我們現在準備好通過線性回歸的全功能實現來工作。在本節中，我們將從頭開始實現整個方法，包括（i）模型；(ii) 損失函數；(iii) 小批量隨機梯度下降優化器；(iv) 將所有這些部分拼接在一起的訓練功能。最后，我們將運行3.3 節中的合成數據生成器 并將我們的模型應用于生成的數據集。雖然現代深度學習框架幾乎可以自動執行所有這些工作，但從頭開始實施是確保您真正了解自己在做什么的唯一方法。此外，當需要自定義模型、定義我們自己的層或損失函數時，了解引擎蓋下的工作原理將很方便。在本節中，我們將僅依賴張量和自動微分。稍后，我們將介紹一個更簡潔的實現，利用深度學習框架的花哨功能，同時保留以下結構。

%matplotlib inline
import torch
from d2l import torch as d2l

%matplotlib inline
from mxnet import autograd, np, npx
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

%matplotlib inline
import jax
import optax
from flax import linen as nn
from jax import numpy as jnp
from d2l import jax as d2l

No GPU/TPU found, falling back to CPU. (Set TF_CPP_MIN_LOG_LEVEL=0 and rerun for more info.)

%matplotlib inline
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l

3.4.1. 定義模型

在我們開始通過小批量 SGD 優化模型參數之前，我們首先需要有一些參數。在下文中，我們通過從均值為 0 且標準差為 0.01 的正態分布中抽取隨機數來初始化權重?；脭?0.01 在實踐中通常效果很好，但您可以通過參數指定不同的值sigma。此外，我們將偏差設置為 0。注意，對于面向對象的設計，我們將代碼添加到__init__子類的方法中（在3.2.2 節d2l.Module中介紹 ）。

class LinearRegressionScratch(d2l.Module): #@save
  """The linear regression model implemented from scratch."""
  def __init__(self, num_inputs, lr, sigma=0.01):
    super().__init__()
    self.save_hyperparameters()
    self.w = torch.normal(0, sigma, (num_inputs, 1), requires_grad=True)
    self.b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

class LinearRegressionScratch(d2l.Module): #@save
  """The linear regression model implemented from scratch."""
  def __init__(self, num_inputs, lr, sigma=0.01):
    super().__init__()
    self.save_hyperparameters()
    self.w = np.random.normal(0, sigma, (num_inputs, 1))
    self.b = np.zeros(1)
    self.w.attach_grad()
    self.b.attach_grad()

class LinearRegressionScratch(d2l.Module): #@save
  """The linear regression model implemented from scratch."""
  num_inputs: int
  lr: float
  sigma: float = 0.01

  def setup(self):
    self.w = self.param('w', nn.initializers.normal(self.sigma),
              (self.num_inputs, 1))
    self.b = self.param('b', nn.initializers.zeros, (1))

class LinearRegressionScratch(d2l.Module): #@save
  """The linear regression model implemented from scratch."""
  def __init__(self, num_inputs, lr, sigma=0.01):
    super().__init__()
    self.save_hyperparameters()
    w = tf.random.normal((num_inputs, 1), mean=0, stddev=0.01)
    b = tf.zeros(1)
    self.w = tf.Variable(w, trainable=True)
    self.b = tf.Variable(b, trainable=True)

接下來，我們必須定義我們的模型，將其輸入和參數與其輸出相關聯。在(3.1.4)中使用相同的符號，對于我們的線性模型，我們簡單地采用輸入特征的矩陣向量乘積X和模型權重w，并加上偏移量b每個例子。Xw是一個向量并且b是一個標量。由于廣播機制（參見 第 2.1.4 節），當我們添加一個向量和一個標量時，標量將添加到向量的每個分量。生成的 方法 通過（在第 3.2.1 節中介紹 ）forward在類中注冊。LinearRegressionScratchadd_to_class

@d2l.add_to_class(LinearRegressionScratch) #@save
def forward(self, X):
  return torch.matmul(X, self.w) + self.b

