和），公式中的1/2是為了計算導數方便。

然后，這個網絡是如何運作的

（1）數據從輸入層到輸出層，經過各種非線性變換的過程即前向傳播。

def feedforward(self, a): for b, w in zip(self.biases, self.weights): a = sigmoid(np.dot(w, a)+b) return a

其中，初始的權重（w）和偏置（b）是隨機賦值的

biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]] weights = [np.random.randn(y, x) for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]

2）參數更新，即反向傳播

在寫代碼之前，先進行推導，即利用梯度下降更新參數，以上面的網絡結構（圖1）為例

（1）輸出層與隱層之間的參數更新

（2）隱層與輸入層之間的參數更新