@d2l.add_to_class(LinearRegressionScratch) #@save
def forward(self, X):
  return np.dot(X, self.w) + self.b

@d2l.add_to_class(LinearRegressionScratch) #@save
def forward(self, X):
  return jnp.matmul(X, self.w) + self.b

@d2l.add_to_class(LinearRegressionScratch) #@save
def forward(self, X):
  return tf.matmul(X, self.w) + self.b

3.4.2. 定義損失函數

由于更新我們的模型需要采用損失函數的梯度，因此我們應該首先定義損失函數。這里我們使用（3.1.5）中的平方損失函數。在實現中，我們需要將真實值轉換y為預測值的形狀 y_hat。以下方法返回的結果也將具有與y_hat. 我們還返回小批量中所有示例的平均損失值。

@d2l.add_to_class(LinearRegressionScratch) #@save
def loss(self, y_hat, y):
  l = (y_hat - y) ** 2 / 2
  return l.mean()

@d2l.add_to_class(LinearRegressionScratch) #@save
def loss(self, y_hat, y):
  l = (y_hat - y) ** 2 / 2
  return l.mean()

@d2l.add_to_class(LinearRegressionScratch) #@save
def loss(self, params, X, y, state):
  y_hat = state.apply_fn({'params': params}, *X) # X unpacked from a tuple
  l = (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2
  return l.mean()

@d2l.add_to_class(LinearRegressionScratch) #@save
def loss(self, y_hat, y):
  l = (y_hat - y) ** 2 / 2
  return tf.reduce_mean(l)

3.4.3. 定義優化算法

正如第 3.1 節中所討論的，線性回歸有一個封閉形式的解決方案。然而，我們這里的目標是說明如何訓練更通用的神經網絡，這需要我們教您如何使用小批量 SGD。因此，我們將借此機會介紹您的第一個 SGD 工作示例。在每一步，使用從我們的數據集中隨機抽取的小批量，我們估計損失相對于參數的梯度。接下來，我們朝著可能減少損失的方向更新參數。

以下代碼應用更新，給定一組參數，一個學習率lr。由于我們的損失是按小批量的平均值計算的，因此我們不需要根據批量大小調整學習率。在后面的章節中，我們將研究如何為分布式大規模學習中出現的非常大的小批量調整學習率?，F在，我們可以忽略這種依賴性。

我們定義我們的SGD類，它是d2l.HyperParameters （在第 3.2.1 節中介紹的）的一個子類，以具有與內置 SGD 優化器類似的 API。我們更新方法中的參數step 。該zero_grad方法將所有梯度設置為 0，這必須在反向傳播步驟之前運行。

class SGD(d2l.HyperParameters): #@save
  """Minibatch stochastic gradient descent."""
  def __init__(self, params, lr):
    self.save_hyperparameters()

  def step(self):
    for param in self.params:
      param -= self.lr * param.grad

  def zero_grad(self):
    for param in self.params:
      if param.grad is not None:
        param.grad.zero_()

We define our SGD class, a subclass of d2l.HyperParameters (introduced in Section 3.2.1), to have a similar API as the built-in SGD optimizer. We update the parameters in the step method. It accepts a batch_size argument that can be ignored.

class SGD(d2l.HyperParameters): #@save
  """Minibatch stochastic gradient descent."""
  def __init__(self, params, lr):
    self.save_hyperparameters()

  def step(self, _):
    for param in self.params:
      param -= self.lr * param.grad

class SGD(d2l.HyperParameters): #@save
  """Minibatch stochastic gradient descent."""
  # The key transformation of Optax is the GradientTransformation
  # defined by two methods, the init and the update.
  # The init initializes the state and the update transforms the gradients.
  # https://github.com/deepmind/optax/blob/master/optax/_src/transform.py
  def __init__(self, lr):
    self.save_hyperparameters()

  def init(self, params):
    # Delete unused params
    del params
    return optax.EmptyState

  def update(self, updates, state, params=None):
    del params
    # When state.apply_gradients method is called to update flax's
    # train_state object, it internally calls optax.apply_updates method
    # adding the params to the update equation defined below.
    updates = jax.tree_util.tree_map(lambda g: -self.lr * g, updates)
    return updates, state

  def __call__():
    return optax.GradientTransformation(self.init, self.update)

We define our SGD class, a subclass of d2l.HyperParameters (introduced in Section 3.2.1), to have a similar API as the built-in SGD optimizer. We update the parameters in the apply_gradients method. It accepts a list of parameter and gradient pairs.

class SGD(d2l.HyperParameters): #@save
  """Minibatch stochastic gradient descent."""
  def __init__(self, lr):
    self.save_hyperparameters()

  def apply_gradients(self, grads_and_vars):
    for grad, param in grads_and_vars:
      param.assign_sub(self.lr * grad)

接下來我們定義configure_optimizers方法，它返回類的一個實例SGD。

@d2l.add_to_class(LinearRegressionScratch) #@save
def configure_optimizers(self):
  return SGD([self.w, self.b], self.lr)

@d2l.add_to_class(LinearRegressionScratch) #@save
def configure_optimizers(self):
  return SGD([self.w, self.b], self.lr)

@d2l.add_to_class(LinearRegressionScratch) #@save
def configure_optimizers(self):
  return SGD(self.lr)

@d2l.add_to_class(LinearRegressionScratch) #@save
def configure_optimizers(self):
  return SGD(self.lr)

3.4.4. 訓練

現在我們已經準備好所有的部分（參數、損失函數、模型和優化器），我們準備好實施主要的訓練循環。理解這段代碼至關重要，因為您將對本書涵蓋的所有其他深度學習模型使用類似的訓練循環。在每個epoch中，我們遍歷整個訓練數據集，通過每個示例一次（假設示例的數量可以被批量大小整除）。在每次迭代中，我們獲取一小批訓練示例，并通過模型的 training_step方法計算其損失。接下來，我們計算每個參數的梯度。最后，我們將調用優化算法來更新模型參數。總之，我們將執行以下循環：

初始化參數(w,b)

重復直到完成

計算梯度 g←?(w,b)1|B|∑i∈Bl(x(i),y(i),w,b)

更新參數 (w,b)←(w,b)?ηg

回想一下，我們在3.3 節中生成的綜合回歸數據集 不提供驗證數據集。然而，在大多數情況下，我們將使用驗證數據集來衡量我們的模型質量。在這里，我們在每個時期通過一次驗證數據加載器來衡量模型性能。按照我們的面向對象設計，prepare_batch和fit_epoch方法注冊在d2l.Trainer類中（在 3.2.4 節中介紹）。

@d2l.add_to_class(d2l.Trainer) #@save
def prepare_batch(self, batch):
  return batch

@d2l.add_to_class(d2l.Trainer) #@save
def fit_epoch(self):
  self.model.train()
  for batch in self.train_dataloader:
    loss = self.model.training_step(self.prepare_batch(batch))
    self.optim.zero_grad()
    with torch.no_grad():
      loss.backward()
      if self.gradient_clip_val > 0: # To be discussed later
        self.clip_gradients(self.gradient_clip_val, self.model)
      self.optim.step()
    self.train_batch_idx += 1
  if self.val_dataloader is None:
    return
  self.model.eval()
  for batch in self.val_dataloader:
    with torch.no_grad():
      self.model.validation_step(self.prepare_batch(batch))
    self.val_batch_idx += 1

@d2l.add_to_class(d2l.Trainer) #@save
def prepare_batch(self, batch):
  return batch

@d2l.add_to_class(d2l.Trainer) #@save
def fit_epoch(self):
  for batch in self.train_dataloader:
    with autograd.record():
      loss = self.model.training_step(self.prepare_batch(batch))
    loss.backward()
    if self.gradient_clip_val > 0:
      self.clip_gradients(self.gradient_clip_val, self.model)
    self.optim.step(1)
    self.train_batch_idx += 1
  if self.val_dataloader is None:
    return
  for batch in self.val_dataloader:
    self.model.validation_step(self.prepare_batch(batch))
    self.val_batch_idx += 1

@d2l.add_to_class(d2l.Trainer) #@save
def prepare_batch(self, batch):
  return batch

@d2l.add_to_class(d2l.Trainer) #@save
def fit_epoch(self):
  self.model.training = True
  if self.state.batch_stats:
    # Mutable states will be used later (e.g., for batch norm)
    for batch in self.train_dataloader:
      (_, mutated_vars), grads = self.model.training_step(self.state.params,
                              self.prepare_batch(batch),
                              self.state)
      self.state = self.state.apply_gradients(grads=grads)
      # Can be ignored for models without Dropout Layers
      self.state = self.state.replace(
        dropout_rng=jax.random.split(self.state.dropout_rng)[0])
      self.state = self.state.replace(batch_stats=mutated_vars['batch_stats'])
      self.train_batch_idx += 1
  else:
    for batch in self.train_dataloader:
      _, grads = self.model.training_step(self.state.params,
                        self.prepare_batch(batch),
                        self.state)
      self.state = self.state.apply_gradients(grads=grads)
      # Can be ignored for models without Dropout Layers
      self.state = self.state.replace(
        dropout_rng=jax.random.split(self.state.dropout_rng)[0])
      self.train_batch_idx += 1

  if self.val_dataloader is None:
    return
  self.model.training = False
  for batch in self.val_dataloader:
    self.model.validation_step(self.state.params,
                  self.prepare_batch(batch),
                  self.state)
    self.val_batch_idx += 1

@d2l.add_to_class(d2l.Trainer) #@save
def prepare_batch(self, batch):
  return batch

@d2l.add_to_class(d2l.Trainer) #@save
def fit_epoch(self):
  self.model.training = True
  for batch in self.train_dataloader:
    with tf.GradientTape() as tape:
      loss = self.model.training_step(self.prepare_batch(batch))
    grads = tape.gradient(loss, self.model.trainable_variables)
    if self.gradient_clip_val > 0:
      grads = self.clip_gradients(self.gradient_clip_val, grads)
    self.optim.apply_gradients(zip(grads, self.model.trainable_variables))
    self.train_batch_idx += 1
  if self.val_dataloader is None:
    return
  self.model.training = False
  for batch in self.val_dataloader:
    self.model.validation_step(self.prepare_batch(batch))
    self.val_batch_idx += 1

我們幾乎準備好訓練模型，但首先我們需要一些數據來訓練。這里我們使用SyntheticRegressionData類并傳入一些基本參數。然后，我們用學習率訓練我們的模型lr=0.03并設置max_epochs=3。請注意，一般來說，epoch 的數量和學習率都是超參數。一般來說，設置超參數很棘手，我們通常希望使用 3 路分割，一組用于訓練，第二組用于超參數選擇，第三組保留用于最終評估。我們暫時省略這些細節，但稍后會對其進行修改。

model = LinearRegressionScratch(2, lr=0.03)
data = d2l.SyntheticRegressionData(w=torch.tensor([2, -3.4]), b=4.2)
trainer = d2l.Trainer(max_epochs=3)
trainer.fit(model, data)

model = LinearRegressionScratch(2, lr=0.03)
data = d2l.SyntheticRegressionData(w=np.array([2, -3.4]), b=4.2)
trainer = d2l.Trainer(max_epochs=3)
trainer.fit(model, data)

model = LinearRegressionScratch(2, lr=0.03)
data = d2l.SyntheticRegressionData(w=jnp.array([2, -3.4]), b=4.2)
trainer = d2l.Trainer(max_epochs=3)
trainer.fit(model, data)

model = LinearRegressionScratch(2, lr=0.03)
data = d2l.SyntheticRegressionData(w=tf.constant([2, -3.4]), b=4.2)
trainer = d2l.Trainer(max_epochs=3)
trainer.fit(model, data)

因為我們自己合成了數據集，所以我們確切地知道真正的參數是什么。因此，我們可以通過將真實參數與我們通過訓練循環學到的參數進行比較來評估我們在訓練中的成功。事實上，他們彼此非常接近。

print(f'error in estimating w: {data.w - model.w.reshape(data.w.shape)}')
print(f'error in estimating b: {data.b - model.b}')

error in estimating w: tensor([ 0.1006, -0.1535], grad_fn=)
error in estimating b: tensor([0.2132], grad_fn=)

print(f'error in estimating w: {data.w - model.w.reshape(data.w.shape)}')
print(f'error in estimating b: {data.b - model.b}')

error in estimating w: [ 0.10755348 -0.13104177]
error in estimating b: [0.18908024]

params = trainer.state.params
print(f"error in estimating w: {data.w - params['w'].reshape(data.w.shape)}")
print(f"error in estimating b: {data.b - params['b']}")

error in estimating w: [ 0.06764424 -0.183249 ]
error in estimating b: [0.23523378]

print(f'error in estimating w: {data.w - tf.reshape(model.w, data.w.shape)}')
print(f'error in estimating b: {data.b - model.b}')

error in estimating w: [ 0.08918679 -0.11773038]
error in estimating b: [0.211231]

我們不應該把準確恢復地面實況參數的能力視為理所當然。一般來說，對于深度模型，參數的唯一解是不存在的，即使對于線性模型，只有當沒有特征與其他特征線性相關時，才有可能準確地恢復參數。然而，在機器學習中，我們通常不太關心恢復真正的底層參數，而更關心導致高度準確預測的參數 ( Vapnik, 1992 )。幸運的是，即使在困難的優化問題上，隨機梯度下降通常也能找到非常好的解決方案，部分原因在于，對于深度網絡，存在許多導致高精度預測的參數配置。

3.4.5. 概括

在本節中，我們通過實施功能齊全的神經網絡模型和訓練循環，朝著設計深度學習系統邁出了重要一步。在這個過程中，我們構建了數據加載器、模型、損失函數、優化程序以及可視化和監控工具。為此，我們編寫了一個 Python 對象，其中包含用于訓練模型的所有相關組件。雖然這還不是專業級的實現，但它具有完美的功能，并且像這樣的代碼已經可以幫助您快速解決小問題。在接下來的部分中，我們將看到如何更簡潔 （避免樣板代碼）和更高效（充分利用我們的 GPU）。

3.4.6. 練習

如果我們將權重初始化為零會發生什么。該算法仍然有效嗎？如果我們用方差初始化參數會怎樣1,000而不是0.01？

假設您是Georg Simon Ohm，正在嘗試建立一個與電壓和電流相關的電阻器模型。您可以使用自動微分來學習模型的參數嗎？

你能用普朗克定律通過光譜能量密度來確定物體的溫度嗎？作為參考，光譜密度B從黑體發出的輻射是 B(λ,T)=2hc2λ5?(exp?hcλkT?1)?1. 這里λ是波長，T是溫度， c是光速，h是普朗克量子，并且 k是玻爾茲曼常數。您測量不同波長的能量λ現在您需要使譜密度曲線符合普朗克定律。

如果你想計算損失的二階導數，你可能會遇到什么問題？你會如何修復它們？

為什么函數reshape中需要方法loss？

嘗試使用不同的學習率來找出損失函數值下降的速度。你能通過增加訓練的次數來減少錯誤嗎？

如果樣本數不能除以批量大小，那么在data_iter一個紀元結束時會發生什么？

嘗試實現不同的損失函數，例如絕對值損失。(y_hat - d2l.reshape(y, y_hat.shape)).abs().sum()

檢查常規數據會發生什么。

如果您主動擾亂某些條目，請檢查行為是否存在差異y， 例如 y5=10,000.

你能想出一個便宜的解決方案來結合平方損失和絕對值損失的最佳方面嗎？提示：如何避免非常大的梯度值？

為什么我們需要重新洗牌數據集？你能設計一個惡意數據集否則會破壞優化算法的情況嗎？